当前位置:首页 >> 数学 >>

第9讲


第9讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 2.考查分段函数模型的建立及最值问题.

函数的应用

3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题. 【复习指导】 函数模型的实际应用问题, 主要抓好常见函数模型的训练, 解答应用问题的重点在信息整理 与建模上,建模后利用函数知识分析解决问题.

基础梳理 1.常见的函数模型及性质 (1)几类函数模型 ①一次函数模型:y=kx+b(k≠0). ②二次函数模型:y=ax +bx+c(a≠0). ③指数函数型模型:y=ab +c(b>0,b≠1). ④对数函数型模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1). ⑤幂函数型模型:y=ax +b. (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较
n x
2

y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=xn(n>0)

单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表现为 与 y 轴平行

单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表现为 与 x 轴平行

单调递增 相对平稳 随 n 值变化而各有不同
n x

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;
1

(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)从 1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的 税率为 20%,由各银行储蓄点代扣代收,某人 2011 年 6 月 1 日存入若干万元人民币,年利 率为 2%,到 2012 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元,则该存款人的本金介于 ( ). B.4~5 万元 D.2~3 万元

A.3~4 万元 C.5~6 万元

2.(2012·新乡月考)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+ 20x-0.1x (0<x<240,x∈N ),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收 入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 ). D.180
2 *

C.150 台

3.有一批材料可以围成 200 米长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图), 且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形, 则围成的矩形场地的最大面积为( ).

A.1 000 米 C.2 500 米

2

B.2 000 米 D.3 000 米

2

2

2

4.(2011·湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅 是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9 级地震的 最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍. 5.(2012·东三校联考)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、 解密原理如下: 加密 发送 解密 明文― →密文― →密文― →明文 ― ― ― 已知加密为 y=a -2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”, 再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 ________.
x

考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用 【例 1】? (2011·武汉调研)在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x +1)-f(x). 某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元, 成本为 C(x)元, R(x)=3 000x 且 -20x ,C(x)=500x+4 000(x∈N ).现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台.
2
2 *

(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. [审题视点] 列出函数解析式,根据函数性质求最值. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值, 解决实际中的最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称 轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. 【训练 1】 经市场调查, 某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数, 1 且销售量近似地满足 f(t)=-2t+200(1≤t≤50, t ∈N).前 30 天价格为 g(t)= t + 2 30(1≤t≤30,t∈N),后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 考向二 指数函数模型的应用

【例 2】? 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后 每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗有效.求服药一次后治疗 有效的时间是多长? [审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式,再分段求出时间长. 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式, 然后把实际问题转化为解不等式 问题进行求解. 【训练 2】 某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少? (参考数据: 1.012 ≈1.113,1.012 ≈1.127, 1.2≈0.079, 2≈0.3010, 1.012≈0.005, lg lg lg lg 1.009≈0.003 9) 考向三 函数 y=x+ 模型的应用 【例 3】? (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需
3
9 10

a x

要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:

C(x)=

k (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建 3x+5

造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [审题视点] 用基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 求函数解析式同时要注意确定函数的定义域, 对于 y=x+ (a>0)类型的函数最值 问题, 特别要注意定义域问题, 可考虑用均值不等式求最值, 否则要考虑使用函数的单调性. 【训练 3】 某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两 侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室的边长各为 多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少? 规范解答 5——应用题中的函数建模问题 (【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型,因此,首先要熟悉和掌握几类 常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误:,? 1? 列函数关系式时,会出现由
2

a x

于理不清楚各个量之间的关系,而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现 的错误; ,? 2? 列出解析式, 在求最优解的过程中, 由于方法使用不当而出现求解上的错误., 1? 阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理

【解决方案】 ?

解叙述部分所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应 的数学问题.,? 2? 根据所给模型, 列出函数关系式.根据已知条件和数量关系, 建立函数关 系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,? 数问题? 即数学模型? 题进行解答.) 【示例】? (本题满分 12 分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/ 千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车 流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车 流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 首先求函数 v(x)为分段函数,然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解. 予以解答,并求得结果.,? 4? 3? 利用数学的方法将得到的常规函 将所得结果代入原问题中,对具体问

4

对于分段函数模型的最值问题, 应该先求出每一段上的最值, 然后再比较大小. 另 外在利用均值不等式求解最值时, 一定要检验等号成立的条件, 也可通过函数的单调性求解 最值.

5


相关文章:
第9讲 整数分拆
第9讲 整数分拆_学科竞赛_小学教育_教育专区。第 9 讲 整数分拆 1.一般的有,把一个整数表示成两个数相加,当两个数相近或相等的时候,乘积最大.也就是 把...
第9讲 数字谜
第9讲 数字谜_学科竞赛_小学教育_教育专区。第 9 讲 数字谜(一) 我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过 的知识外,还要学习一些...
第9讲 统计
第9 讲 统计 一. 抽样调查 【基础知识】抽样方法: ①简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);②系统抽样,也叫等距抽样③分层抽样(按比例 抽样),常用于某个...
专题3 第9讲
专题3 第9讲_数学_高中教育_教育专区。第9讲 [方法精要] 消元法在解题中的应用 在一些较复杂的题目中,若含有两个或两个以上的未知数时,为了保证先求出 其...
第9讲 如何准确理解关键词句的作用和深层含义
第九讲 如何准确理解关键词句的作用和深层含义姓名: 一、技法详讲解答记叙文阅读题,核心是要读懂文章,而读懂文章的一个很重要的前提就是要准确地理解关键的词 句...
第9讲 函数的应用
第9讲 函数的应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第 9 讲 函数的应用一、选择题 1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家...
第9讲 数学
第9 讲§2.1.1 平面 ¤学习目标:能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的"平面";理解平面的无限延展 性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的...
英语第9讲
英语第9讲 隐藏>> 英语第 9 讲一、语法阶段复习: 1.我的老师住院了。(hospital...48 it is 9 a. m. in Vancouver on the west coast,it is I:30 p,...
“哥德巴赫猜想”讲义(第9讲)
“哥德巴赫猜想”讲义(第 9 讲) “哥德巴赫猜想”证明(4) 主讲 王若仲 第 8 讲我们讲解到了引理 7,这一讲我们开始从引理 8 讲起。 引理 8:设有一个...
第9讲
9页 免费 第21讲 从三角形的内切圆谈... 7页 免费 第20讲 直线与圆 8页 免费 第18讲 圆的基本性质 8页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如...
更多相关标签: