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江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题


涟水中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题 1.如图是 一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点 则在原正方体中,①AB 与 CD 相交;②MN∥PQ;③AB∥PE;④MN 与 CD 异面;⑤MN∥平面 PQC.所 给关系判断正确的是_____

2.在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
2 2 2



3.已知 F ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F , F , F 共同作用于一物体 1 1 2 3 上,使物体从点 M(1,-2,1)移动到 N(3,1,2) ,则合力所作的功是 4.关于 x 的不等式 mx2 ? nx ? p ? 0(m, n, p ? R) 的解集为(—1,2) ,则复数 m ? pi 所对应的 点位于复平面内的第 象限。

?? ? ?

?

?

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?

?? ?? ?? ? ? ?

5.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l ,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 .

6.已知关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? , ? ? (0, 2? ) , 则 m 的值为 。

7.已知 A(3,4) , B(?1,0) ,O 为坐标原点, C 点在 ?AOB 的角平分线上,且 OC ? 2 ,则 C 点 的坐标为 . 8.把十进制数 51 化为二进制数为



9.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=

DC,

ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为





BAC=___________。

10.若关于 x 的不等式 ax2 ? | x ? 1| ?2a ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为 11. 已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 和l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l 2 的充要条件是 a = 12. (1)集合 M ? x y ? .

?

2 ? x 2 , N ? y y ? x 2 ? 1 ,则 M ? N ?

?

?

?

(2)集合 A ? ?x, y ? y ? x ,B ? ?x, y ? y ? x 2 ? 2x ? 2 ,A ? B ? 13.已知命题甲:a+b ? 4, 命题乙:a ? 1 且 b ? 3 ,则命题甲是命题乙的 . 14.某单位有 200 名职工,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1 -200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号?,196-200 号).若第 5 组抽出 的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 二、解答题
2 15.已知条件 p : x ? A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R , 2 2 条件 q : x ? B ? x | x ? 2mx ? m ? 4 ? 0, x ? R, m ? R

?

?

?

?

?

?

?

?

(Ⅰ)若 A ? B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a (I)若 y ? f
?1

x ?1

? 2(a ? 0, 且a ? 1),设f ?1 ( x)是f ( x) 的反函数。

( x) 在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数,求 a 的值; ( x) 的图象不经过第二象限,求 a 的取值范围。

(II)若 y ? f

?1

y2 2

18.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b2 ? ac , cos B ?

3 4

1 1 ? 的值; tan A tan C ??? ??? 3 ? ? (2)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2
(1)求

19.已知以点 C (t , )(t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为 原点。 (Ⅰ)求证:△AOB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 P、Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 的动点,求 PB ? PQ 的最小 值及此时点 P 的坐标。

2 t

20.某校高三数学竞赛初赛考试后,对考生成绩进行统计(考生成绩均不低于 90 分,满分 150 分) ,将成绩按如下方式分成六组,第一组 ?90,100? 、第二组 ?100,110? ?第六组 ?140,150? . 如图 为其频率分布直方图的一部分,若第四、五、六组的人数依次成等差数列,且第六组有 4 人.

(Ⅰ)请补充完整频率分布直方图,并估 计这组数据的平均数 M; (Ⅱ)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选 2 人,记他们的成绩分别为 x, y . 若

x ? y ? 10

,则称此二人为“黄金帮扶组” ,试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率 P1 ;

(Ⅲ)以此样本的频率当作概率,现随机在这组样本中选出的 3 名学生,求成绩不低于 120 分的 人数 ? 分布列及期望.

参考答案 1.①②④⑤

?
2. (0, 3 ] 3. 14 4.二

5.

3 4 3 2

6. m ?

7. (

?2 4 , ) 5 5

8.110011(2) 9.600 10. [

1? 3 , ??) 4

11. a ? ?1 12. (1) M∩N = t / ?1 ? t ? (2) A B ? ?11?? 2, ∩ , 2?

?

2

?

?

?

13.既不充分也不必要条件 14.37 15.解: (Ⅰ) A ? [?1, 3] , B ? [?2 ? m, 2 ? m] ,若 A ? B ? ?0,3? , 则?

?? 2 ? m ? 0 ,故 m ? 2 ? 2?m?3

(Ⅱ) C R B ? (??, ? 2 ? m) ? (2 ? m, ? ?) ,若 A ? C R B , 则 3 ? ? 2 ? m 或 2 ? m ? ?1 , 16.解(I)设 y ? x
x ?1

故 m ? ?3 或 m ? 5
?1

? 2,

则f

( x) ? loga ( x ? 2) ? 1( x ? ?2),

? y ? f ?1 ( x) 在[0,1]上单调, ? loga (1 ? 2) ? 1 ? loga (0 ? 2) ? 1 ? 0,
即 loga 6 ? 2 , ??6 分 (II)由(I)得 f
?1

? a 2 ? 6, 又a ? 0,? a ? 6.

( x) ? loga ( x ? 2) ? 1, 要使y ? f ?1 ( x) 的图象不过第二象限,

只需 ?

?log a 2 ? 1 ? 0, ?a ? 1,
2

??10 分解得 a ? 2.
2

17.解 (1)解法一:设点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点 P 的坐标为(x,y),则有 x1

y1 y 2 =1,x2 - 2 =1,两式相减,得 2 2 2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2). 当 x1≠x2,y≠0 时, 由 x1+x2=2x,y1+y2=2y,
- 得

2

2 x y1 ? y 2 = . y x1 ? x2



又由 P1、P2、P、A 四点共线, 得

y ? 1 y1 ? y 2 = . x ? 2 x1 ? x2



2 x y ?1 = , y x?2 2 2 即 2x -y -4x+y=0. 2 2 当 x1=x2 时,x=2,y=0 满足此方程,故中点 P 的轨迹方程是 2x -y -4x+y=0. 解法二:设点 P1、P2、中点 P 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),
由①②得 直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1,将 l 方程代入双曲线 x - 得(2-k )x +2k(2k-1)x+2k -3=0,
2 2 2 2

y2 =1 中, 2

3 ? 2k 2 2k (2k ? 1) ,x1x2= 2 , k ?2 k2 ? 2 4(2k ? 1) y1+y2=k(x1+x2)+2-4k= 2 . k ?2 x1 ? x2 k (2k ? 1) ? ?x ? 2 ? k 2 ? 2 , ? ① 于是 ? y1 ? y2 2(2k ? 1) ?y ? ? 2 . ② ? 2 k ?2 ? 2x 2 2 当 y≠0 时,由①②得 k= .将其代入①,整理得 2x -y -4x+y=0.当 l 倾斜角为 90°时,P 点 y 2 2 坐标为(2,0)仍满足此方程,故中点 P 的轨迹方程为 2x -y -4x+y=0. (2)假设满足题设条件的直线 l′存在,Q1、Q2 的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得 2(x3+x4)(x3 -x4)=(y3+y4)(y3-y4). ∵x3+x4=2,y3+y4=2,
则 x1+x2= ∴

y3 ? y 4 =2(x3≠x4), x3 ? x4

即 l′的斜率为 2. ∴l′的直线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1.

? y ? 2 x ? 1, ? ∵方程组 ? 2 y 2 无解,与假设矛盾, ?1 ?x ? 2 ?
∴满足条件的直线 l′不存在. 18 解: (1)由 cos B ?

3 7 得到, sin B ? 1 ? cos 2 B ? ,于是 4 4

1 1 cos A cos C cos A sin C ? sin A cos C sin( A ? C ) sin B ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin A sin C
又因为 b2 ? ac ,由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C ,

1 1 sin B 1 4 7 ? ? ? ? 2 tan A tan C sin B sin B 7 ??? ??? 3 ? ? 3 3 2 (2)由 BA ? BC ? ,得 ca cos B ? ,由 cos B ? ,可得 ca ? 2 即, b ? 2 , 2 2 4
因此 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 , 所以 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ,因此 a ? c ? 3 .

19 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 设 知 , 圆 C 的 方 程 为 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ?
2 2 2

4 ,化简得 t2 4 4 4 x 2 ? 2tx ? y 2 ? y ? 0 ,当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t ,0) ;当 x=0 时,y=0 或 ,则 B(0, ) , t t t

2 t

∴ S ?AOB ?

1 1 4 OA ? OB ? 2t ? ? 4 为定值。 2 2 t

?????5 分

(II)∵ OM ? ON ,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN,∴C、H、O

2 2 1 三点共线,则直线 OC 的斜率 k ? t ? 2 ? ,∴t=2 或 t=-2 t t 2
∴圆心 C(2,1)或 C(-2,-1)∴圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 或 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ,
2 2 2 2

由于当圆方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 时, 直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r, 此时不满足直线
2 2

与圆相交,故舍去。 ∴圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

?????10 分

(Ⅲ) B(0, 点 2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B?(?4,?2) , PB ? PQ ? PB? ? PQ ? B?Q , 则 又 B ? 到圆上点 Q 的最短距离为 B ?C ? r ?

(?6) 2 ? 32 ? 5 ? 3 5 ? 5 ? 2 5 。

所以 PB ? PQ 的最小值为 2 5 , 直线 B ?C 的方程为 y ? 点 P 的坐标为 (?

1 x ,则直线 B ?C 与直线 x+y+2=0 的交 2

4 2 ,? ) 3 3

?????15 分

20.解: (Ⅰ)设第四,五组的频率分别为 x, y ,则 2 y ? x ? 0.005? 10 ①

x ? y ? 1 ? (0.005 ? 0.015 ? 0.02 ? 0.035) ? 10 ②由①②解得 x ? 0.15 , y ? 0.10 (2 分)
从而得出直方图(如图所示)

(3 分)

M ? 95 ? 0.2 ? 105 ? 0.15 ? 115 ? 0.35 ? 125 ? 0.15 ? 135 ? 0.1 ? 145 ? 0.05 ? 114.5
分)
1 1 C 12 C 4 2 0.015 P1 ? ? 4? ? 12 2 5 C 16 0.005 (Ⅱ)依题意第四组人数为 ,故

(4

(6 分)

4 ? 80 (Ⅲ)依题意样本总人数为 0.05 ,成绩不低于 120 分人数为 80 ? (0.05 ? 0.10 ? 0.15) ? 24 (7 分) 24 3 ? 故在样本中任选 1 人,其成绩不低于 120 分的概率为 80 10 又由已知 ? 的可能取值为 0,1,2, P(? ? 0) ? (1 ? 3 3 343 3 3 441 1 ) ? P(? ? 1) ? C 3 (1 ? ) 2 ( )1 ? 10 1000 , 10 10 1000 , 3 3 1 3 2 189 ) ( ) ? P (? ? 3) ? ( ) 3 10 10 1000 , 10 , 故 ? 的分布列如下:

3

2 P(? ? 2) ? C 3 (1 ?

?

0

P

343 1000

1 441 1000

2 189 1000

3

27 1000
(10 分)

依题意 ? ~

B(3,

3 3 9 ) E? ? 3 ? ? 10 10 10 .故

z

B1

C1

O

B

Cy


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