四川成都七中2016届高三上学期期中考试 数学(理科)

成都七中 2015－2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A ?? { x | x ?? 1 ?? 0}, B ?? { x | x ?? x ?? 2 ?? 0} ，则 A ?? B ?? （ （A）{ x | 0 ?? x ?? 2} （B）{ x | 1 ?? x ?? 2} ） （C） 0 （D） ?? 2 ） （C） {1,2 }
2

） （D） ??

2．式子 2 lg 5 ?? lg 12 ?? lg 3 ?? （ （A） 2 （B）1

3．已知向量 a ?? (1, ??) ， b ?? ( ??,4 ) ，若 a // b ，则实数 ?? ?? （ （A） 0 （B） ?? 2
2

（C） ?? 2 ） （D）
??
2

（D） 2

4．函数 f ( x ) ?? sin （A） 4??

x ?? 1 的周期为（

（B） 2??

（C） ?

5． ??ABC 的三内角为 A , B , C ， “ A ?? B ”是“ sin A ?? sin B ”的（ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 6．已知函数 f ( x ) ?? e ?? e （A）奇函数 7．已知 tan( （A） ?
1 3
x ?? x

）

?? 1 的导函数为 f ( x )

/

，则函数 f ( x ) 的奇偶性为（

/

）

（B）偶函数

（C）非奇非偶函数 ）
3 5

（D）既是奇函数也是偶函数

??
4

?? ?? ) ??? 2 ，则 sin 2?? ?? （

（B）
1 x

1 3

（C） ?

（D） ） （D）3 个
??
4

3 5

8．函数 f ( x ) ?? ln x ?

?? 2 的零点个数为（

（A）0 个 （B）1 个 9．下列命题成立的是（ ） （A） ??x 0 ?? ( 0 , （C） ??x 0 ?? (
??
2

C．2 个
1 2

??
4

) ，使得 sin x 0 cos x 0 ??

（B） ??x ?? [ 0 , （D） ??x ?? [

] ，都有 sin x ?? cos x ?
2

2
2

, ?? ) ，使得 sin x 0 ? cos x 0 ?? 1 2 5 5 3 10 10

3?? 5??? , ] ，都有 sin 4 4

x ?? cos

x

10．在 ??ABC 中， cos A ?

, cos B ??

，最长的边长为 5 ，则最短的边长为（

）

（A） 2

（B）

5 2

（ C） 1

（D）

3 2

11．已知公差不为零的等差数列{?? n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 8 ?? 4 ?? ，函数 f ( x ) ?? cos x ( 2 sin x ??1) ，则

1

f ( ??? ) ?? f (? ? 2 ) ?? ?? ?? f ( ??8 ) 1

的值为（

） （C） 8??
a n ?? 1? 3 3a n

（A） 0

（B） 4 ??

（D）与??? 有关 1
( n ?? N ) ，有下列四个命题：
*

12．已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ， a n ??1 ?? ①若 a 1 ?? ，则 a 3 ?? 0 ；
3 3

3

②对任意的 a 1 ( a 1 ??

* ) ，均有 a n ??3 ?? a n ( n ?? N ) ；

③若 a 1 ???tan ?? , a 2 ??? tan ?? , a 3 ???tan ?? ， ?? , ?? , ????? ( 0 ,2 ?? ) ，则?? , ?? , ???成等差数列；
3 3 3 时， S 3 n ?? 0 ．

④当

?? a 1 ??

其中正确的命题有（ （A）1 个

） （C）3 个 （D）4 个

（B）2 个

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13．已知 a ?? ( 2 ,??1), b ?? (1,3) ，则 ( 2 a ?? b ) ??a ? 14．已知角??, ?? , ???构成公差为
?? 3

．
2 3

的等差数列．若 c o s ??? ? ??

，则 co s ?? ??? c o s ???? ?
3 3
x x

.

15．已知公比 q ?? 1 的正项等比数列{ a n } ， a 3 ?? 1 ，函数 f ( x ) ??
f (ln a 1 ) ?? f (ln a 2 ) ?? f (ln a 3 ) ?? f (ln a 4 ) ?? f (ln a 5 ) ?

?? 1

( x ?? R ) ，则

．
x1 ? x 2 2 ) ?? 1 2

16． 函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义， 若对任意 x 1, x 2 ????a , b ??， 有 f(

则称 f ( x ) [ f ( x 1 ) ?? f ( x 2 )] ，

在 [ a , b ] 上具有性质 P．设 f ( x ) 在 ? 1, 2 0 1 5 ??上具有性质 P．现给出如下命题： ① f ( x ) 在 ? 1, 2 0 1 5 ??上的图象是连续不断的； ②函数 f
?1, ? x ??在 ?
2

2 0 1 5 ?? 上具有性质 P； ??

③对任意 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ?? [1,2015 ] ，有 f (

x 1 ? x 2 ? x 3 ?? x 4 4

) ??

1 4

[ f ( x 1 ) ?? f ( x 2 ) ?? f ( x 3 ) ?? f ( x 4 )] ；

④若 f ( x ) 在 x ?? 1008 处取得最大值 2016 ，则 f ( x ) ?? 2 0 1 6 , x ?? ? 1, 2 0 1 5 ??． 其中真命题的序号是 .

2

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10 分）已知集合 A ?? { x | x ?? 3 x ?? 2 ?? 0} ，函数 f ( x ) ?? x 2 ?? 2 ax ?? 1 .
2 （Ⅰ）当 a ?? 0 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) ?? 3 a ?? 1 ； 2

（Ⅱ）若命题“存在 x0 ?? A ，使得 f ( x 0 ) ??0 ”为假命题，求实数 a 的取值范围.

， 其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x ?? 0 18． （本小题 12 分） 已知函数 f ( x ) ?? 2 x ?? 3 x ?? f / ( 0 ) x ?? c（ c ?? R ）
/

3

2

处的导数． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的递减区间； （Ⅱ）若函数 f ( x ) 的图象关于 (
1 2 ,0 ) 对称，求实数 c 的值．

) 是公比为 2 的等比数列，其中 a 1 ?? 1, a 2 ?? 4 ． 19． （本小题 12 分）已知数列 { an ??1 ?? 2 a } ( n ?? N *

（Ⅰ）证明：数列{

a 2

n n n

} 是等差数列；

（Ⅱ）求数列{ a n } 的前 n 项和 S n ． 20． （本小题 12 分）已知向量 a ??(sin x ?? cos x , 2 cos x ) ， b ?? (cos x ?? sin x , （Ⅰ）求 | a | 的取值范围； （Ⅱ）求函数 f ( x ) ?? a ??b ?? | a | 的值域．
2 sin x ) ， x ?? [ ??

??
8

,0 ] ．

21 ． （本小题 12 分） ??ABC 的三内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ， D 为线段 BC 上一点，满足
b AB ? c AC ???bc AD

， a ?? b ?? bc ,且 ??ACD 与 ??ABD 面积之比为 1:2．

2

2

（Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）求 ??ABC 的面积．
??
2 15 2

22.（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) ?? ??e ?? x , g ( x ) ?? ?? x ??
x 2 2

x ?

( ?? ?? 0 ) ，其中 e ?? 2 .71828

?????? 是自

然对数底数. （Ⅰ）若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x 1, x 2 ,求实数 ?? 的取值范围； （Ⅱ）当 ?? =1 时，求使不等式 f ( x ) ???g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 ?? .

3

成都七中 2015－2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷（理科参考答案）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．B 2 ．A 3 ．B 4．C 5．C 7．D 8．C 9．D 10．C 11．A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．11 14． ? 6．B 12．C

2 3

15．

5 2

16．③④

三、解答题（共 70 分） 17.解：（1）不等式 f ( x) ? 3a 2 ? 1 整理得 x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0 ，即 ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0 ， 若 a ? 0 ，则解集为 [?a,3a ] ， ???????2 分 若 a ? 0 ，则解集为 [?3a, a ] ． ???????4 分 （2） A ? {x | 1 ? x ? 2} ， 命题“存在 x0 ? A ，使得 f ( x0 ) ? 0 ”的否定为： “对任意的 x ? [1,2] ，均有 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 成立”为真命题，???????6 分

1 x2 ? 1 1 ? x ? ，只需 2a ? ( x ? ) min ， 即 2a ? ???????8 分 x x x 1 当 x ? 1 时， ( x ? ) min ? 2 ，所以 2a ? 2 ，即 a ? 1 ． ???????10 分 x
18．解：（1） f / ( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? f / (0) ， 令 x ? 0 得 f / (0) ? 0 ? f / (0) ? f / (0) ? 0 ， 令 f / ( x) ? 0 ，解得 0 ? x ? 1 ， 所以函数 f ( x ) 的递减区间为 (0,1) ， （2）将函数 f ( x ) 向左平移 ???????3 分 ???????6 分

1 后得到函数为： 2

1 1 g ( x ) ? 2( x ? ) 3 ? 3( x ? ) 2 ? c ， ???????9 分 2 2 据题意知：函数 g ( x ) 为奇函数，即 g (0) ? 0 ， 1 解得 c ? ． ???????12 分 2
19．解（1）由已知得 an?1 ? 2an ? (a2 ? 2a1 ) ? 2n?1 ? 2n ， ???????2 分

a n ?1 a n 1 ? ? ， 2 n ?1 2 n 2 a 1 1 } 是以首项为 ，公差为 的等差数列， 所以数列 { n n 2 2 2 an 1 （2）由（1）知 n ? n ，所以 an ? n ? 2n?1 ， 2 2 0 1 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2n?1 ，
两端同除 2 n ?1 得： 则 2Sn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ， 相减得： ? Sn ? 1? 20 ? 21 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ，

???????4 分 ???????6 分

1 ? 2n ? n ? 2n ， 所以 ? Sn ? 1? 2
4

???????10 分

即 Sn ? (n ? 1)2n ? 1．

???????12 分

2 2 20．解：（1） | a |? (sin x ? cos x ) ? 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

???????2 分 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 ? ? ? ? 2 因为 x ? [ ? ,0] ，所以 0 ? 2 x ? ? ，即 0 ? sin(2 x ? ) ? ，??????4 分 8 4 4 4 2 所以 | a | 的取值范围是 [ 2 , 3] ， ???????6 分 ? （2） a ? b ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

?

? f ( x) ? a ? b? | a |? 2 sin(2 x ? ) ? 4
令 t ?| a |?

?

2 sin(2 x ? ) ? 2 ，???????8 分 4

?

2 sin(2 x ? ) ? 2 ? [ 2 , 3] ， 4 2 所以 f ( x) ? t ? 2 ? t ，其值域为 [? 2 ,1 ? 3] ．
21． 解（1）由 a 2 ? b 2 ? bc 得

?

???????12 分 A

a 2 ? c 2 ? b 2 bc ? c 2 ? ， 2ac 2ac sin B ? sin C 由正弦及余弦定理得： cos B ? ，???????2 分 2 sin A ? 2 sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) , 整理得 sin(A ? B) ? sin B ，即 A ? 2 B , ???????4 分
由 b AB ? c AC ? bcAD 得 所以 c ? 2b, a ? 3b ，

C

D

B

AB AC ? ? AD ，即 AD 为角 A 的平分线，且 S?ACD : S?ABD ? 1 : 2 ， c b
???????6 分

所以 sin A ? 3 sin B ? sin 2 B ? 3 sin B ? cos B ? 即B ?

?
6

3 ? AB AC （2）由 ???????10 分 ? ? AD 及 A ? 得： AD ? 3 3 c b 3 3 , AC ? ， 所以 AD ? BD ? 3, CD ? 2 2 1 3 3 3 9 3 ? S ?ABC ? ? ? ? ． ???????12 分 2 2 2 8
22．解（1） f / ( x) ? ?e x ? 2 x ， 据题意得 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 ， 当 ? ? 0 时， f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 R 上递减，不合题意， 所以 ? ? 0 ， 又 f // ( x) ? ?e x ? 2 ，令 f // ( x) ? 0 得 x ? ln

,A?

?

3 ， 2

．

???????8 分

2

?

，

5

所以函数 f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 ( ?? , ln

2

?

) 上递减，在 (ln 2

2

?

,?? ) 上递增，???????4 分

所以 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根，则 f / (ln 即? ?

?

) ? 0，

2

?

? 2 ln

2

?

? 0 ， ln

2

?

?1，

截得 0 ? ? ?

2 ， e

???????6 分

（2）不等式 e x ? 令 h( x ) ? e x ?

?
2

x?

?
2

15 对任意 x 恒成立， 2

x?

? h / ( x) ? e x ?

?
2

15 ， 2

，令 h / ( x) ? 0 得 x ? ln

?
2

，

所以函数 h( x ) 在 ( ?? , ln 所以 h( x ) min ? h(ln 整理得 ? ? ? ln

?
2

) 上递减，在 (ln

?
2

,?? ) 上递增，

?
2

)?

?
2

?

?
2

ln

?
2

?

?
2

15 ?0， 2
???????9 分

? 15 ? 0 ，

令 ? ( ? ) ? ? ? ? ln

? 15 ，易得 ? ( ? ) 在 ( 2,??) 上递减， 2 若 ? ? 2e2 ? (14,15) ， ? (2e2 ) ? 15 ? 2e2 ? 0 ， 15 ?0， 若 ? ? 15， ? (15) ? 2 ? ln 2 所以满足条件的最大整数 ? ? 14 . ???????12 分

?

6