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四川成都七中2016届高三上学期期中考试 数学(理科)


成都七中 2015-2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ?? { x | x ?? 1 ?? 0}, B ?? { x | x ?? x ?? 2 ?? 0} ,则 A

?? B ?? ( (A){ x | 0 ?? x ?? 2} (B){ x | 1 ?? x ?? 2} ) (C) 0 (D) ?? 2 ) (C) {1,2 }
2

) (D) ??

2.式子 2 lg 5 ?? lg 12 ?? lg 3 ?? ( (A) 2 (B)1

3.已知向量 a ?? (1, ??) , b ?? ( ??,4 ) ,若 a // b ,则实数 ?? ?? ( (A) 0 (B) ?? 2
2

(C) ?? 2 ) (D)
??
2

(D) 2

4.函数 f ( x ) ?? sin (A) 4??

x ?? 1 的周期为(

(B) 2??

(C) ?

5. ??ABC 的三内角为 A , B , C , “ A ?? B ”是“ sin A ?? sin B ”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6.已知函数 f ( x ) ?? e ?? e (A)奇函数 7.已知 tan( (A) ?
1 3
x ?? x



?? 1 的导函数为 f ( x )

/

,则函数 f ( x ) 的奇偶性为(

/



(B)偶函数

(C)非奇非偶函数 )
3 5

(D)既是奇函数也是偶函数

??
4

?? ?? ) ??? 2 ,则 sin 2?? ?? (

(B)
1 x

1 3

(C) ?

(D) ) (D)3 个
??
4

3 5

8.函数 f ( x ) ?? ln x ?

?? 2 的零点个数为(

(A)0 个 (B)1 个 9.下列命题成立的是( ) (A) ??x 0 ?? ( 0 , (C) ??x 0 ?? (
??
2

C.2 个
1 2

??
4

) ,使得 sin x 0 cos x 0 ??

(B) ??x ?? [ 0 , (D) ??x ?? [

] ,都有 sin x ?? cos x ?
2

2
2

, ?? ) ,使得 sin x 0 ? cos x 0 ?? 1 2 5 5 3 10 10

3?? 5??? , ] ,都有 sin 4 4

x ?? cos

x

10.在 ??ABC 中, cos A ?

, cos B ??

,最长的边长为 5 ,则最短的边长为(



(A) 2

(B)

5 2

( C) 1

(D)

3 2

11.已知公差不为零的等差数列{?? n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 8 ?? 4 ?? ,函数 f ( x ) ?? cos x ( 2 sin x ??1) ,则

1

f ( ??? ) ?? f (? ? 2 ) ?? ?? ?? f ( ??8 ) 1

的值为(

) (C) 8??
a n ?? 1? 3 3a n

(A) 0

(B) 4 ??

(D)与??? 有关 1
( n ?? N ) ,有下列四个命题:
*

12.已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n , a n ??1 ?? ①若 a 1 ?? ,则 a 3 ?? 0 ;
3 3

3

②对任意的 a 1 ( a 1 ??

* ) ,均有 a n ??3 ?? a n ( n ?? N ) ;

③若 a 1 ???tan ?? , a 2 ??? tan ?? , a 3 ???tan ?? , ?? , ?? , ????? ( 0 ,2 ?? ) ,则?? , ?? , ???成等差数列;
3 3 3 时, S 3 n ?? 0 .

④当

?? a 1 ??

其中正确的命题有( (A)1 个

) (C)3 个 (D)4 个

(B)2 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知 a ?? ( 2 ,??1), b ?? (1,3) ,则 ( 2 a ?? b ) ??a ? 14.已知角??, ?? , ???构成公差为
?? 3


2 3

的等差数列.若 c o s ??? ? ??

,则 co s ?? ??? c o s ???? ?
3 3
x x

.

15.已知公比 q ?? 1 的正项等比数列{ a n } , a 3 ?? 1 ,函数 f ( x ) ??
f (ln a 1 ) ?? f (ln a 2 ) ?? f (ln a 3 ) ?? f (ln a 4 ) ?? f (ln a 5 ) ?

?? 1

( x ?? R ) ,则


x1 ? x 2 2 ) ?? 1 2

16. 函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义, 若对任意 x 1, x 2 ????a , b ??, 有 f(

则称 f ( x ) [ f ( x 1 ) ?? f ( x 2 )] ,

在 [ a , b ] 上具有性质 P.设 f ( x ) 在 ? 1, 2 0 1 5 ??上具有性质 P.现给出如下命题: ① f ( x ) 在 ? 1, 2 0 1 5 ??上的图象是连续不断的; ②函数 f
?1, ? x ??在 ?
2

2 0 1 5 ?? 上具有性质 P; ??

③对任意 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ?? [1,2015 ] ,有 f (

x 1 ? x 2 ? x 3 ?? x 4 4

) ??

1 4

[ f ( x 1 ) ?? f ( x 2 ) ?? f ( x 3 ) ?? f ( x 4 )] ;

④若 f ( x ) 在 x ?? 1008 处取得最大值 2016 ,则 f ( x ) ?? 2 0 1 6 , x ?? ? 1, 2 0 1 5 ??. 其中真命题的序号是 .

2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10 分)已知集合 A ?? { x | x ?? 3 x ?? 2 ?? 0} ,函数 f ( x ) ?? x 2 ?? 2 ax ?? 1 .
2 (Ⅰ)当 a ?? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ?? 3 a ?? 1 ; 2

(Ⅱ)若命题“存在 x0 ?? A ,使得 f ( x 0 ) ??0 ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

, 其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x ?? 0 18. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x ) ?? 2 x ?? 3 x ?? f / ( 0 ) x ?? c( c ?? R )
/

3

2

处的导数. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的递减区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象关于 (
1 2 ,0 ) 对称,求实数 c 的值.

) 是公比为 2 的等比数列,其中 a 1 ?? 1, a 2 ?? 4 . 19. (本小题 12 分)已知数列 { an ??1 ?? 2 a } ( n ?? N *

(Ⅰ)证明:数列{

a 2

n n n

} 是等差数列;

(Ⅱ)求数列{ a n } 的前 n 项和 S n . 20. (本小题 12 分)已知向量 a ??(sin x ?? cos x , 2 cos x ) , b ?? (cos x ?? sin x , (Ⅰ)求 | a | 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f ( x ) ?? a ??b ?? | a | 的值域.
2 sin x ) , x ?? [ ??

??
8

,0 ] .

21 . (本小题 12 分) ??ABC 的三内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c , D 为线段 BC 上一点,满足
b AB ? c AC ???bc AD

, a ?? b ?? bc ,且 ??ACD 与 ??ABD 面积之比为 1:2.

2

2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 ??ABC 的面积.
??
2 15 2

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ?? ??e ?? x , g ( x ) ?? ?? x ??
x 2 2

x ?

( ?? ?? 0 ) ,其中 e ?? 2 .71828

?????? 是自

然对数底数. (Ⅰ)若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x 1, x 2 ,求实数 ?? 的取值范围; (Ⅱ)当 ?? =1 时,求使不等式 f ( x ) ???g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 ?? .

3

成都七中 2015-2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷(理科参考答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2 .A 3 .B 4.C 5.C 7.D 8.C 9.D 10.C 11.A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.11 14. ? 6.B 12.C

2 3

15.

5 2

16.③④

三、解答题(共 70 分) 17.解:(1)不等式 f ( x) ? 3a 2 ? 1 整理得 x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0 ,即 ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0 , 若 a ? 0 ,则解集为 [?a,3a ] , ???????2 分 若 a ? 0 ,则解集为 [?3a, a ] . ???????4 分 (2) A ? {x | 1 ? x ? 2} , 命题“存在 x0 ? A ,使得 f ( x0 ) ? 0 ”的否定为: “对任意的 x ? [1,2] ,均有 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 成立”为真命题,???????6 分

1 x2 ? 1 1 ? x ? ,只需 2a ? ( x ? ) min , 即 2a ? ???????8 分 x x x 1 当 x ? 1 时, ( x ? ) min ? 2 ,所以 2a ? 2 ,即 a ? 1 . ???????10 分 x
18.解:(1) f / ( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? f / (0) , 令 x ? 0 得 f / (0) ? 0 ? f / (0) ? f / (0) ? 0 , 令 f / ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 , 所以函数 f ( x ) 的递减区间为 (0,1) , (2)将函数 f ( x ) 向左平移 ???????3 分 ???????6 分

1 后得到函数为: 2

1 1 g ( x ) ? 2( x ? ) 3 ? 3( x ? ) 2 ? c , ???????9 分 2 2 据题意知:函数 g ( x ) 为奇函数,即 g (0) ? 0 , 1 解得 c ? . ???????12 分 2
19.解(1)由已知得 an?1 ? 2an ? (a2 ? 2a1 ) ? 2n?1 ? 2n , ???????2 分

a n ?1 a n 1 ? ? , 2 n ?1 2 n 2 a 1 1 } 是以首项为 ,公差为 的等差数列, 所以数列 { n n 2 2 2 an 1 (2)由(1)知 n ? n ,所以 an ? n ? 2n?1 , 2 2 0 1 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2n?1 ,
两端同除 2 n ?1 得: 则 2Sn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n , 相减得: ? Sn ? 1? 20 ? 21 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ,

???????4 分 ???????6 分

1 ? 2n ? n ? 2n , 所以 ? Sn ? 1? 2
4

???????10 分

即 Sn ? (n ? 1)2n ? 1.

???????12 分

2 2 20.解:(1) | a |? (sin x ? cos x ) ? 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

???????2 分 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 ? ? ? ? 2 因为 x ? [ ? ,0] ,所以 0 ? 2 x ? ? ,即 0 ? sin(2 x ? ) ? ,??????4 分 8 4 4 4 2 所以 | a | 的取值范围是 [ 2 , 3] , ???????6 分 ? (2) a ? b ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

?

? f ( x) ? a ? b? | a |? 2 sin(2 x ? ) ? 4
令 t ?| a |?

?

2 sin(2 x ? ) ? 2 ,???????8 分 4

?

2 sin(2 x ? ) ? 2 ? [ 2 , 3] , 4 2 所以 f ( x) ? t ? 2 ? t ,其值域为 [? 2 ,1 ? 3] .
21. 解(1)由 a 2 ? b 2 ? bc 得

?

???????12 分 A

a 2 ? c 2 ? b 2 bc ? c 2 ? , 2ac 2ac sin B ? sin C 由正弦及余弦定理得: cos B ? ,???????2 分 2 sin A ? 2 sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) , 整理得 sin(A ? B) ? sin B ,即 A ? 2 B , ???????4 分
由 b AB ? c AC ? bcAD 得 所以 c ? 2b, a ? 3b ,

C

D

B

AB AC ? ? AD ,即 AD 为角 A 的平分线,且 S?ACD : S?ABD ? 1 : 2 , c b
???????6 分

所以 sin A ? 3 sin B ? sin 2 B ? 3 sin B ? cos B ? 即B ?

?
6

3 ? AB AC (2)由 ???????10 分 ? ? AD 及 A ? 得: AD ? 3 3 c b 3 3 , AC ? , 所以 AD ? BD ? 3, CD ? 2 2 1 3 3 3 9 3 ? S ?ABC ? ? ? ? . ???????12 分 2 2 2 8
22.解(1) f / ( x) ? ?e x ? 2 x , 据题意得 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 , 当 ? ? 0 时, f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 R 上递减,不合题意, 所以 ? ? 0 , 又 f // ( x) ? ?e x ? 2 ,令 f // ( x) ? 0 得 x ? ln

,A?

?

3 , 2



???????8 分

2

?



5

所以函数 f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 ( ?? , ln

2

?

) 上递减,在 (ln 2

2

?

,?? ) 上递增,???????4 分

所以 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根,则 f / (ln 即? ?

?

) ? 0,

2

?

? 2 ln

2

?

? 0 , ln

2

?

?1,

截得 0 ? ? ?

2 , e

???????6 分

(2)不等式 e x ? 令 h( x ) ? e x ?

?
2

x?

?
2

15 对任意 x 恒成立, 2

x?

? h / ( x) ? e x ?

?
2

15 , 2

,令 h / ( x) ? 0 得 x ? ln

?
2



所以函数 h( x ) 在 ( ?? , ln 所以 h( x ) min ? h(ln 整理得 ? ? ? ln

?
2

) 上递减,在 (ln

?
2

,?? ) 上递增,

?
2

)?

?
2

?

?
2

ln

?
2

?

?
2

15 ?0, 2
???????9 分

? 15 ? 0 ,

令 ? ( ? ) ? ? ? ? ln

? 15 ,易得 ? ( ? ) 在 ( 2,??) 上递减, 2 若 ? ? 2e2 ? (14,15) , ? (2e2 ) ? 15 ? 2e2 ? 0 , 15 ?0, 若 ? ? 15, ? (15) ? 2 ? ln 2 所以满足条件的最大整数 ? ? 14 . ???????12 分

?

6


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