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与名师对话二轮理科数学1-7-4


与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

第 一 篇

知识方法篇

第1页

第一篇

知识方法篇

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专 题 七

r />
选讲部分

第2页

第一篇

知识方法篇

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重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

选修 4-4

坐标系与参数方程

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第3页

专题七

选修4-4

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第4页

专题七

选修4-4

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专题七

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专题七

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考点一
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极坐标方程与直角坐标方程的互化

【自主回顾】 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴正 半轴重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.求解与极坐 标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若 最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.
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第7页

专题七

选修4-4

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? π? 1.(2014· 北京西城一模)在极坐标系中,过点?2,2?且与极轴 ? ?
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平行的直线方程是( A.ρ=2 C.ρcos θ=2

) π B.θ=2 D.ρsin θ=2
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专题七

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? π? 解析:极坐标为?2,2?的点的直角坐标为(0,2),过该点且与 ? ?
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极轴平行的直线的方程为 y=2,其极坐标方程为 ρsin θ=2,故选 D.
答案:D
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专题七

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2.(2013· 天津卷)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为
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C,点 P

? π? 的极坐标为?4,3?,则|CP|=________. ? ?

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解析:圆 ρ=4cos θ 的直角坐标方程为 x2+y2=4x,圆心 C(2,0) .点 P 的直角坐标为(2,2 3),所以|CP|=2 3.
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答案: 2 3

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专题七

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【典例剖析】
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(2014· 广东卷)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和 ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴 为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的 直角坐标为________. 【思路启迪】 把极坐标方程化为直角坐标方程,再求两曲 线的交点坐标.
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专题七

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【解析】 因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,由 ρsin2θ=cos θ,得 ρ2sin2θ=ρcos θ,所以曲线 C1 的普通方程为 y2=x.由 ρsin θ=1,
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得曲线 C2 的普通方程为

2 ? ?y =x, y=1.由? ? ?y=1

? ?x=1, 得? ? ?y=1,

故曲线 C1
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与曲线 C2 交点的直角坐标为(1,1).
【答案】 (1,1)

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专题七

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解答极坐标问题通常有两种途径: 一是转化为平面直角坐标
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问题加以解决,二是在极坐标系中数形结合加以解决.
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【举一反三】 (2014· 山西四校高三第三次联考)已知曲线 C1 的极坐标方程
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? π? ρcos?θ-3?=-1,曲线 ? ?

C2 的极坐标方程为 ρ=2

? π? 2cos?θ-4?. ? ?
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以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

第15页

专题七

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? π? 2cos?θ-4?=2(cos ? ?

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解:(1)ρ=2
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θ+sin θ),

即 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得 x2+y2-2x-2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
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专题七

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(2)C1 的直角坐标方程为 x+ 3y+2=0, 由(1)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线 C1 的距
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|1+ 3+2| 3+ 3 离 d= 2 , 2= 2 1 +? 3 ? 3+ 3+2 2 所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 . 2
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考点二
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参数方程与普通方程的互化

【自主回顾】 将参数方程中的参数消去后便得到曲线的普通方程, 消去参 数时常用的方法是代入法,有时也根据参数的特征,通过对参数 方程的加、减、乘、除、乘方等的运算而消去参数,消参时要注 意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响.
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专题七

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1 . (2013· 湖南卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l :
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? ?x=t, ? ? ?y=t-a,

(t 为参数)过椭圆

? ?x=3cos φ, ? C: ? ?y=2sin φ,

(φ 为参数)的右顶
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点,则常数 a 的值为________.

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解析:由题设可得直线 l:y=x-a,又由椭圆参数方程可知 其右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3.
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答案:3

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专题七

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2.(2014· 广东东莞一模)已知直线
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? ?x=1+t, l:? ? ?y=3-2t

(t 为参数,

且 t∈R)与曲线

? ?x=cos α, C:? ? ?y=2+cos 2α

(α 是参数,且 α∈[0,2π)),则
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直线 l 与曲线 C 的交点坐标为________.

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专题七

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解析:直线
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? ?x=1+t, l:? ? ?y=3-2t

(t 为参数,且 t∈R)化为普通方程

为 y=-2x+5,曲线

? ?x=cos α, C:? ? ?y=2+cos 2α

(α 是参数,且 α∈[0,2π))
课 时 作 业

化为普通方程为 y=2x2+1(1≤y≤3),
? ?y=-2x+5, ∴? 2 ? y = 2 x +1, ?

∴x=1,y=3,

∴直线 l 与曲线 C 的交点坐标为(1,3).
答案:(1,3)

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专题七

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【典例剖析】
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x2 y2 (2014· 新课标全国卷Ⅰ ) 已知曲线 C : 4 + 9 =1 ,直线 l :
? ?x=2+t, ? ? ?y=2-2t

(t 为参数).

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专题七

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(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于
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点 A,求|PA|的最大值与最小值.
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专题七

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【思路启迪】 (1)利用同角三角函数的平方关系将椭圆的标 准方程化为参数方程(常见的),利用消元法求出直线 l 的普通方
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程;(2)利用点到直线的距离公式进行转化求解.
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【解】 (1)曲线 C
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? ?x=2cos θ, 的参数方程为? ? ?y=3sin θ

(θ 为参数).

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ+3sin θ-6|, d 2 5 则|PA|=sin 30° = 5 |5sin(θ+α)-6|,其中 α 为锐角,且 tan 4 α=3.
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专题七

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22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 5 .
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2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5
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专题七

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参数方程化为普通方程的关键是消去参数, 在转化的过程中
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应注意 x,y 的取值范围,应保证参数方程与普通方程的转化是 等价的.
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【举一反三】
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(2014· 福建卷)已知直线 l

? ?x=a-2t, 的参数方程为? ? ?y=-4t

(t 为参
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数),圆 C

? ?x=4cos θ, 的参数方程为? ? ?y=4sin θ

(θ 为参数).

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

第29页

专题七

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解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16.
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(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5.
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专题七

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考点三

极坐标方程与参数方程的综合应用

【自主回顾】
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对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目, 可先同时将它 们转化成直角坐标方程后再求解. ?x= t, ? 1.(2014· 湖北卷)已知曲线 C1 的参数方程是? 3t y= ? 3 ?
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(t 为

参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________.
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专题七

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?x= t, ? 解析:由曲线 C1 的参数方程? 3t y= 3 , ? ?

3 得 y= 3 x(x≥0),①

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2,可得方程 x2+y2=4,②
? ?x= 3, 由①②联立解得? ? ?y=1,

故 C1 与 C2 交点的直角坐标为( 3,

课 时 作 业

1).
答案:( 3,1)

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专题七

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2.(2014· 安徽合肥二检)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1
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? ?x=- 3t, 的参数方程为? ? ?y=4+t

(t 为参数).以 O 为极点,射线 Ox 为

极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ=4sin θ,曲线 C1 与 C2 交于 M,N 两点,则线段 MN 的长度为________.

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专题七

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? ?x=- 3t, 解析: 由题意, C1 的参数方程? ? ?y=4+t
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转化为直角坐标

方程为 x+ 3y-4 3=0, C2 的极坐标方程 ρ=4sin θ 转化为直角 坐标方程为 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=22,圆心(0,2)到直线 x |0+2 3-4 3| + 3y-4 3=0 的距离为 d= 2 2 = 3,所以|MN|= 1 +? 3? 2 22-? 3?2=2.
答案:2
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专题七

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【典例剖析】
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(2014· 辽宁卷)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中 点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
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专题七

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【思路启迪】 (1)先列方程,再进一步转化为参数方程;(2) 解出交点,再求得直线方程,最后转化为极坐标方程.
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专题七

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【解】 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C
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? ?x=x1, 上的点(x,y),依题意,得? ? ?y=2y1.



2 x1 +y 2 1=1

得x

2

?y? +?2?2=1, ? ?

2 y 即曲线 C 的方程为 x2+ 4 =1.

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故C

? ?x=cos t, 的参数方程为? ? ?y=2sin t

(t 为参数).

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2 y ? ? ? ?x2+ =1, ?x=1, ?x=0, 4 (2)由? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2. ? 2 x + y - 2 = 0 , ?

不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 1 所求直线斜率为 k=2,

?1 ? P1P2 的中点坐标为?2,1?, ? ?

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专题七

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1? 1 ? 于是所求直线方程为 y-1=2?x-2?, ? ?
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化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 3 即 ρ= . 4sin θ-2cos θ
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在把参数方程化为普通方程时要注意参变量的位置与范围,
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如果角为参数,通常是利用同角三角函数的平方关系消参;在进 行平面直角坐标方程与极坐标方程互化时一般是运用公式
? ?x=ρcos θ, ? ? ?y=ρsin θ,
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进行代入转化, 而对于 ρ 的一次式结构常用的办法

是两边同乘以 ρ,在研究位置关系或求交点、弦长时常常是把问 题转化为普通方程,通过解方程组求解.

第40页

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【举一反三】 (2014· 河北石家庄质量检测 ( 二 )) 已知直线 l 的参数方程为
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? ?x=-2+tcos ? ? ?y=tsin α

α,

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半
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轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ-2cos θ. (1)求曲线 C 的参数方程; π (2)当 α=4时,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标.

第41页

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解:(1)由 ρ=2sin θ-2cos θ,可得 ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2y-2x,
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标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2. 曲线 C 的普通方程化为参数方程为
? ?x=-1+ 2cos ? ? ?y=1+ 2sin φ
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φ,

(φ 为参数).

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? ?x=-2+ 2t, 2 ? π (2)当 α=4时,直线 l 的方程为? 2 ? ?y= 2 t, ? 化成普通方程为 y=x+2.
2 2 ? ?x +y =2y-2x, 由? ? ?y=x+2,

课 时 作 业

? ?x=0, 解得? ? ?y=2

? ?x=-2, 或? ? ?y=0. ? π? 交点的极坐标分别为?2,2?,(2,π). ? ?

所以直线 l 与曲线 C

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参数方程与坐标系联系几何与代数,是数形结合的桥梁.直 线、圆、椭圆是极坐标方程考查的重点,参数方程则重点考查圆 锥曲线, 涉及参数方程或极坐标有难度的问题尽可能转化为直角 坐标运算.
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1.参数的几何意义不明确致误
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在直角坐标系 xOy 中, 直线 l

? ?x=3- 2t, 的参数方程为? ? ?y= 5+ 2t

(t
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为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ= 2 5sin θ,圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,P 点坐标为(3, 5), 则|PA|+|PB|=________.

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【错解】 由 ρ=2 5sin θ,得圆 C 的直角坐标方程为 x2+ y2-2 5y=0,即 x2+(y- 5)2=5.将直线 l 的参数方程代入圆 C
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的直角坐标方程,得(3- 2t)2+( 2t)2=5,即 2t2-3 2t+2=0. 由于 Δ=(3 2)2-4×2×2=2>0, 故可设 t1、 t2 是上述方程的两根, 3 2 所以 t1+t2= 2 . 又直线 l 过点 P(3, 5),由 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1| 3 2 +|t2|=t1+t2= 2 .
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【错因分析】 t 的几何意义适用前提条件是过定点的直线 的标准的参数方程.对于一般的参数方程不适用.
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【正确解答】 由 ρ=2 5sin θ,得圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2 5y=0,即 x2+(y- 5)2=5.将直线 l 的参数方程代入
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圆 C 的直角坐标方程,得(3- 2t)2+( 2t)2=5,即 2t2-3 2t+2 =0.由于 Δ=(3 2)2-4×2×2=2>0,故可设 t1、t2 是上述方程的 3 2 两根,所以 t1+t2= 2 .
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第49页

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又 直 线 l 过 点 P(3 , 5 ) , 且 其 标 准 的 参 数 方 程 为
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? ?x=3- 2· ?2t?, 2 ? ? 2 ? y= 5+ 2 · ?2t? ? ?

(2t 为参数),由参数的几何意义得|PA|+|PB|
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=|2t1|+|2t2|=2(t1+t2)=3 2.

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? ?x=x0+tcos α, 对于直线参数方程? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数)来说,要注意
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t 为参数,而 α 是直线的倾斜角.

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(2014· 西安质检 )已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的
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原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方程为
? ?x=-1+ ? ? ?y=t

3t,

(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ,

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直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,则|PQ|的值为________.

第52页

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解析:由 ρ=4cos θ, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x.
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

? ?x=-1+ 把? ? ?y=t

3t,

代入 x2+y2=4x,
课 时 作 业

整理得 4t2-6 3t+5=0. 3 3 5 设其两根为 t1,t2,则 t1+t2= ,t 1 · t2= . 2 4

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专题七

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? 3 ?2t?, ?x=-1+ 2 · 又直线 l 的标准参数方程为? ?y=1· ?2t? ? 2 数),所以|PQ|=|2t1-2t2|=2 ?t1+t2?2-4t1t2= 7.

(2t 为参

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答案: 7

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2.极坐标与参数方程问题的答题策略
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(2014· 东 北 三 校 第 一 次 联 考 ) 已 知 圆 C1 的 参 数 方 程 为
? ?x=cos φ, ? ? ?y=sin φ,

(φ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为
? π? ρ=2cos?θ+3?. ? ?

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极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为

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(1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程, 将圆 C2 的极坐标方程 化为直角坐标方程;
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(2)圆 C1、C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不 相交,请说明理由.
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【思维导图】
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? ?x=cos φ, (1)由? ? ?y=sin φ,

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【规范解答】
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得 x2+y2=1, θ- 3sin θ,
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? π? 由题意可知:ρ=2cos?θ+3?=cos ? ?

∴ρ2=ρcos θ- 3ρsin θ ∴x +y -x+
2 2

? 1?2 ? 3y=0,即?x-2? +? y+ ? ? ? ?

3? ?2 =1 2? ?

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? 1? 2 ? ?0- ? +? 0+ 2? ? ? ?

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(2)圆心距 d=
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3? ?2 =1<2, 2? ?

得两圆相交
2 2 ? ?x +y -x+ 由? 2 2 ? ?x +y =1,

3y=0,



? 1 A(1,0),B? ?-2,- ?

3? ? , 2? ?

∴|AB|=

? 1? 2 ? ?1+ ? +? 0+ 2? ? ? ?

3? ?2 = 3. 2? ?

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【易错提醒】 第一问要求考生掌握参数方程与直角坐标方 程的互相转化,要求掌握消参的方法.第二问考查两圆的位置关
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系,要求考生掌握位置关系的判定方法,包括交点的一元二次方 程判别式法以及几何的距离判断法, 除此之外还得掌握弦长的计 算方法.
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【答题模板】
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审条件,进行参数方程与普通方程、

极坐标方程与直角坐标方程的互相转化; 审结论,借助直角坐标方程解决问题; 定方法,确定参数的几何意义对题目的影响; 回顾反思,检查解题的规范性,公式的应用是否有失 误.
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(2014· 福建福州质检)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极
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点,x 轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程 ? ?x=-2+ ? 2 为 ρsin θ=4cos θ, 直线 l 的参数方程为? ? y=-4+ ? ? 数),两曲线相交于 M,N 两点. 2 t, 2 2 2t
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(t 为参

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(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若 P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值.
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解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x,直线 l 的普通方程 为 x-y-2=0
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(2)直线 l 的参数方程为 ? ?x=-2+ ? ? ? y=-4+ ? ? 2 t, 2 2 2t
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(t 为参数),

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代入 y2=4x,得到 t2-12 2t+48=0, 设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,
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则 t1+t2=12 2,t1t2=48>0, 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=12 2.
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请做:课时作业(二十)

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