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2013届高三数学寒假作业(学生版)


2013 届高三数学寒假作业(1)
一、填空题:
2 3 2 2 1、已知集合 A ? x x ? 25? | x ? 5 x |? ax, x ? R , B ? x x ? 13 x ? 12 ? 0 ,若 A ? B ? ? .则实数 a 的

?

?

?

?

取值范围为



2、设 x 、 y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1



2 3、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? 、 ? ? ( ?

? ?

, ) ,则 tan(? ? ? ) ? 2 2




4、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于

5、已知命题 p : “存在 x ? [0,1] ,使得 k ? 4x ? k ? 2x?1 ? 6 ? (k ? 5) ? 0 ” ,若命题 p 是假命题,则实数 k 的取值范围




6、已知 a ? 1 时,集合 [a, 2 ? a] 有且只有 3 个整数,则 a 的取值范围是___________. 7、已知实数 x 、 y 满足 ?

? y2 ? x ? 0 ? x? y ?2

,则 2x ?

y 的最小值为

,最大值为



8、已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?

.

9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 16 , an?1 ? an ? 2n ,则

an n

的最小值为



10、双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 a 2 b2
. .

B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2 ?
11、等比数列 {an } 中, a1 ? 317 、 q ? ? 12、已知函数 f ( x) ?
小值,则

1 ,记 f (n) ? a1 ? a2 ? a3 ??an ,则当 f ( n) 最大时, n 的值为 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ( a 、 b 、 c ? R )在区间 (0,1) 内取得极大值,在区间 (1, 2) 内取得极 3 2
的取值范围为

( a ? 3) 2 ? b 2
2



13、 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? mx ? 2 ,对 ?x1 ?[?1, 2] , ?x0 ?[?1, 2] ,使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则 m 的取值范围




14、定义一:对于一个函数 f (x) ( x ? D ) ,若存在两条距离为 d 的直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 ,使得在 x ? D
时, kx ? m1

? f ( x) ? kx ? m2

恒成立,则称函数

f (x) 在 D 内有一个宽度为 d
1

的通道.

定义二:若一个函数 度为 ? 的通道, 则称 ④

f (x) ,对于任意给定的正数 ? ,都存在一个实数 x0 ,使得函数 f (x) 在 [ x0 , ? ?) 内有一个宽
s x n i 2 , f ( x) ? x ? 1 , ③ x


下列函数① f ( x) ? ln x , f ( x ) ? ② f (x) 在正无穷处有永恒通道.

f ( x) ? x 2 ,⑤ f ( x) ? e ? x ,其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是

二、解答题: 15、 已知函数 f ( x) ?

π 3 1 , sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1( x ? R ) 将函数 f ( x ) 向左平移 6 2 2
A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .

个单位后得函数 g ( x ) ,

设三角形 ?ABC 三个角 (Ⅰ)若 c

? 7 , f (C ) ? 0 , sin B ? 3sin A ,求 a 、 b 的值;
?? ? ?? ? ? 0 且 m ? (cos A,cos B), n ? (1,sin A ? cos A tan B) ,求 m ? n 的取值范围.

(Ⅱ)若 g ( B )

16、在直径为 1 的圆 O 中,作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形 ABCDEFG ,如图所示:其中 CD ? EF ? x ,

BE ? DG ? y ( y ? x ? 0) .求:
(1)试用 ? 表示十字形的面积 S ;并求 S 的最大值; (2)记该图形的“优美系数”为 数

p ,其中 p=

BE , AE 、 CD 、 BE 分别为线段的长,求 ? 为何值时,优美系 2AE ? CD

p 最大.

2

17、已知函数 f ( x) ? ln x ?
(1)当 a

1 2 x ? (a ? 2) x . 2

? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 的递增区间;

(2)设 x ? m 和 x ? n 是函数

f ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点,其中 m ? n , a ? R . 2

(Ⅰ) 求

f (m) ? f (n) 的取值范围;(Ⅱ)若 a ? e ?

1 ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值. e

* 18、设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、 b 、 p 是常数) .

(1)当 k (2)当 k

? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;
? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,

(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当 k 设是数列的前项和, a2

? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ?? ? ? .若存在,求数列的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由. 12 S1 S2 S3 Sn 18

3

19、如图,在五面体 ABCDEF 中, AF ? 平面 ABCD , AD ∥ BC ∥ EF , AB ? AD ,

AF ? AB ? BC ? FE ?

1 AD ? 2 . 2
F E

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;

A ? CD ? E 的余弦大小; (3)求五面体 ABCDEF 的体积.
(2)求二面角

A B C

G

D

20、已知方向向量为 d ? (1, 3) (即直线斜率为 3 )的直线 l 过椭圆 C :

(0,?2 3) ,直线 l 与椭圆 C 交于 (1)求椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点以及点 a2 b2 A 、 B 两点,且 A 、 B 两点与另一焦点围成的三角形周长为 4 6 .

(2)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M 、 N 两点,当 ?MON 的面积为 线 m 的方程; (3)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M 、 N 两点,当 OM 标原点) ,求直线 m 的方程.

2 6 3

时( O 坐标原点) ,求直

? ON ?

4 6 ? 0( O 坐 3 t an?MON

4

2013 届高三数学寒假作业(2)
一、填空题: 1、若实数 x 、 y 满足

1 1 ? 2 ? 1 ,则 x2 ? 2 y 2 有最小值 2 x y



2、已知等差数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,若 S16 ? 0 , S17 ? 0 ,则当 S n 最大时 n 的值为__________. 3、已知集合 M ? {x |

( x ? 4)(x ? 2) ? 0} ,集合 N ? {x | 2 ax ? 3a ? x,a ? 0} ,则集合 ( x ? 7)(x ? 1)

2 2

T ? {a | M ? N ? ?} ?

4、已知不相等的实数 m 、 n 分别满足: m ? 2010m ? 2011 ? 0 和 n ? 2010n ? 2011 ? 0 ,则 5、若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 .

1 1 ? ? m n



6、若双曲线
方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆 a2 9
.

7、已知在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? 4 , BC ? 6 , CD ? 2 , 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 ,则 ?ABC 的外
接圆半径 R 为

??? ???? ?

??? ??? ? ?

.

8、已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数.若 a1 ? d 、 b1 ? d 2 ,
2 2 a12 ? a2 ? a3 且 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3



9、如图,线段 AB 长度为 2 ,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴
上滑动,以线段

AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 ,
_ _ .

O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围是

10、已知函数 f ( x) ? log a
任意的 x 都有 是

1 ? m( x ? 2) ( a ? 0 且 a ? 1) ,对定义域内 x ?3

f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 成立,则实数 m 的值

;若当 x ?

?b, a? 时,函数 y ?

f ( x) 的值域范围恰

第 12 题图

为 (1, ??) ,则实数 a 、 b 的值分别为

11、据预测中国未来 10 年期间的年均通货膨胀率(物价平均水平的上涨幅度)为 10% ,已知某种商品,它的价格 P (单位:

5

元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系: P 涨的变化率为 ( ...

?t ? ? P0 (1 ? 10%) 2 ,其中 P0 为 t ? 0 时的物价,已知 t ? 10 时,价格上
元.

t

11 5 11 ) ln (单位:元/年) P (2) ? ,则 10 10


12、如图为一个算法的程序框图,则其输出结果是 13、已知函数
取值范围为

在区间 (0,1) 内取得极大值,在区间 (1, 2) 内取得极小值,则 a 的

. .

14、若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 1 ? 1 ? x 2 有两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围为 二、解答题: 15、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,
E、 F 分别为 CD、PB 的中点, AE ? 3 .

P

AEF ? 平面 PAB . (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面

F A E B C D

16、定义非零向量 OM ? ? a, b ? 的“相伴函数”为 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( x ? R ) ,向量 OM ? ? a, b ? 称为函数
(其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S . f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的“相伴向量” (1)已知 h

???? ?

???? ?

? x? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos x ,求证: h ? x ? ? S ; ? x ? 的“相伴向量”模的取值范围;
???? ? ? 3 且 0 ? b ? 3 ,向量 OM 的“相伴函数” f ( x)
在x?

(2)求(1)中函数 h

(3)已知点 M (a, b) 满足条件: a

x0 处取得最大值.当

点 M 运动时,求 tan 2x0 的取值范围.

6

17、已知函数 f ( x) ? e x ? ax ( e 为自然对数的底数,近似值为 2.718 ) .
(Ⅰ)求函数

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)不等式

? 1 ? f ( x) ? x 的解集为 P ,若 M ? ? x | ? x ? 2? 且 M ? P ? M ? 2 ?

,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)当 a 斜率与

? ?1 时,设 g ( x) ? e x ? ln x ,是否存在 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x0 处的切线

f ( x) 在 R 上的最小值相等?若存在,求出符合条件的 x0 的个数;若不存在,请说明理由.

18、将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求:
(I)两数之和为 5 的概率;

x?0 ? ? y?0 (II) 以第一次向上点数为横坐标 x , 第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ? x, y ? 在区域 ? :? 内的概率. ?x ? y ? 2 ? 0 ?

7

19、如图, ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3 (百米),底 AB 的长为 4 (百米).现决定在该空地内筑
一条笔直的小路 EF (宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分 别为 S1 和 S 2 . (1) 若小路一端 E 为 (2) 求

AC 的中点,求此时小路的长度;

S1 S2

的最小值.

20、已知数列 ?an ? 满足

an?1 ? an ? 1 ? n(n ? N ? ) 且 a2 ? 6 . an?1 ? an ? 1

(1)设 bn

?
?

an (n ? 2) 、 b1 ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n(n ? 1)
an u (n ? N ? ) , c 为非零常数,若数列 ?un ? 是等差数列,记 cn ? n n?c 2n
, Sn

(2)设 un

? c1 ? c2 ? ? ? cn ,

求证: Sn

? 4.

8

2013 届高三数学寒假作业(3)
一、填空题: 1、若不等式 | x ?

1 |?| a ? 2 | ?1 对于一切非零实数 x x
2 n ?1

均成立,则实数 a 的取值范围是

. .

2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3 3、已知函数 y ? cos( x ?
直线 x 说法是

an ?

?

?

?
6

) ? sin( ? x) 具有性质:①最大值为 1 ,图象关于点 ( , 0) 对称;②最大值为 1 ,图象关于 2 3 6

?

n ,则 an ? 2

?

对称;③最大值为

? ? 3 ,图象关于点 ( , 0) 对称;④最大值为 3 ,图象关于直线 x ? 6 6

对称.其中正确的



4、若曲线 f ( x) ?

1 3 sin x ? cos x 的切线倾斜角为 ? 2 2

,则 ? 的取值范围为

.

如图所示,A 、B 、 是圆 O 上的三点, 若 C CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆外的点 D , OC ? mOA ? nOB , 5、 则 m ? n 的取值范围是__

___.

6、 F 、 F2 分别是双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, A 是其右顶点,过 F2 作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点为 P , a 2 b2

是 ?PF F2 的重心,且 GA ? F F2 1 1

??? ???? ? ?

? 0 ,则双曲线的离心率__

_. ___.

7、如图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 ? ? ?L ? 2 4 6 2012
开 始

i=1, s=0


是 (题 5 图)

输出 S

s=s+

1 2i

结 束

i=i+1
(题 7 图)

8、已知圆 O : x ? y ? 1 ,点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, O 为坐标原点,过点 P 作圆的切线 PQ ,使得
2 2

?OPQ ? 30? ,则 x0 的值为


9

9、已知等比数列 {an } 的各项都为正数,且当 n ? 3 时, a4 ? a2n?4 ? 102n ,则数列 2

lg a1

,2

lg a2

,2

lg a3

,2

lg a4



? , 2lg an , ? 的前 n 项和 Sn 等于
10、若函数 f ( x ) ?| e ?
x

. .
y' C' B'

a 1 | 在 x ? [ ? ,1] 上增函数,则实数 a 的取值范围是 x e 2
/ /

11、如图,正方形 O A B C 的边长为 a ,它是水平放臵的一个平面图形的直观图,则原图形的
面积是是
3 2

/

/

O'

A'

x'

. .

12、方程 x ? bx ? 1 ? 0 有且仅有两个不同零点,则 b 的值为

13、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 x ?[t , t ? 2] 不等式 f ( x) ? 4f ( x ? t ) 恒
成立,则实数 t 的最大值是



14、已知函数 f ( x) ? x( x ? 9) 2 , x ? [0,??) 存在区间 [a, b] ? [0, ??) ,使得函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的值域为

[ka, kb] ,则最小的 k
二、解答题:

值为



15、已知奇函数 f ( x ) 在 (??,0) ? (0, ??) 上有意义,且在 (0, ??) 上单调递增, f (1) ? 0 .又有函数

? g (? ) ? sin 2 ? ? m cos? ? 2m , ? ? [0, ] .若集合 M ? ?m | g (? ) ? 0? , N ? ?m | f [ g (? )] ? 0? . 2
①求

f ( x) ? 0 的解集;

②求 M

?N .

1 x2 y2 16、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,且经过点 A(2 , 3) . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AO ( O 是坐标原点)与椭圆 C 相交于点 B ,试证明在椭圆 C 上存在不同于 A 、 B 的点 P ,使 AP 2 ? AB 2 ? BP 2 (不需要求出点 P 的坐标) .

10

17、已知函数 f ( x) ?

1 2 ex a x ? m ln x, g ( x) ? ? x 2 a e



(1) 若函数 g ( x ) 为偶函数,求 a 的值; (3)设 1 ?

(2) 函数

y ? f ( x) 有零点,求实数 m 的取值范围;

m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,证明对 ?x1 、 x2 ?[1, m] 恒有 H ( x1 ) ? H ( x2 ) ? 1 .

18、已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 ? a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,?,

bn ? bn?1 是首项为 1 ,公比为
(1) 求数列 {an } 的通项公式;

1 的等比数列. 3
(2) 若 cn

3 ? an ? (bn ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 2

11

19、某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救,救生员没有直接从 A 处游向

B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处.若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒,在海中的行
进速度是 2 米/秒(不考虑水流速度等因素) . (1)请分析救生员的选择是否正确;

B
(2)在

AD 上找一点 C ,使救生员从 A 到 B 的时间最短,并求出最短时间.
300 米

A

C 300 米

D

20、已知 a1 ? 1 ,点 (an , an?1 ? 2) 在函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1 、 2 、 3 、…….
2

(1)证明:数列 {lg(an

(2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; ? 2)} 是等比数列;

(3)已知 bn 是

3 1 1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: ? S n ? . 8 2 an ? 1 an ? 3

12

2013 届高三数学寒假作业(4)
一、填空题: 1、已知甲乙两车间的月产值在 2011 年元月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增
加产值的百分比相同,到 2011 年 8 月份发现两车间的月产值又相同,比较甲乙两个车间 2011 年 4 月月产值的大小,则 有



2、 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 AB ? AC ? 2 AO ,且 OA ? AC ,则向量 BA 在向量 BC 方向上的
射影的数量为



3、向量 a ? (2,0) 、 b ? ( x, y) ,若 b 与 b ? a 的夹角为

?

?

?

? ?

? 6

,则 | b | 的最大值为

?

.

4、已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足: a1 ? b1 ? 3 、 a2 ? b2 ? 7 、 a3 ? b3 ? 15 、 a4 ? b4 ? 35 ,
则 a5

? b5 ?



5、在 ?ABC 中, AB ? 2 AC ? 2 、 AB ? AC ? ?1 ,若 AO ? x1 AB ? x2 AC ( O 是 ?ABC 的外心) x1 ? x2 ,则
的值为 .

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

Y . B

6、如右图所示,已知 A(4 , 0) 、 B (0 , 4) ,从点 P (2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线
OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是

7、设集合 A ? {( x, y) | y ?| x ? 2 |} , B ? {( x, y) | y ? ? | x | ?b} , A ? B ? ? ,则 b 的
取值范围是

. O P . . A

X

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?1 ? x ? 3) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1 2n? 9、已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n sin ,则 a1 ? a2 ? ? ? a2010 的值等于 3
8、函数 y ? 10、已知函数 f ( x) ? ?
值范围是
?

?ax ? 1 ? 2a( x ? 0)
2 ? x ( x ? 0)

,若存在 x1 、 x2 ? R , x1

? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取



11、对数列 ?an ? ( n ? N , an ? N ? ) bk 为 a1 , a2 , ? , ak 中的最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的峰值数列, ,令
例如 2 , 1 , 3 , 7 , 5 的峰值数列为 2 , 2 , 3 , 7 , 7 ,由以上定义可算出峰值数列为 1 , 3 , 3 , 9 , 9 的所有 数列

?an ? 的个数是



12、 F 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点,第一象限内的点 M 5

在椭圆上,

若 MF

? x 轴,直线 MN 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切于第四象限内的
13

点 N ,则

NF

等于



?m 1 ? x 2 ( x ? (?1,1]) ? 4 的函数 f ( x) ? ? 13、已知周期为 ,其中 m ? 0 ,若关于 x 的方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解, 1 ? x ? 2 ( x ? (1,3]) ? ?

则实数 m 的取值范围是

.

14、设 e 为自然对数的底数,已知直线 l : y ? ?e?t ( x ? t ) ? e?t , t ? ?1,则直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形面积的
最大值等于 . 二、解答题: 15、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m ,如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每 平方米的造价为 120 元,记该水池底面一边的长度为 xm( x ? 0) ,该水池的总造价为 y 元. (Ⅰ)写出

y 关于 x 的函数表达式 ;

(Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元?

16、已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1( x ? R) .
(1) 试说明函数 (2) 若函数 g

f ? x ? 的图像是由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换得到的;
1 ? 1 7? | f (x ? ) | ? | f (x ? ) | ( x ? R ) ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性,写出函数 g ( x) 2 12 2 12
的最

? x? ?

小正周期并说明理由; (3) 求函数 g (4) 若函数

? x ? 的单调区间和值域.
1 ? 1 ? | f ( x ? ) | ? | f ( x ? ) | ( x ? R) ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性,并用反证法证明函数 2 12 2 3

g ? x? ?

g ( x) 的最小正周期是

? . 4

14

17、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 (Ⅱ)求证: B1C

AEC1 ;
B1

A1

C1

? 平面 AEC1 .

A E B

C

3 2 18、 如图, 过点 (0, a ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax 相切于 A 、B 两点, AD 、BC 垂直于直线 y ? ?8 , 垂足分别为 D 、

C ..
(1)若 a

y

? 1 ,求矩形 ABCD 面积;

(2)若 a ? (0, 2) ,求矩形

ABCD 面积的最大值.

O A B

x

D

C

15

19、数列 ?an ? 中, an ? 0 , an ? 1 ,且 a n ?1 ?
(2)若 a1 ? ? an?1 ;

3a n ? (n? N ) . 2a n ? 1

(1)证明: a n

3 ,计算 a2 , a3 , a4 的值,并求出数列 ?an ? 的通项公式; 4

(3)若 a1

? p ? an ? ,使得数列 ? ? a ,求实数 p ( p ? 0 ) ? 成等比数列. ? an ?

20、设函数 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

①若 a

? 0 , f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值;

②设 g ( x ) ? 直线

f ( x) ?

a ex



A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若对任意的 a ? ?1 ,

AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
n

③是否存在正整数 a ,使得 1

? 3n ? 5n ? ? ? (2n ? 1)n ?

e ? (an)n 对一切正整数 n 均成立?若存在,求 a 的最小 e ?1

值;若不存在,请说明理由.

16

2013 届高三数学寒假作业(5)
一、填空题: 1、命题“ ?x ? (1, 2) 时,满足不等式 x ? mx ? 4 ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围是
2

. . .

2、若点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , C ? 120 ,则实数 ? 的值为
?

3、如图,在 ?ABC 中, AN ?

????

1 ???? NC , P 是 BN 3

上的一点,若

??? ? ??? 2 ???? ? AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值为 11
y
f ?( x )

a x1

o

x2

x3

x4

x5

x6

b x

(题 3 图)

(题 6 图)

4、函数 f ( x) ? 2 sin x ? tan x ? m, x ? [?

? ?

, ] 有零点,则 m 的取值范围为__________. 3 3
. .

5、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比为 q ,若 Sn 、 Sn?2 、 Sn ?1 依次成等差数列,则公比 q 的值为 6、 已知函数 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如图所示, 则函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a, b) 内的极小值点为
(写出所有你认为取得极小值处的点的横坐标,若有多个用逗号隔开)

7、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n n

,称 Tn 为数列 a1 , a2 , a3 ,…, an 的“理想数” ,

已知数列 a1 , a2 , a3 ,…, a400 的“理想数”为 2005 ,则 11 , a1 , a2 , a3 ,…, a400 的“理想数”为



8、若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b |?| b | ,则正确的判断个数是

?

?

? ?

?

. ③| 2b |?| a ? 2b | ;

?

?
②2 |

?

① 向量 a 、 b 的夹角恒为锐角;

? ? b |2 > a ? b ;

?

?

?

④| 2a |?| a ? 2b |

?

?

?

9、若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为

. . .

x 10、已知可导函数 f (x) ( x ? R) 的导函数 f ?(x) 满足 f ?(x) > f (x) ,则不等式 ef ( x) ? f (1)e 的解集是

2 11、设 p : ?x ? (1, ) 使函数 g ( x) ? log2 (tx ? 2x ? 2) 有意义,若 ? p 为假命题,则 t 的取值范围为

5 2

12、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 ?B 曼德尔布罗特在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科
学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照 的分形规律生长成一个树形图,则第 12 行的实心圆点

17

的个数是

. 第1 行 第2 行 第3 行 第4 行 第5 行 第6 行
(第 13 题图)

13、已知椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点(如图) ,则这个平行四边形 4

2006

面积的最大值是

14、 已知 x ? 0 , 不等式 ( x 二、解答题:

? 1) 1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ? ax2005 恒成立,求实数 a 的取围 ???? ????? ? ?
1003 项成等比数列

?

?

.

15、在 ?ABC 中, A 、 B 为锐角,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10



(1)求

A ? B 的值;

(2)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a 、 b 、 c 的值.

16、调查某校 100 名学生的数学成绩情况,得下表:
一般 男生(人) 女生(人) 良好 优秀

x
10

18 17

y
z

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到成绩一般的男生的概率为 0.15 . (1)求 x 的值; (3)已知 (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 20 名,问应在优秀学生中抽多少名?

y ? 17, z ? 18 ,优秀学生中男生不少于女生的概率.

18

17、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2 , E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 (II)若棱

AEC1 ;
B1

A1

C1

AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

(Ⅲ)求平面

A E B

C

18、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,且在 x 轴上方, PF2 ? F1F2 、 a 2 b2

1 1 PF2 ? ? PF1 , ? ? [ , ] . 3 2
(1)求椭圆离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F 、 F2 、 P 的圆 Q 的截 1 (3)在(2)的条件下,过椭圆右准线 l 上任一点

y 轴的线段长为 6 ,求椭圆方程;
、 N .试探究直线 MN 是否过

A 引圆 Q 的两条切线,切点分别为 M

定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.

y

l

·

M

P
A

F1

O

·
N
N

F2

x

19

19、已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? xn , n ? N * ,其导函数记为 f n / ( x) ,且满足

f / 2 [ x1 ? a( x2 ? x1 )] ?

f 2 ( x2 ) ? f 2 ( x1 ) , a 、 x1 、 x2 为常数, x1 ? x2 . x2 ? x1

(1)试求 a 的值; (2)记函数 F ( x) ? b ? (3)对于(2)中的 b ,设函数 g ( x )

f1 ( x) ? ln f3 ( x) , x ? ? 0, e? ,若 F ( x) 的最小值为 6 ,求实数 b 的值;

b ? ( ) x , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x) 图像上两点,若 3

g '( x0 ) ?

y2 ? y1 ,试判断 x0 、 x1 、 x2 的大小,并加以证明. x2 ? x1

20、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a ? 0 , a2 ? a1 ,当 n ? N 时, an?1 ? f (an ) ,
*

且存在非零常数 k 使

f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 恒成立.
(2)求证:数列 {an } 为等比数列的充要条件是

(1)若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值;

f ( x) ? kx (k ? 1) .

(3) 已知

f ( x) ? kx (k ? 1) ,a ? 2 , bn ? ln an( n ? N * ) 数列 {bn } 的前 n 项是 Sn , 且 , 对于给定常数 m , 若

S( m ? 1 ) Smn

n

的值是一个与 n 无关的量,求 k 的值.

20

2013 届高三数学寒假作业(6)
一、填空题: 1、设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的取值范围是 2、 给出下列命题: ①半径为 2 , 圆心角的弧度数为
则?



1 2

的扇形面积为

1 2

tan(? ; ②若 ? 、? 为锐角,

? ?) ?

1 1 tan ? ? , , 2 3

? 2? ?

π π 2 3 ;③函数 y ? cos(2 x ? ) 的一条对称轴是 x ? π ;④ ? ? π 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数 4 3 3 2


的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是 . 3、已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其公差为

4、

3 tan12? ? 3 ? sin12? (4cos 2 12? ? 2)



5、设 x ? 0 ,若 f ( x) ? x 2 ?

4 2 ? x(cos? ? 1) ? (sin? ? 1) ? M 恒成立,则实数 M 的取值范围是 2 x x
a

.

6、设实数 a1 , a2 , a3 , a4 是一个等差数列,且满足 1 ? a1 ? 3 , a3 ? 4 .若定义 bn ? 2 n ,给出下列命题:
(1) b1 , b2 , b3 , b4 是一个等比数列: (2) b1 其中真命题的个数为 (3) b2 ? 4 ; (4) b4 ? 32 ; (5) b2b4 ? 256 . ? b2 ;



7、若 0 ? y ? x ?

?
2

,且 tan x

? 3tan y ,则 x ? y 的最大值为



8、若对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是曲线 f ( x) ? 9、已知函数 f ( x) ? ?
时,则 a =

1 3 x ? ax 的切线,则实数 a 取值范围是是 3



?(3a ? 1) x ? 5a( x ? 1)x y ? a (a ? 0且a ? 1) ,现给出下列命题:① log a x( x ? 1) ?

当其图象是一条连续不断的曲线

1 8

;② 当其图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a 使 函数

f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数;③



1 1 a ? ( , ) 时 , 不 等 式 f (1? a )? f (1? a ) ? 0 成 立 ; ④ 恒 8 3


y ? f (| x? 1 |)是 偶 函 数 . 其 中 正 确 命 题的 序 号

. (填上所有你认为正确的命题的序号) 10、将一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 的玩具)先后抛掷两次,骰子向上的点数 依次为 x 、 y .则 x ? y 的概率为 . .

11、公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等于

12、 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?PF1F2 为 a 2 b2

. a ? b(a ? b ? 0) ? 1 ? ,设函数 f ( x ) ? ln x ? x ,则 f (2) ? f ( ) ? 13、任給实数 a 、 b ,定义 a ? b ? ? a 2 ? b (a ? b ? 0) ?
等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是



21

若 {an } 是公比大于 0 的等比数列,且 a5

? 1 , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a8 ) ? a1 ,则 a1 ?

. .

14、已知关于 x 的实系数一元二次不等式 ax2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的解集为 R ,则 M ? a ? 3b ? 4c 的最小值是 b?a 二、解答题: 15、 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a 、 b 、 c 成等比数列, cos B ?
(Ⅰ)求

1 1 ? tan A tan C

的值;

(Ⅱ)设 BA ? BC

??? ??? ? ?

3 . 4

?

3 ,求 a ? c 的值. 2

16、已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是 8 4 圆 C 上任意一点.

(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在一点 P ,使得

GF 1 ? ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2

22

17、已知函数 f ( x) ? xk ? b (常数 k 、 b ? R )的图像过点 (4, 2) 、 (16, 4) 两点.
(1)求

f ( x) 的解析式; f ( x) 图像上, Q1 、 Q2 从左至右是 x 正半轴上的两点?

(2)问:是否存在边长为 4 正三角形 ?PQ1Q2 ,使点 P 在函数 若存在,求直线 PQ2 的方程,若不存在,说明理由; (3)若函数 g ( x ) 的图像与函数 求实数 a 的取值范围.

f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,且不等式 g ? x ? ? g ? x ? 2? ? 2ax ? 2 恒成立,

18、在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, AA=AD=2 , E 是棱 CD 上的一点. 1 1
(Ⅰ)求证:

AD1 ? 平面 A1B1D ;

(Ⅱ)求证: B1 E

? AD1 ;

(Ⅲ)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 在,请说明理由.

AA1 上是否存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE ?若存在,求出线段 AP 的长;若不存
E D C

A

B

D1

C1

A1

B1

23

19、设 Tn 为数列 ?an ? 的前 n 项的积,即 Tn ? a1 ? a2 ??? an .
⑴若 Tn

? n2 ,求 a3a4 a5 的值;

an 2 ? n ? N* ? ,证明数列 ?log2 an ? 为等比数列,并求 ?an? 的通项公式; 4 ⑶数列 ?an ? 共有 100 项,且满足以下条件:① a1 ? a2 ??? a100 ? 2 ;②等式 a1 ? a2 ??? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ??? a100 ? 3
⑵若数列 ?an ? 各项都是正数,且满足 Tn ? 对1 ?

k ? 99, k ? N * 恒成立.试问符合条件的数列共有多少个?为什么?

20、设 f ( x) ?

x 1 * ,方程 f ( x) ? x 有唯一解,已知 f ( xn ) ? xn?1 (n ? N ) ,且 f ( x1 ) ? . 1005 a ( x ? 2)

(1)求数列

?xn ? 的通项公式;
(an?1 )2 ? an 2 ,且 bn ? 2an?1an
*

4 ? 4017 xn (2)若 an ? xn

(? N ) ,求和 Sn

?

? b1 ? b2 ? ? ? bn ;

(3)问:是否存在最小整数 m ,使得对任意 n ? N ,有 明理由.

f ( xn ) ?

m 成立,若存在,求出 m 的值;若不存在,说 2010

24

2013 届高三数学寒假作业(7)
一、填空题:

2? 1 ? 2? ) 的值是 ,则 cos( . 3 6 3 2、 已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和, S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项, 若 则数列 {an } 的首项 a1
1、已知 sin(

?

??) ?

的取值范围是



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 3、设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y(a > 0, b > 0) 的最大值为 8 ,则 a + b 的最小 ? x ? 0, y ? 0 ?
值为



4、设 x ? 0 ,若 f ( x) ? x 2 ?

4 2 ? x(cos? ? 1) ? (sin? ? 1) ? M 恒成立,则实数 M 的取值范围是 2 x x
. ___.

.

5、设函数 f ( x) ? ( x2 ? 6x ? c1 )( x2 ? 6x ? c2 )( x2 ? 6x ? c3 ) ,集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 , x3 , x4 , x5}

? N* ,设 c1 ? c2 ? c3 ,则 c1 ? c3 ?
6、函数 y ? ? sin 3 x ? 2 sin x 的最小值是__

2 7、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 0 、 S10 ? 0 ,则 a1

22 , a2

23 , a3

29 ,…, a9

中最大的为



2 8、若关于 x 的方程 x ? 4 x ? 3 ? k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是



D OB 上, OC ? BD , OA ? 1 , AOB ? 120? , ? 9、 如图所示, 扇形 AOB 的弧的中点为 M , 动点 C 、 分别在 OA 、 且 若
则 MC ? MD 的取值范围是___

???? ???? ? ?

_ ____.

10、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? (m ? 6) x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是
3 2



11、设 S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ? b(3, n) ? ? ? b(m, n) ,则 S (5, 6) ? 12、已知函数 y ? g ( x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移

.y

? (0 ? ? ? ?) 个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示, 则
??

?x ?t

O π
8

17π 24

x

13、设曲线 y ? e ( x ? 0) 在点 M (t , e ) 处的切线 l 与 x 轴, y 轴所围成的三角形面积为 S (t ) ,则 S (t ) 的最大值

25





14、左焦点为 F 的双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在点 A ,使得直线 a 2 b2


FA 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切,则双曲线 C 的离心率取值范围是
二、解答题:

15、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 ( 2a ? c) BA ? BC ? cCB ? CA .
(1)求角 B 的大小; (2)若 |

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BA ? BC |? 6 ,求 ?ABC 面积的最大值.

16、某中学举行了一次“环保知识竞赛” 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的 ,
成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直 方图(如图所示)解决下列问题:

频率分布表
0.040

频率 组距

频率分布直方图

组别 第1 组 第2 组 第3 组 第4 组 第5 组

分组

频数

频率
x

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
合计

8

0.16


a
20




0.40 0.08
b
▓ (Ⅰ)


0.008 y 50 60 70 80 90 100

2


成绩(分)

写出 a 、 b 、 x 、

y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

26

17、已知函数 f ( x) ? mx ?
(Ⅰ)求函数

1 (m, n ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 . x?n

f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? a ln( x ? 1) ? x(a ? 0) ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 与 x 轴有两个交点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任意一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求出此定值.

18、如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别为 AC , B1C1 的中点.
(Ⅰ )求线段 MN 的长; (Ⅱ )求证: MN // 平面

ABB A1 ; 1 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

(Ⅲ)线段 CC1 上是否存在点 Q ,使

27

19、 已知直线 l : x ? my ? 1 m ? R ) ( 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 相交于 E 、F 9 t

两点, x 轴相交于点 B , 与 且当 m ? 0

8 EF ? . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
时, (Ⅱ)设点

A 的坐标为 (?3, 0) ,直线 AE , AF

与直线 x

? 3 分别交于 M

, N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是否

经过点 B ?并请说明理由.

20、设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ,点 ( a, b) 为函数 y ?

5 ? 2x 的对称中心,设数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 x?2 1 , ?bn ? 的前 n 项和为 Sn . 4an?1 ? f (an ) ? 2an ? 2(n ? N ? ) , a1 ? 6 且 bn ? an ? 4 1 2n?1 ? 2 ( 1 )求 a 、 b 的值; ( 2 )求证: S n ? ; . (3) 求证: an ? 2 ? 2 6

28

2013 届高三数学寒假作业(8)
一、填空题: 1、已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A ,集合 B ? {x | x ? a} ,若 P : x ? A ”是 Q :“ x ? B ”的充分不必要 “
条件,则实数 a 的取值范围



2、设 x ? 0 ,若 f ( x) ? x 2 ?

4 2 ? x(cos? ? 1) ? (sin? ? 1) ? M 恒成立,则实数 M 的取值范围是 2 x x
. .

.

2 3、方程 x ? 2 x ? 3 ? 2 x ? k 有 3 个或者 3 个以上解,则常数 k 的取值范围是

4、已知实数 a , b 满足 ab ? 2a ? b ? 4 ? 0, 且b ? 2 ,则 2a ? b 的最小值为
? 5、已知 n ? N ,则求和 (2 ? ) ? (4 ? ) ? ? ? (2n ?

1 )? . 2n ??? ? ? ??? ? ? ? ? 6、已知 ?ABC 为等腰直角三角形, ?A ? 90? ,且 AB ? a ? b , AC ? a ? b ,若 a ? (cos? , sin ? ) (? ?R) ,
则 ?ABC 的面积等于

1 2

1 4


条件.

7、设命题 p : sin ? ? tan ? ? cos ? ,命题 q : sin ? ? cos ? ,则 p 是 q 成立的

8、 在等差数列 ?an ? 中, 若任意两个不等的正整数 k 、 p , 都有 ak ? 2 p 、a p ? 2k ? 1, 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
若k ?

p ? m ,则 Sm ?

(结果用含 m 的式子表示) .
/

/ 3 9、已知函数 f ( x) ? 3x ? cos 2 x ? sin 2 x , f ( x) 是 f ( x ) 的导函数,且 a ? f ( ) ,则过曲线 y ? x 上一点

?

4

P(a, b) 的切线方程为




??? ??? ??? ? ? ? ? ? 10、函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? 4 2

y

1
O

B A
x

11、对于实数 a 、 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? :

?a 2 ? ab, a ? b
2 ?b ? ab, a ? b

,设

f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程
. .

f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 、 x2 、 x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是
12、已知数列 ?an ? 满足

1 1 1 1 a1 ? 2 a2 ? 3 a3 ? ? ? n an ? 2n ? 1 2 2 2 2



?an ? 的通项公式

29

13、已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x. 若存在 a ? [?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个不相等的实数根,则
实数 t 的取值范围是



14、设函数 f ( x) ? x2 ? 6x ? 5 ,集合 A ? {(a, b) | f (a) ? f (b) ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ? 0} .在直角坐标系 aOb 中,
集合

A 所表示的区域的面积为



二、解答题: 15、已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x ? m (? ? 0) 的周期为 ? ,且对 ?x ? R ,都有

f ( x) ? f (
(1)求

?
12

) ? 4 ? m.

f (x) 的解析式;

(2)若函数

f (x) 在区间 [0, ? ] 存在两个不同的零点 x1 、 x2 ,求参数 m 的范围,并求这两个零点之和 x1 ? x2 .

16、如图, A 、 B 是椭圆
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设直线 l 平行于 的面积.

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点, | AB | ? 5 ,直线 AB 的斜率为 ? . 2 2 a b
、N , 与椭圆相交于 C 、D . 证明:?OCM 的面积等于 ?ODN

AB , x 、y 轴分别交于点 M 与

30

17、汽车租赁公司为了调查 A 、 B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆车某
个星期内的出租天数,统计数据如下表:

出租天数 车辆数

1 5

A 型车 2 3 4 5 10 30 35 15 B 型车 3 2 20 20

6 3

7 2

出租天数 车辆数

1 14

4 16

5 15

6 10

7 5

A 、 B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率; (Ⅲ) 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同, 该公司需要从 A 、 B 两种车型中购买一辆, 请你根据所学的统计知识,
(Ⅰ)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

18、四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC , E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ )求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ )求证:平面 PAD (Ⅲ)求二面角 E

? 平面 ABCD ;

? AC ? B 的余弦值.

31

* 19、 已知等差数列 ?a n ?满足: an?1 ? an (n ? N ) ,a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1 ,1 ,3 后顺次成为等比数列 ?bn ?

的前三项. (Ⅰ )分别求数列

?a n ?、 ?bn ?的通项公式;

(Ⅱ )设 Tn

?

2n ? 3 1 a a1 a2 ? ? c(c ? Z ) 恒成立,求 c 的最小值. ? ? ? ? n (n ? N* ), 若 Tn ? n 2n b1 b2 bn

20、已知函数 f ( x) ? (a ? 3b ? 9)ln( x ? 3) ?

1 2 x ? (b ? 3) x . 2 (1)当 a ? 0 且 a ? 1 , f ?(1) ? 0 时,试用含 a 的式子表示 b ,并讨论 f ( x ) 的单调区间; 1 (2)若 f ?( x ) 有零点, f ?(3) ? ,且对函数定义域内一切满足 | x |? 2 的实数 x 有 f ?( x) ? 0 . 6 ①求 f ( x ) 的表达式; ②当 x ? (?3, 2) 时,求函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ?( x) 的图像的交点坐标.

32

2013 届高三数学寒假作业(9)
一、填空题: 1、已知 ?ABC 三条边分别为 a 、 b 、 c , A 、 B 、 C 成等差数列,若 b ? 2 ,则 a ? c 的最大值为 2、若 a ? 1 、 b ? 1 ,且 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ,则 lg(a ? 1) ? lg(b ? 1) ? 3、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值是 4、在等差数列 {an } 中,有 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 ,则此数列的前 13 项和为 5、已知 x ? 0 、 y ? 0 , lg 2x ? lg8 y ? lg 2 ,则 . . . .

1 1 的最小值是 ? x 3y



6、 ?ABC 三条边分别 a 、 b 、 c 满足 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 、 a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,则该三角形最大角为
2



7、我们把满足 an ? an?1 ? k ( n ? 2, k 是常数)的数列叫做等和数列,常数 k 叫做数列的公和.若等和数列 ?an ? 的首
项为 1 ,公和为 3 ,则该数列前 2010 项的和为 S2010

?



8、定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 ( 2,0) 成中心对称,设 s , t 满足不等式

f (s 2 ? 4s) ? ? f (4t ? t 2 ) ,若 ? 2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 的范围是
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5



9、有下列数组排成一排: ( ),( , ),( , , ),( , , , ),( , , , , ),?? ,如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个
数列: , , , , , , , , , , , , , , ,?? ,则此数列中的第 2011 项是

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5



2 10、已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ? 4 ? 3cos x, x ? (?1,1) ,且 f (0) ? 0 ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,

则实数 a 的取值范围是



sin 2 35? ?
11、化简 12、设

sin 20? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ?[?2, 0] 时,

1 2?



1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 (a ? 1) 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 2
的取值范围是

. .

13、设不等的两个正数 a 、 b 满足 a3 ? b3 ? a 2 ? b2 ,则 a ? b 的取值范围是 14、数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,函数 f ( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )( x ? a3 )( x ? a4 ) ,则

f ?(a1 ) ? f ?(a2 ) ? f ?(a3 ) ? f ?(a4 ) ?
二、解答题:
33



??? ? ??? ? 15、已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 内一点 P(0,1) ,过点 P 的直线 l 交圆 O 于 A 、 B 两点,且满足 AP ? ? PB ( ? 为参数) .
(1)若

AB ? 14 ,求直线 l 的方程; (2)若 ? ? 2 ,求直线 l 的方程;

(3)求实数 ? 的取值范围.

16、如图,两座建筑物 AB 、 CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9cm 和 15cm ,
从建筑物

AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . ⑴求 BC 的长度;
⑵在线段 BC 上取一点 P ( P 与 B 、 C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB 问点 P 在何处时, ?

??

、 ?DPC

??



??

最小?

D A

?
B P

?
C

34

17、某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时,

C ( x) ?

1 2 10000 x ? 10 x (万元) ? 1450 (万元) ;当年产量不小于 80 千件时 C ( x ) ? 51x ? ,每件商品售价 3 x

为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

? 18、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 ,平面 PAB ? 平面 ABC , D 、

E 分别为 AB 、 AC 中点.
P
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:

AB ? PE ;
A ? PB ? E 的大小.
A D B E C

(Ⅲ)求二面角

35

19、设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln( x ? 1) ( a , b ? R 且 a ? 2 ) .
⑴当 b

? 1 且函数 f ( x) 在其定义域上为增函数时,求 a 的取值范围;

⑵若函数

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,试用 a 表示 b ;⑶在⑵的条件下,讨论函数 f ( x) 的单调性.

20、将正整数 1 、 2 、 3 、 4 、……、 n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表,对于某一个数表,计算各行和各列中的
2

任意两个数 a 、 b ( a (Ⅰ)当 n

? b )的比值

a b

,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值” .

? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; (Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足

?i ? ( j ? i ? 1)n(i ? j ) aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n(i ? j )
(不必证明) ;

请分别写出 n

? 3 、 4 、 5 时数表的“特征值” ,并由此归纳此类数表的“特征值”

(Ⅲ)对于由正整数 1 、 2 、 3 、 4 、……、 n 排成的 n 行 n 列的任意数表,若某行(或列)中,存在两个数属于集合

2

{n2 ? n ? 1, n2 ? n ? 2,?, n2} ,记其“特征值”为 ? ,求证: ? ?

n ?1 . n

36

2013 届高三数学寒假作业(10)
一、填空题:
2 2 2 1、 ?ABC 三条边 a 、 b 、 c 满足 3a ? 3b ? 3c ? 2ab ? 0 ,则 tan C ?

. . . . -1 y 1 x

2、设关于 x 的不等式

ax ? 1 ? 0 的解集为 s ,且 3 ? S , 4 ? S ,则实数 a 的取值范围为 x2 ? a

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? 4、已知 f ( x) ?| x | + | x ? 1 | ,若 g ( x) ? f ( x) ? a 的零点个数不为 0 ,则 a 的最小值为 5、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像如图所示,设
2

M ?| a ? b ? c | ? | a ? b ? c | ? | 2a ? b | ? | 2a ? b | ,则 M
6、 把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

与 0 的大小关系是 M

0.

? 个单位, 纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y ? f (x) 图象, 6 ? ? 对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断:①该函数的解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) ;②该函数图象关于点 ( ,0) 对称; 3 6 ? ? ③该函数在 [0, ] 上是增函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, ] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 .其中,正确判断的 2 6
序号是



??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 7、已知 a 、 b 不是共线的向量, AB ? ? a ? b, AC ? a ? ?b (? , ? ? R) ,那么 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件
为 ??

?



8、 已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且


An 7n ? 45 an ,则使得 ? Bn n?3 bn

为正偶数时, n 的值

. .

9、已知函数 f (x) 的导数 f ?( x) ? a( x ? 1)(x ? a) ,若 f (x) 在 x ? a 处取到极大值,则 a 的取值范围是 10、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? (3x ? 1)(3x ? 9) .若 f ( x) 在区间

[?2n, ?2n ? 2] (n ? N ? ) 上的最小值为 ?1 ,则 n ?



11、设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,若 | a |? 2 , | b |? 3 , a ? b ? ?6 ,则

?

?

?

?

? ?

x1 ? y1 ? x2 ? y2



* 12、定义:在数列 ?an ? 中,若 an 2 ? an?12 ? p , n ? 2 , n ? N , p 为常数) ( ,则称 ?an ? 为“等方差数列” .

下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若 ,则数列 ? ?an ? 是“等方差数列” a

?1? n ; ? 是等差数列;② ?(?2) ? 是“等方差数列” ? n?

37

③若 ④若

* ,则数列 ?akn ? ( k ? N , k 为常数)也是“等方差数列” ; ?an ? 是“等方差数列”

,又是等差数列,则该数列是常数数列.其中正确的命题为 ?an ? 既是“等方差数列”


?

13、关于以下命题:⑴函数 y ? log2 x ? 1 值域是 R ;⑵等比数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ( n ? N ) ,则

?

?

S k , S 2k ? S K , S3k ? S 2 K ( k ? N ? )是等比数列;⑶在平面内,到两个定点的距离之比为定值 a(a ? 0) 的
点的轨迹是圆;⑷函数 解集是

y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? a) 图像关于直线 x ? a 对称;⑸命题“ f ( x) ? g ( x) ? 0 的


f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 解集的并集”逆命题是假命题.其中真命题的序号是

14、已知函数 f ( x) ?

3x 1 ? 3x

( x? R) ,正项等比数列 {an } 满足 a50

? 1 ,则

f (ln a1 ) ? f (ln a2 ) ? ? ? f (ln a99 ) ?



二、解答题: 15、如图,在菱形 ABCD 中, MA ⊥平面 ABCD ,且四边形 ADNM 是平行四边形.

AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位臵时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明.
(Ⅰ)求证:

N M

D A B

C

E

16、在 ?ABC 中,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin C ? sin B ? sin A) ? 3sin B sin C .
⑴求角

A 值;

⑵求

3 cos B ? cos C 的最大值.

38

17、已知 i , j 是 x , y 轴正方向的单位向量,设 a ? xi ? ? y ? 1? j , b ? xi ? ? y ? 1? j ,且满足 a ? b ? 2 2 .
(1)求点 P( x, y) 的轨迹 C 的方程; (2)设点 F (0,1) ,点 边形

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? A 、 B 、 C 、 D 在曲线 C 上,若 AF 与 FB 共线, CF 与 FD 共线,且 AF ? CF ? 0 ,求四

ACBD 的面积的最小值和最大值.

18、命题 P : (t ?1)2 ? a ? b ,其中 a 、 b 满足条件:五个数 18 、 20 、 22 、 a 、 b 的平均数是 20 ,标准差是 2 ;
命题 q : m ? t

? n ,其中 m 、 n 满足条件:点 M

在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,定点 A(1, 0) , m 、 n 分别为线段 AM 4



的最小值和最大值.若命题“

p 或 q ”为真且命题“ p 且 q ”为假,求实数 t 的取值范围.

39

19、已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1)
与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 ,并且 l1 与 l2 平行. (1)求

f (2) 的值;

(2)已知实数 t ? R ,求函数

y ? f [ xg ( x) ? t ] ( x ? [1, e] )的最小值;

(3)令 F (x)

? g (x) ?g '( x)

,给定 x1 、 x2 ? (1, ??) , x1

? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? 、 ?

,存在实数 m 满足:

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实
数 m 的取值范围.

20、已知数列 ?an ? ,如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 、 bn ? an ? an?1 ( n ? N 且) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“生成
?

数列” . (1)若数列 {an } 的通项为 an (2)若数列 {cn } 的通项为 cn

? n ,写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式; ? 2n ? b
(其中 b 是常数),试问数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 是否是等差数列,说明理由;

(3)已知数列 {dn } 的通项为 dn 满足 (Tm

? 2n ? n ,设数列 {dn } 的“生成数列”{ pn } 的前 n 项和为 Tn .问:是否存在自然数 m

? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 ,若存在请求出 m 的值,否则请说明理由.

40

2013 届高三数学寒假作业(11)
一、填空题: 1、若 2? ? ? ? ? ,则函数 y ? cos ? ? 6sin ? 的最小值为 2、已知定义在
且 Sn 上的函数



3 f (x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 , 2


(其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) ,则 f ( a5 ) ? f ( a 6 ) ? ? 2a n ? n ,

? y?x ? 3、已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y ? x?a ?
4、已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别是 A(3, 0) , B(0,3) ,
,?

的最大值为



1 ? tan ? 的值为 . 2sin 2 ? ? sin 2? 5、在 ?ABP 中, PB ? 2 PA , AB ? 3 ,则 ?ABP 面积的最大值为


??? ??? ? ? ? 3? ? ( , ) ,若 AC ? BC ? ?1 , 2 2



6、如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,以 A 为圆心, AD 长为半径画弧,交 BA 的延长线于 P ,然后以 B 为圆 1
心, BP 长为半径画弧,交 CB 的延长线于 P ,再以 C 为圆心, CP 长为半径画弧,交 DC 的延长线于 P ,再以 D 为圆 1 2 2 3 心, DP 长为半径画弧,交 3 的半径是

AD 的延长线于 P ,再以 A 为圆心, AP4 长为半径画弧,…,如此继续下去,画出的第 8 道弧 4


,画出第 n 道弧时,这 n 道弧的弧长之和为 P4

D P5 P1 A

C AB P2

P3

(题 9 图)

7、函数 f ( x) ? ( )
x

1 2

x ?1

? 2 cos ?x(?2 ? x ? 4) 的所有零点之和等于
x

. . .

8、已知方程 | 2 ?1| ? | 2 ? 1|? a ? 1 有实数解,则 a 的取值范围为

x 9、若奇函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?4, 4] ,其部分图像如图所示,则不等式 f ( x)ln(2 ?1) ? 0 的解集是

41

10、已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 在 x ? 2 处取得极小值,则实数 a 的值为 11、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?(x) .




2 f (x) 的单调减区间是 ( , 2) ; 3



f (x) 的极小值是 ? 15 ;

③当 a ④函数

? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)(x ? a) ;

2 2 f (x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 0 .其中假命题的个数为 3 3



12、 n2 (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列的数表:

a11 a21

a12 a22

a13 a23

? ?

a1n a2n

??????

an1

an 2

an 3

?

ann
? 1 、 a14 ? 2 、

其中,每一行数成等差数列,每一列数成等比数列,并且各列的公比都相等.已知 a12

3 ,则 a21 ? ; ann ? . 4 13、已知 R 上的不间断函数 g (x) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) . a23 ?
又函数

f (x)

满足:对任意的 x ? R ,都有

f ( 3 ? x) ? ? f ( x) 成立,当 x ?[0, 3] 时, f ( x) ? x 3 ? 3x .


若关于 x 的不等式 g[ f

( x)] ? g (a2 ? a ? 2) 对 x ?[?3,3] 恒成立,则 a 的取值范围为

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14、设实数 x 、 y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y(a > 0, b > 0) 的最大值为 8 ,则 a + b 的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
小值为



二、解答题: 15、已知 a ? 0 , a ? 1 . 命题 p :函数 y ? x2 ? (3a ? 4) x ? 1 的图象与 x 轴有两个不同的交点;命题 q :函数

y ? a x 在 (0, ??) 内单调递减.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

42

16、 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、 右焦点分别为 F 、F2 , 其中 F2 也是抛物线 C2 : y = 4 x 的焦点, M 点 1 2 a b
5 |= . 3

为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 (1) 求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN

??? ??? ? ? ???? ???? ???? ? ? ? = MF1 + MF2 ,直线 l ? MN ,与 C1 交于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 方程.

17、已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 5 .
2

(1)画出函数 (3)当 4 ? 2

y ? f (x) 在闭区间 [?5,5] 上的大致图像;

(2)解关于 x 的不等式

f ( x) ? 7 ;

2 ? k ? 4 ? 2 2 时,证明: f ( x) ? kx ? 4k ? 7 对 x ? R 恒成立.

18、生产 A 、 B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元
件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件

[70,76)
8

[76,82)
12

[82,88)
40 40

[88,94)
32 29

[94,100]
8

A

元件 B (Ⅰ)试分别估计元件 (Ⅱ)生产一件元件

7
A ,元件 B 为正品的概率;

18

6

A ,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B ,若是正品可盈利 50 元,若是次

品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下 (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件

A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X

的分布列和数学期望;

(ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

43

19、数列 ?an ? 的首项为 1 ,前 n 项和是 S n ,存在常数 A 、 B 使 an ? S n ? An ? B 对任意正整数 n 都成立.
(1)设

A ? 0 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列;

(2)设数列

?an ?是等差数列,若 p ? q ,且

1 1 1 ? ? S p S q S11

,求

p 、 q 的值.

(3)设

A ? 0, A ? 1且

an ? M 对任意正整数 n 都成立,求 M an?1

的取值范围.

20、已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x .
(1)求函数

f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.

(2)若 k ? Z ,且 k ( x ?1) ?

44

2013 届高三数学寒假作业(12)
一、填空题: 1、已知 a ? b ?[1, 2] 、 a ? b ? [2, 4] ,则 4a ? 2b 取值范围是 .

2、若函数 f ( x) ?

ax ? 2 ? x ? 2a 2 a ?1

为奇函数,则实数 a ?



3、若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ( x ? R ) ,又 f (? ) ? ?2 、 f ( ? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为

? 的值是

3? 4

,则正数

. .
,则 a 的值为

4、已知 2sin 2 x ? cos2 y ? 1 ,则 sin 2 x ? cos2 y 的取值范围为 5、已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图像的一条对称轴为 x ?

5 ? 3



6、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 、 g ( x) 满足

f ( x) f (1) f (?1) 5 ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , ? ? , g ( x) g (1) g (?1) 2


若有穷数列 ?

? f ( n) ? 31 ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于 32 ? g (n) ?

7、已知函数 ? ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? ? ( x) 在点

(1, ? (1)) 处的切线的斜率为
? 8、已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 120 .设 AB ? a , AC ? b ,若 AO ? ma ? nb ,

则 m? n ?



1 3 a 2 9、若函数 f ( x) ? | x | ? x ? (3 ? a ) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是 . 3 2 10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 1 , 2 , 3 ,…, 2011 ,从第二行起每个数分别等于 上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M ,则这个数 M 是 .
1 3 8 2 5 3 ? 2009 2010 2011 ? 4019 4021 ? 8040 ? M

11、若 P (a, b) 是双曲线 x ? 4 y ? m(m ? 0) 上一点,且满足 a ? 2b ? 0, a ? 2b ? 0 ,则双曲线离心率为
2 2



2 12、设实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,则

a ?b?5 的取值范围是 a ?1

.

45

13、已知函数 f ( x) ? 10 x ,且实数 a 、 b 、 c 满足 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) , f (a ) ? f (b) ? f (c) ?

f (a ? b ? c) ,则 c 的最大值为
14、已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ?
2



1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) ,若对任意 x ? [1,9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立, 4
.

则所有满足条件的实数 t 的值为

二、解答题: 15、一个盒子中装有标号为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整 数的概率. (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的.

16、在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 a

? 4,C ?

?

3

,且 ?ABC 的面积 S

? 3 ,求 b 、 c 的值;

(2)若 sin(B ?

A) ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,试判断 ?ABC 的形状.

46

17、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,平面 ASD ? 平面 ABCD .四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点, Q 为

SB 的中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 SAD ;
(Ⅱ)求证: PQ ∥平面 SCD ; (Ⅲ)若 SA ?

S Q C P A D B
·

SD , M 为 BC 中点,在棱 SC 上是否存在点 N DMN ⊥平面 ABCD ,并证明你的结论. 使得平面



M

18、已知抛物线 D 的顶点是椭圆
(Ⅰ )求抛物线 D 的方程; (Ⅱ )已知动直线 l 过点 P

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3

?i ? 若直线 l 的斜率为 1 ,求 AB 的长; ?ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果
不存在,说明理由.

?4,0? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

47

19、已知函数 f ( x ) ?
(1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

A(1, 0) ,设点 P( x, y) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP |

的最小值,并求此时

点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式

f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 a 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

?n 20、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n ( n ? N ) ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 3 ? an .
?

(1)求证:数列

?bn ? 是等差数列;

(2)设 S n

?

a a1 a2 a3 S 1 1 ? ? ? ? ? n ,求满足不等式 ? n ? 的所有正整数 n 的值. 3 4 5 n?2 128 S2 n 4

48

2013 届高三数学寒假作业(13) (附加题部分)
1、如图, PA 与 ? O 相切于点 A , D 为 PA 的中点,过点 D 引割线交 ? O 于 B , C 两点.
求证: ?DPB ? ?DCP .

P D A B O ·

C 2、如图, AB 是 ? O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE 、 CFD 、 CGE 都是 ? O 的割线,已知 AC ? AB .
求证: FG

// AC .
G O C

F
D A

E
B

3、过 ? O 外一点 P 作 ? O 的切线 PA ,切点为 A ,连接 OP 与 ? O 交于点 C ,过 C 作 AP 的垂线,垂足为 D ,
若 PA ? 12cm , PC

? 6cm ,求 CD 的长.

A D · O C P

4、如图,在 ?ABC 中, D 是 AC 中点, E 是 BD 三等分点, AE 的延长线交 BC 于 F ,求

S?BEF S四边形DEFC

的值.

A

D E B F C

49

5、如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,点 E , F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF

相交于点 G ,若 B , C , F ,

E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE .

A G E

D

F

B

C

6、 如图, AB 是 ? O 的直径,C 、 F 是 ? O 上的两点,OC ⊥ AB ,过点 F 作 ? O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .
连结 CF 交
2

AB 于点 E .

求证: DE ? DB ? DA .

C

A

E O

B

D

F

7、如图, ? O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为 ? O 上一点, AE ? AC , DE 交 AB 于
点 F .求证: ?PDF ∽ ?POC .

E A · O C F B D P

8、如图, ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的 ? O 交于点 F ,延长 CF 交

AB 于 E .
(1)求证: E 是

A

AB 的中点;

(2)求线段 BF 的长.

D

E

F

B

O

C

50

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 9、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

10、已知曲线 C 的方程 y 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,设 y ? tx , t 为参数,求曲线 C 的参数方程.

? 11、已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1 : ? cos(? ? ) ? 2 2 与曲线 4
? x ? 4t 2 ( t ? R )交于 A 、 B 两点.求证: OA ? OB . C2 : ? ? y ? 4t

12、在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?
曲线 C 的参数方程为 ?

?
3

? ? ? R ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. ? y ? 1 ? cos 2?

51

13、已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

,点 F , F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程为 1

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ( 为参数, t ? R ) . t ? 2 ? ?y ? 2 t ?
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F , F2 到直线 l 的距离之和. 1

? ?x ? ? ? 14、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin(?

2 ? r cos ? 2 (? 2 ? r sin ? 2

为参数, r

? 0 ) O 为极点, x 轴正 ,以

? ) ? 1 ,若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值. 4

?

15、甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 、 、p, 且他们是否破译出密
码互不影响,若三人中只有甲破译出密码的概率为

1 1 2 3

1 4

. (Ⅱ)求

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;

p 的值;

(Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

52

16、某电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第
二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分.现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为

1 1 、 、 2 3

1 ,记该参加者闯三关所得总分为 ? . 4
(1)求该参加者有资格闯第三关的概率;

(2)求 ? 的分布列和数学期望.

17、为了评估天气对大运会的影响,制定相应预案,深圳市气象局通过对最近 50 多年的气象数据资料的统计分析,发现 8 月
份是我市雷电天气高峰期,在 31 天中平均发生雷电 14.57 天(如图) .如果用频率作为概率的估计值,并假定每一天发 生雷电的概率均相等,且相互独立. (1)求在大运会开幕( 8 月 12 日)后的前 3 天比赛中,恰好有 2 天发生雷电天气的概率(精确到 0.01 ) ; (2)设大运会期间( 8 月 12 日至 23 日,共 12 天) ,发生雷电天气的天数为 X ,求 X 的数学期望和方差.
雷电天数

16

14 12
10
8 6

?
? ? ? ?

?

4 2
O

?
1

?
2

?
3

?
4
5 6 7 8

?

?

9 10 11 12 月份

18、甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 0.5 、 a 、 a (0 ? a ? 1) ,三人各射击一次,击中目标的次数记为 ?
(1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(?

? i) ( i ? 0 、 1 、 2 、 3 )中,若 P(? ? 1) 的值最大,求实数 a 的取值范围;

53

19、 某工厂在试验阶段大量生产一种零件. 这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响. 若
项技术指标达标的概率为

3 4

, B 项技术指标达标的概率为

8 ,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 9

(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率; (2)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 ? 分布列及 E (? ) .

20、已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且
每球取到的机会均等) 3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求

X

的分布列;

(Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) .

21、一个袋中装有黑球,白球和红球共 n(n ? N ) 个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到
黑球的概率是 (1)若 n

?

2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5

? 15 ,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是

4 ,设 ? 表示摸出的 2 个球中红球的个数,求随机变 7

量 ? 的概率分布及数学期望 E (? ) ; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?

54

22、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90o , AB ? AC ? a , AA1 ? b ,
点 E 、 F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 BE ? (1)当 ?

A1 B1

C1 F

1 1 b BB1 , C1F ? CC1 .设 ? ? . 3 3 a

? 3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小;

(2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值.

A B

E C

23、如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA 、 OB 、 OC 两两垂直,且 OA ? 2 、 OB ? 3 、 OC ? 4 , E 是 OC
的中点. (1)求异面直线 BE 与 (2)求二面角

AC 所成角的余弦值;

A ? BE ? C 的余弦值.

24、如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC , ?ABC ? 90 , PA ? 平面 ABCD ,
P

?

AB ? BC ? 2 AD ,若平面 PDC 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为

PA 6 ,求 AD 3

的值.

A

D

B

C

55

25、 如图, 在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,AB ? AC , 顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B , A ? 且 B A A C ? B 1 1
(1)求棱

1

? 2.

AA1 与 BC 所成的角的大小;
AP ? 14 ,并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角余弦值.
C1 B1 A1

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P ,使

C B

A

26、试求使不等式:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立的最小自然数 t 的值,并用数 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1

学归纳法加以证明.

27、设数列 ?an ? 满足 a1 ? a 、 an?1 ? an 2 ? a1 , M ? ?a ? R n ? N*, an | ≤ 2? . |
(1)当 a ? (??, ?2) 时,求证: a ? M ; (3)当 a ? ( (2)当 a ? (0,

1 ] 时,求证: a ? M 4



1 , ??) 时,判断元素 a 与集合 M 4

的关系,并证明你的结论.

2 28、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? ?an ? pan ( p ? R) ,且 a1 ? (0, 2) ,试猜想 p 的最小值,使得 an ? (0, 2) 对

n ? N * 恒成立,并给出证明.

56

29、已知数列 {a n } 满足 an ?1 ?

1 2 1 an ? nan ? 1(n ? N * ) 且 a1 ? 3. 2 2 n n ①计算 a2 、 a3 、 a4 的值,由此猜想数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明;②求证:当 n ? 2 时, an ≥ 4n .

30、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 、 a2 ? 2 , a3 ? 3 , an?2 ? an?1 ? 2an ? t ( n ? N ) .
?

(1)求实数 t 值;(2)由 a1 ? a2 、 a2 (3)数列

? a3 、 a3 ? a4 的值,归纳出 an ? an?1 与 n 的关系式,并证明你的猜想;
1

与(2)的结论进行类比, 请写出 bn bn ?1 与 n 的关系式(不必证明) ) . ?bn ? 满足:b1 ? 2 ,b2 ? 4 ,bn? 2 ? 2 bn?1bn 2 ,

31、如图已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A( x1 , y1 )( y1 ? 0) 、 B( x2 , y2 ) 两点,
2

T

为抛物线的准线与 x 轴的交点,若 TA ? TB

??? ???

? 1.

y A

①求直线 l 的斜率;

②求 ? ATF 的最大值.

T
O

F B

x

57

32、如图,已知抛物线 M : x2 ? 4 py ( p ? 0) 的准线为 l , N 为 l 上的一个动点,过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切
点分别为

A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂足分别为 C , D . AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标;

(1)求证:直线

(2)若 ?ACN , ?BDN , ?ANB 的面积依次构成等差数列,求此时点 N 的坐标.

y

B

A C

x O N D

33、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x ?
2

y2 ? 1在第一象限的部分为曲线 C ,曲线 C 在其上动点 P( x0 , y0 ) 处的切线 4 ???? ??? ??? ? ? ? l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A 、 B ,且向量 OM ? OA ? OB . (Ⅰ)求切线 l 的方程(用 x0 表示).; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.

34、已知动圆 P 过点 F (0, ) 且与直线 y ? ?
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 点.求证: MN ? x 轴.

1 4

1 相切. 4


A 、 B 两点,轨迹 C

A 、 B 两点处的切线相交于点 N

, M 为线段 AB 的中

y

F· P ·

O

x

58

35、已知抛物线 L 的方程为 x2 ? 2 py? p ? 0? ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 .
⑴求

p 的值; A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.

⑵抛物线 L 上是否存在异于点

若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

36、已知 (1 ?

1 n x ) 展开式的各项按 x 的次数从低到高依次记为 a1 ( x) 、 a2 ( x) 、 a3 ( x) 、……、 an ( x) 、 an?1 ( x) . 2

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ?1)an?1 ( x) . (Ⅰ)若 a1 ( x) 、 a2 ( x) 、 a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (Ⅱ)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2
n?1

(n ? 2) ?1 .

35、函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 的定义域为 [?2, t ] ( t ? ?2 ) ,设 f (?2) ? m 、 f (t ) ? n .
(1)求证: n ? m ; (2)求证:存在 x0 ? ? ?2, t ? ,满足 f ( x0 ) ?
/

n?m ;并确定这样的 x 0 的个数. t?2

59


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