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高中数学复习专题讲座(第2讲)充要条件的理解及判定方法


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高中数学复习专

题系列讲座

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题目 高中数学复习专题讲座
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充要条件的理解及判定方法

高考要求 充分条件、 必要条件和充要条件是重要的数学概念, 主要用来区分命题 的条件 p 和结论 q 之间的关系 本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必 要条件的意义,让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系 重难点归纳 (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念 当“若 p 则 q”形式的命题 为真时,就记作 p ? q,称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件, 因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假 (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义 词语 “等价于”“当且仅当”“必须并且只需”“??,反之也真”等 , , , (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要 条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看, A ? B, A 是 B 的充分条件, 是 A 的必要条件; 若 则 B
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若 A=B,则 A、B 互为充要条件 (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要 证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 典型题例示范讲解
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例 1 已知 p |1-
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x ?1 3

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|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若?p 是?q 的必要而
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不充分条件,求实数 m 的取值范围 命题意图 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查 对象, 同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用, 强调了知识 点的灵活性 知识依托 本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式 进行转化,使考生对充要条件的难理解变得简单明了 错解分析 对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题 的难点,对否命题,学生本身存在着语言理解上的困难 技巧与方法 利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件 与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决 解 由题意知 命题 若?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为 p 是 q 的 充分不必要条件
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p:|1-

x ?1 3

|≤2 ? -2≤

x ?1 3

-1≤2 ? -1≤

x ?1 3

≤3 ? -2≤x≤10

q:x2-2x+1-m2≤0 ? [x-(1-m)] [x-(1+m)]≤0 * ∵p 是 q 的充分不必要条件,
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∴不等式|1-

x ?1 3

|≤2 的解集是 x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集

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又∵m>0 ∴不等式*的解集为 1-m≤x≤1+m ∴?
?1 ? m ? ? 2 ?m ? 1 ? ? ? 1 ? m ? 10 ?m ? 9

,∴m≥9,
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∴实数 m 的取值范围是[9,+∞ )
n
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例 2 已知数列{an}的前 n 项 Sn=p +q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列 的充要条件 命题意图 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时 的思维的严谨性 知识依托 以等比数列的判定为主线,使本题的闪光点在于抓住数列前 n 项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定 错解分析 因为题目是求的充要条件,即有充分性和必要性两层含义, 考生很容易忽视充分性的证明
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技巧与方法 由 an= ?
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? S 1 ( n ? 1) ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )
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关系式去寻找 an 与 an+1 的比值,

但同时要注意充分性的证明 解 a1=S1=p+q - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1)
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∵p≠0,p≠1,∴

p ( p ? 1)
n

p

n ?1

( p ? 1)

=p

若{an}为等比数列,则
p ( p ? 1) p ? q

a2 a1

?

a n ?1 an

=p



=p,

∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1 这是{an}为等比数列的必要条件 下面证明 q=-1 是{an}为等比数列的充分条件 当 q=-1 时,∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1 - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-pn 1=pn 1(p-1) - ∴an=(p-1)pn 1 (p≠0,p≠1)
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an a n ?1

?

( p ? 1) p ( p ? 1) p

n ?1 n?2

=p 为常数
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∴q=-1 时,数列{an}为等比数列 即数列{an}是等比数列的充要条件为 q=-1 例 3 已知关于 x 的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根α 、β , 证明 |α |<2 且|β |<2 是 2|a|<4+b 且|b|<4 的充要条件 证明 (1)充分性 由韦达定理,得|b|=|α ·β |=|α |·|β |<2×2=4 设 f(x)=x2+ax+b,则 f(x)的图象是开口向上的抛物线 又|α |<2,|β |<2,∴f(±2)>0
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即有 ?

?4 ? 2a ? b ? 0 ?4 ? 2a ? b ? 0

?

4+b>2a>-(4+b)

又|b|<4 ? 4+b>0 ? 2|a|<4+b (2)必要性 由 2|a|<4+b ? f(±2)>0 且 f(x)的图象是开口向上的抛物线 ∴方程 f(x)=0 的两根α ,β 同在(-2,2)内或无实根 ∵α ,β 是方程 f(x)=0 的实根, ∴α ,β 同在(-2,2)内,即|α |<2 且|β |<2 例 4 写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假. (1)若 x、y 都是奇数,则 x+y 是偶数; (2)若 xy=0,则 x=0 或 y=0; (3)若一个数是质数,则这个数是奇数. 解: (1)命题的否定:x、y 都是奇数,则 x+y 不是偶数,为假命题. 原命题的否命题:若 x、y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数,是假命题. (2)命题的否定:xy=0 则 x≠0 且 y≠0,为假命题. 原命题的否命题:若 xy≠0,则 x≠0 且 y≠0,是真命题. (3)命题的否定:一个数是质数,则这个数不是奇数,是假命题. 原命题的否命题:若一个数不是质数,则这个数不是奇数,为假命题. 例 5 有 A、B、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子 上各有一张纸条. A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内” , B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内” , C 盒子上的纸条写的是“苹果不在 A 盒内”. 如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个盒子里? 解:若苹果在 A 盒内,则 A、B 两个盒子上的纸条写的为真,不合题意. 若苹果在 B 盒内,则 A、B 两个盒子上的纸条写的为假,C 盒子上的纸 条写的为真,符合题意,即苹果在 B 盒内.
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同样,若苹果在 C 盒内,则 B、C 两盒子上的纸条写的为真,不合题意. 综上,苹果在 B 盒内. 学生巩固练习 1 函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ) A ab=0 B a+b=0 C a=b D a2+b2=0 2 “a=1”是函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为“π ”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也不是必要条件 3 a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的___ 4 命题 A 两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B 曲线 F(x,y)+λ G(x,y)=0(λ 为常数)过点 P(x0,y0),则 A 是 B 的__________条件 5 设α ,β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析 a>2 且 b>1 是两根 α 、β 均大于 1 的什么条件?
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6 已知数列{an}、{bn}满足 bn=
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a 1 ? 2 a 2 ? ? ? na n 1? 2 ? 3?? ? n
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,求证 数列{an}成等差
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数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列 7 已知抛物线 C y=-x2+mx-1 和点 A(3,0),B(0,3),求抛物线 C 与线 段 AB 有两个不同交点的充要条件 8 p:-2<m<0,0<n<1;q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根, 试分析 p 是 q 的什么条件 (充要条件) 参考答案 1 解析 若 a2+b2=0,即 a=b=0, 此时 f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x·|x|=-(x|x+0|+b)=-(x|x+a|+b)=-f(x) ∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件, 又若 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数, 即 2 2 f(-x)=(-x)|(-x)+a|+b=-f(x),则必有 a=b=0,即 a +b =0 ∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的必要条件 答案 D 2 解析 若 a=1,则 y=cos2x-sin2x=cos2x,此时 y 的最小正周期为π 故 a=1 是充分条件,反过来,由 y=cos2ax-sin2ax=cos2ax 故函数 y 的最小正周期为 π ,则 a=±1,故 a=1 不是必要条件 答案 A 3 解析 当 a=3 时,直线 l1:3x+2y+9=0;直线 l2:3x+2y+4=0 ∵l1 与 l2 的 A1∶A2=B1∶B2=1∶1,而 C1∶C2=9∶4≠1, 即 C1≠C2,∴a=3 ? l1∥l2 答案 充要条件 4 解析 若 P(x0,y0)是 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 的交点, 则 F(x0,y0)+λ G(x0,y0)=0,即 F(x,y)+λ G(x,y)=0,过 P(x0,y0); 反之不成立
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答案 充分不必要 5 解 根据韦达定理得 a=α +β ,b=α β
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判定的条件是 p: ?

?a ? 2 ?b ? 1

,结论是 q: ?

?? ? 1 ?? ? 1

(注意 p 中 a、b 满足的前提是Δ =a2-4b≥0) (1)由 ?
?? ? 1 ?? ? 1

,得 a=α +β >2,b=α β >1,∴q ? p
1 2

(2) 为 证 明 p =4+
1 2

q, 可 以 举 出 反 例 取 α =4, β =
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, 它 满 足 a= α + β

>2,b=α β =4×

1 2

=2>1,但 q 不成立

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综上讨论可知 a>2,b>1 是α >1,β >1 的必要但不充分条件 6 证明 ①必要性 设{an}成等差数列,公差为 d,∵{an}成等差数列
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? bn ?

a1 ? 2 a 2 ? ? ? n a n 1? 2 ? 3?? ? n 2 3
2 3

?

a 1 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? d [1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) n ] 1? n ?? ? n

? a 1 ? ( n ? 1) ?

d

从而 bn+1-bn=a1+n·

d-a1-(n-1)
2 3

2 3

d=

2 3

d 为常数 ?
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故{bn}是等差数列,公差为

d

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②充分性: 设{bn}是等差数列,公差为 d′,则 bn=(n-1)d′? ∵bn(1+2+?+n)=a1+2a2+?+nan ① bn-1(1+2+?+n-1)=a1+2a2+?+(n-1)an ② ①-②得 nan=
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n ( n ? 1) 2

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bn ?

n ( n ? 1) 2

bn-1 ?
n ?1 3 [ b1 ? ( n ? 2 ) d ? ] ? b1 ? ( n ? 1) ? d ? 2 2
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an ?

n ?1 2

bn ?

n ?1 2

b n ?1 ?
3 2

n ?1 2

[ b1 ? ( n ? 1) d ? ] ?

从而得 an+1-an=

d′为常数,故{an}是等差数列

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综上所述,数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列 7 解 ①必要性 由已知得,线段 AB 的方程为 y=-x+3(0≤x≤3) 由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点,
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所以方程组 ?
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? y ? ? x 2 ? mx ? 1 ? y ? ? x ? 3( 0 ? x ? 3)

*

有两个不同的实数解

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消元得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 设 f(x)=x2-(m+1)x+4,则有
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? ? ? ( m ? 1) ? 4 ? 4 ? 0 ? ? f (0) ? 4 ? 0 ? ? f (3) ? 9 ? 3( m ? 1) ? 4 ? 0 ? ?0 ? m ? 1 ? 3 ? ? 2
2

? 3? m ?

10 3

②充分性

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当 3<x≤
m ?1?

10 3

时,
( m ? 1 ) ? 16
2

x1=

?

m ?1?

( m ? 1) 2

2

>0

2

10 x2 ? m ?1? ( m ? 1 ) ? 16
2

?1?

(

10 3 2

? 1 ) ? 16
2

?

3

? 3

2

∴方程 x2-(m+1)x+4=0 有两个不等的实根 x1,x2,且 0<x1<x2≤3,方程组 *有两组不同的实数解 因此,抛物线 y=-x2+mx-1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是
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3<m≤
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10
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3

8 解 若关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根,设为 x1,x2 则 0<x1<1,0<x2<1,有 0<x1+x2<2 且 0<x1x2<1,
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根据韦达定理 ?
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? x1 ? x 2 ? ? m ? x1 x 2 ? n

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?0 ? ? m ? 2 得? ?0 ? n ? 1
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有-2<m<0;0<n<1 即有 q ? p 反之,取 m=- , n ?
3 1 1 2 ,x
2

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?

1 3

x?

1 2

? 0, ? ?

1 9

?4?

1 2

<0

方程 x2+mx+n=0 无实根,所以 p q 综上所述,p 是 q 的必要不充分条件 课前后备注 1.已知 p 是 r 的充分不必要条件, 是 r 的必要条件, 是 s 的必要条件, s q 那么 p 是 q 成立的
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q

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:依题意有 p ? r,r ? s,s ? q,∴p ? r ? s ? q.但由于 r p. 答案:A 2. “cos2α =-
3 2

p,∴

”是“α =kπ +

5π 12

,k∈Z”的

A.必要不充分条件 C.充分必要条件 解析:cos2α =-
3 2

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
?

2α =2kπ ±

5π 6

?

α =kπ ±

5π 12

.

答案:A 3.在△ABC 中, “A>B”是“cosA<cosB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:在△ABC 中,A>B ? cosA<cosB(余弦函数单调性). 答案:C 4.命题 A:两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0) , 命题 B:曲线 F(x,y)+λ G(x,y)=0(λ 为常数)过点 P(x0,y0) , 则 A 是 B 的__________条件. 答案:充分不必要 5.函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条 件是 A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞) C.α ∈[1,2] D.a∈(-∞,1]∪[2, +∞) 解析:∵f(x)=x2-2ax-3 的对称轴为 x=a,∴y=f(x)在[1,2]上 存在反函数的充要条件为[1,2] ? (-∞,a]或[1,2] ? [a,+∞) , 即 a≥2 或 a≤1. 答案:D 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0 且 p≠1) ,求数列{an}成等比 数列的充要条件. 分析:先根据前 n 项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证 明其充分条件. 解:当 n=1 时,a1=S1=p+q; - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(p-1) n 1. ·p 由于 p≠0,p≠1,∴当 n≥2 时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)

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是等比数列,则

a2 a1

=p,即(p-1) ·p=p(p+q) ,∴q=-1,即{an}是等比

数列的必要条件是 p≠0 且 p≠1 且 q=-1. 再证充分性: 当 p≠0 且 p≠1 且 q=-1 时,Sn=pn-1, an=(p-1) n 1, ·p ∴{an}是等比数列.


an a n ?1

=p(n≥2) ,

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