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杭州二中2013学年第二学期高三年级第五次月考 文科数学试卷答案


2013 学年高三年级第五次月考数学文科答案 ADDCB 11. DBCDB

26 5

12. ?

7 2
6 2

13. 5 17. 16 3

14.

2 9

15. 2 6 ? 3 18.(1)由 cos ? A ?

16.

? ?

??

? ? 2 cos A ,得 cos A cos ? sin A sin ? 2cos A , 3? 3 3

?

?

1 3 ? cos A ? sin A ? 2 cos A , 3 sin A ? 3cos A ,? tan A ? 3 , 2 2
? 0 ? A ? ? ,? A ?
(2)? cos A ?

?
3



2 2 1 ? 2 ,? 0 ? A ? ,? sin A ? 1 ? cos A ? , 3 3 2

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc ,得 b ? 3c , 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,? a ? 2 2c , 由正弦定理得:

2 2c c sin A 1 a c ? ,即 ,? sin C ? ? . ? sin A sin C sin A sin C 2 2 3
? 3an 1 1 2 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? . ? ? . 所以 ,所以 an ?1 3 ? an an ?1 3an 3 2an ? 1 ?

19.(1)因为 an ?1 ?

因为 a1 ?

?1 ? 3 2 1 1 2 ,则 ? 1 ? .所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列; a1 3 5 3 3 ? an ? 1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? an 3 ?3?
n ?1

(2)由(1)知,

?

2 3n a ? ,所以 . n 3n 3n ? 2

假设存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t 满足条件, 则有 ?

? ?m ? t ? 2s , 2 ? ?? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1?

3n 2 由 an ? n 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , 3 ?2
? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1? ? t ? 1? . 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
2

即3

m ?t

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .
m t s

因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 . 因为 3 ? 3 ? 2 3
m t m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,

这与 m 、 s 、 t 互不相等矛盾. 所以不存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t 满足条件. 20.(Ⅰ)平面 PAD ⊥平面 PAB ∵ ?PBC ? 90
0

∴ BC ? PB (4 分) (6

∵四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形 ∴ BC ? AB ∵ PB ?平面 PAB , AB ?平面 PAB ,且 PB ∩ AB ? B ∴ BC ⊥平面 PAB ∵ AD ∥ BC ∴ AD ⊥平面 PAB ∵ AD ?平面 PAD 平面 PAD ⊥平面 PAB 分)

(Ⅱ)如图,过点 P 作 BA 延长线的垂线 PH ,垂足为 H ,连接 CH . 由(Ⅰ)可知 AD ⊥平面 PAB ∵ AD ?平面 ABCD ∴平面 PAB ⊥平面 ABCD ∵ PH ?平面 PAB ,平面 PAB ⊥平面 ABCD , 平面 PAB ∩平面 ABCD = AB ∴ PH ⊥平面 ABCD ∴ CH 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. ∴ ?PCH 为 PC 与底面 ABCD 所成的角. (9 分)

? ?PAB ? 1200 ,??PAH ? 600 ,

? PA ? 1 ,?在直角三角形 PAH 中,
PH ? PA ? sin 600 ? 3 1 , AH ? PA ? cos 600 ? 2 2

在直角三角形 HBC 中, BH ? AH ? AB ?

1 5 ? 2 ? , BC ? AD ? 1 2 2

故 CH ?

BH 2 ? BC 2 ?

29 2

在直角三角形 PHC 中, PC ?

PH 2 ? CH 2 ? 2 2 ,? sin ?PCH ?
6 . 8

PH 6 ? PC 8

故直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 21.(1) f1 ( x) ?

(12 分)

a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2 令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e. ?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间; 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) .
(2)由

4 分.

a ln x ln x 1 ? 1, 当 a ? 0 时,方程无解.当 a ? 0 时, 2 ? . 2 x x a ln x x ? 2 x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ? ?? g ( x) ? 0. 1 1 ? ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解 a 2e 1 1 1 当 ? , ? 0 或即 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一解. a 2e a 综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e 或 a ? 0 时,方 程有唯一解. ??? 9 分. (3)特别地,当 a ? 1 时

?当 0 ?

由 f 3 ( x) ?

x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x ln x ? 得 . f ( x ) ? ? ( x ? 0) 3 x6 x4 x3
1

由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 ,
1 1

则 f 3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ??) 单调递减. f3 ( x)max ? f3 (e 3 ) ?

1

1 . 3e

? f 3 ( x) ?

x3 ln x 1 即 . 3ln x ? ? , e x3 3e
2

22. (1) x ? 2 py ; (2) (i)设 A , B 两点的坐标为 A( x1 ? y1 )? B( x2 ? y2 ) ,且 x1 ? x2 , ∵ AM ? BM ? 0 ,可得 M 为 AB 的中点,即 x1 ? x2 ? 4 . 显然直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2 ? 2k ,

???? ? ???? ?

将 y ? kx ? 2 ? 2k 代入 x ? 2 py 中,得 x ? 2 pkx ? 4(k ? 1) p ? 0 .
2 2

2分

?? ? 4 p 2 k 2 ? 16(k ? 1) p ? 0, ∴? ∴ p ? 1 . 故 p 的取值范围为 (1? ? ?) . ? x1 ? x2 ? 2 pk ? 4.
(ii)当 p ? 2 时,由(i)求得 A , B 的坐标分别为 A ? 0? 0 ? ? B ? 4? 4 ? 假设抛物线 L ? x ? 4 y 上存在点 C ? t ?
2

? t2 ? ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的 ? (t ? 0且 t ? 4 ) ? 4?

圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.设圆的圆心坐标为 N (a , b) ,

? a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 , ? ? ? ? NA ? NB , 2 ∵? ∴? ? t2 ? 2 2 2 NA ? NC . ? ? a ? b ? ?a ? t ? ? ?b ? ? . ? 4? ? ? ?
?a ? b ? 4, ? 即? 1 4a ? tb ? 2t ? t 3 . ? 8 ?

? t 2 ? 4t a ? ? , ? ? 8 解得 ? 2 ?b ? t ? 4t ? 32 . ? 8 ?
t ,而 t ? 0 ,且该切线与 NC 垂直, 2

∵抛物线 L 在点 C 处切线的斜率为 k ? y? |x ?t ?

t2 4 ? t ? ?1 .即 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 . ∴ 4 a ?t 2 b?
将a ? ?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 ,b ? 代入上式,得 t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 . 8 8

即 t (t ? 4)(t ? 2) ? 0 .∵ t ? 0 且 t ? 4 ,∴ t ? ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为 ? ?2,1? .


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