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江西省临川区2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题


临川一中2014—2015学年度高一下学期
期末数学试题 考试时间:120分钟

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每题只有一个正确答案 )

? 6 1.若集合 A ? {x | x 2 ? 7 x ? 0, x ? N *} ,则 B ? ? y ? N ? , y ? A ?中元素的个数为 ? y
( ) A.3个 B.4个 ) C.1个 D.2个

2.下列结论正确的是(

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?

1 ?2 lg x

B.当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

C.当 x ? 2 时, x ?

1 的最小值为2 x

D.当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x

3.在 1 和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的
2

积( A.8

) B.±8 C.16 D.±16 )
1 D. ? R 3 6

4.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( A.
3 ? R3 3

B.

3 ? R3 6

C.

3 ? R3 24

5.在直角梯形ABCD中, AB / / CD , ?ABC ? 900 , AB ? 2 BC ? 2CD ,则

cos ?DAC ? (
A.
10 10

) B.
2 5 5

C.

5 5

D.

3 10 10

-1-

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视 图都是由三角形和半圆组成,俯视图是由圆和内接三角 形组成,则该几何体体积为( A.
2? 1 + 3 2

) C.

B.

2? 1 + 6 6

4? 1 + 3 6

D.

2? 1 + 3 2

? x2 ? y 2 ? 4 ? 7.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

Z ? 3 x ? y 的最大值为(
A. 2 10 B. 5

) C. 2 D. 2 5

8.已知 m, n, l 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,以下命题正确的是( ) ①若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ? ;②若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ?, l ? m , 则 l ? n ;③若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n ;④若 ? ? ? , m ∥ ? , n ∥

? ,则 m ? n ;
A.②③ 9. B.③④ C.②④ D.③

??? ? ??? ? 已知直线 l : x ? ky ? 5 ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 10 交于 A 、 B 两点且 OA ? OB ? 0 ,
则k ?( A.2 ) B. ?2 C. ? 2 D. 2

sin 2 a4 ? cos 2 a4 ? cos 2 a4 cos 2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 ?1 ? ? a sin( a ? a ) n 5 7 10.设等差数列 满足: ,公
an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首 差 d ? (?1, 0) .若当且仅当n=9时,数列 ?



a1 的取值范围是(

) C. ? ?
7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

9? ? ? A. ? ? , ? 8 ? ?

? 9? ? B. ?? , ? ? 8 ?

? 7? 4? ? D. ? , ? ? 6 3 ?

11.已知 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ? 1 ,若 4 x 2 ? y 2 ? xy ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值 范围是( ). -2-

A. m ?

17 16

B. m ?

17 16

C. m ?

17 16

D. m ? 0

12.若函数 f ( x) 在给定区间 M 上,存在正数 t ,使得对于任意 x ? M ,有
x ? t ? M ,且 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 t 级类增函数,则以下命

题正确的是(  ) A.函数 f ( x) ?
4 ? x 是(1,+∞)上的1级类增函数 x
( x ?1)

B.函数 f ( x) ? log 2

是(1,+∞)上的1级类增函数

C.若函数 f ( x) ? x 2 ? 3 x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为

[1,??)
D.若函数 f ( x) ? sin x ? ax 为 [ ,??) 上的 2 3 级类增函数,则实数 a 的最小值为2 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知球 O 是棱长为6的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球

?

?

O 的截面面积为___________.
14.在圆 C: ( x - 2) + ( y - 2)2 = 8 内,过点 P(1, 0) 的最长的弦为 AB ,最短的弦为
DE ,则四边形 ADBE 的面积为
2



b 1 2 15.已知 a n ? 2 n ? 2 , a n ? ( ) bn , c n ? n 求数列 {c n } 前 n 项的和 s n ? ____ . 2 an

16.已知数列 ?an ?的通项公式 an ? ? n 2 ? 13n ?

133 . 4

当 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? a3 a4 a5 ? ??? ? an an ?1an ? 2 取得最大值时, n 的值为

.

三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本题满分10分)已知函数 f ( x)=4 3 sin x cos x-4sin 2 x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; -3-

(2)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c , a ? 2 ,若对任意的
x ? R 不等

式 f ( x) ? f ( A) 恒成立,求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本题满分10分)已知定圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过
A(?1,0) 的一条动直线 l 与直线相交于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点,

(1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明: l 过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

19.(本小题满分12分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 3S 2 ? 2 ,
a2 n ? 2an ,

(1)求等差数列 {an } 的通项公式 an . (2)令 bn ?
2n ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .证明:对任意 n ? N * , 2 2 (n ? 1) an

都有

3 1 ? Tn ? . 16 4

20.(本小题满分12分)已知E是矩形ABCD(如图1)边CD上的一点,现沿AE将△ DAE折起至△D1AE(如图2),并且平面D1AE⊥平面ABCE,图3为四棱锥D1— ABCE的主视图与左视图.

-4-

(1)求证:直线BE⊥平面D1AE; (2)求点A到平面D1BC的距离.

21. (本题满分13分)已知圆C: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ,直线L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:对 m ? R, 直线L与圆C总有两个不同交点; (2)设L与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程; (3)若定点 p (1,1) 分弦 AB 所得向量满足 AP ?
1 PB ,求此时直线L的方程. 2

22.(本题满分13分)对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成 立,则称 (a, b) 为函数 f ( x) 的一个“P数对”:设函数 f ( x) 的定义域为 R ? , 且 f (1) ? 3 . (1)若 (a, b) 是 f ( x) 的一个“P数对”,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a, b 的值; (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P数对”,求 f (2 n )(n ? N *) ;

-5-

(3)若( ? 2,0 )是 f ( x) 的一个“P数对”,且当 x ? [1,2) 时,
f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,

求k的值及 f ( x) 茌区间 [1,2 n )(n ? N *) 上的最大值与最小值.

临川一中2014――2015年高一数学参考答案 一选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 15. 8 D
8n 2n

9 B

10 A 16. 9

11 B

12 C

二填空题:13. 17.(Ⅰ)

6? 14.

4 6

? ? ? ? 解得所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 3 6 ? ? .....5分
(Ⅱ)由题意得当 x ? A 时,解得 A ?

?

1 1 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? bc 由余弦定 6 2 4

理得 4 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 3bc ? 2bc ? 3bc 即 bc ? 10分

4 ? 4(2 ? 3) 2? 3

18.(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) . 将圆心 C (0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C (Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意; 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由于 PQ ? 2 3 , 由

CM ?

?k ?3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

4 . 故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 3

-6-

? 4a1 ? 6d ? 3(2a1 ? d ) ? 2 ?a ? 2 19.(1). ? ,解得 ? 1 ,所以 an ? 2n, n ? N * ?d ? 2 ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2[a1 ? (n ? 1)d ]
5分 (2).因为 an ? 2n, n ? N * ,所以 bn ?
2n ? 1 1 1 1 ? [ 2? ], 2 2 (n ? 1) 4n 4 n (n ? 1) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]. 则 Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ] = [1 ? 2 4 (n ? 1) 2 4 2 2 3 3 4 n (n ? 1)
因为 n ? 1, n ? N * ,所以
3 1 ? Tn ? . 16 4

.12分

20.(1)证明:由主视图和左视图易知: AD ? DE ? EC ? BC ? 1 ∴ AE ? BE ? 2, AB ? 2 ∴ AE 2 ? BE 2 ? AB 2

? BE ? AE

? ? 又平面平面 ? D1 AE ? ABCE ? ? BE ? 平面D1 AE 平面平面 D1 AE ? ABCE ? AE ? ? ? D1M ? AE

(5分)

? ? ? D1 AE ? ABCE ? ? D1 A ? D1 E ? 1 (2)分别取 AE , BC 中点M,N 又平面平面 平面平面 D1 AE ? ABCE ? AE ? ?
? ? ? ? BC ? 平面D1MN ? D1 M ? 平面ABCE MN ? BC D1M ? MN ? M ? ? ? D1M ? BC

7分

? BC ? D1 N

Rt ?D1MN 中, D1M ?

2 3 , MN ? 2 2

? D1 N ?

11 2

设A到平面 D1 BC 的距离为 d
11 2 2 22 1 1 (12分) ?1? d ? ? 2 ?1 ? d ? ? S ?D1BC ?d ? ? D1M ? S ?ABC 2 2 11 3 3

21(1)直线恒过定点(1,1),且这个点在圆内,故直线L与圆C总有两个不同 的交点.(2)当M不与P重合时,连接CM、CP,则CM ? MP,设M(x,y) -7-

则 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, 化简得: x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 当M与P重合时,满足上式. (3)设A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 )由 AP ? 8分
1 PB 得 x2 ? 3 ? 2 x1 .将直线与圆的方程 2

联立得: (1 ? m 2 ) x 2 ? 2m 2 x ? m 2 ? 5 ? 0
3 ? m2 ,代入(*)得 m ? ?1 1 ? m2

..(*)? x1 ? x2 ?

2m 2 1 ? m2

可得 x1 ?

直线方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

13分 4分

?3a ? b ? 6 ?af (1) ? b ? f (2) ?a ? 1 22:(1)由题意知 ? ? ? ,即 ,解得: ?6a ? b ? 9 ?af (2) ? b ? f (4) ?b ? 3

(2)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为1的等差数列 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? f (1) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . 8分

(3)当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 ,解得 k ? 4 , 所以, x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的值域是 [3, 4] .

又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“ P 数对”,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ? [2k ?1 , 2k ) (k ? N*) 时,
x 2
k ?1

? [1, 2) ,

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? (?2) k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2

故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 , 2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 , 2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 , 2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为3; 当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ?1 ,最小值为 ?2n ; 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2n ?1 . 13分 12分

-8-


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