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平面解析几何初步知识点总结


平面解析几何初步知识点总结 一.考纲要求
要求层次 考试内容 12 直线的倾斜角和斜率 过两点的直线斜率的计算公式 两条直线平行或垂直的判定 直线与方程 两条相交直线的交点坐标 两点间的距离公式、点到直线的距离公 式 两条平行线间的距离◇ 圆的标准方程与一般方程 圆与方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系◇ √ √ √ √ √ √ 直线方程的点斜式、两点式及一般式 平面 解析 几何 初步 A B √ √ √ √ C

二.知识点总结
1.直线的方程
(1)直线的倾斜角: 当直线与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫做直 线 l 的倾斜角。当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°。因此,直线的倾斜 角 ? 的取值范围为 0° ? ? ? 180°。 (2)直线的斜率: 直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率, 即 k ? tan ? 。 倾斜角为 90°的直线没有斜 率。
? ? k ? 0; 当 ? ? (0 , 当 ? ? (90 , 90? ) 时, 1 8 0 ?
? ? k ? 0; k 不存在; 当 ? ? 90 时, 当? ? 0 ) 时,

时, k ? 0 。直线越陡, | k | 越大。 经过两点 P 1 ( x1,y1 ) 、 P 2 ( x2,y 2 ) 的直线的斜率为 k ? (3)直线的方程: ①点斜式:经过点 P( x0,y0 ) ,斜率为 k 的直线的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 。

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) 。 x2 ? x1

②斜截式:斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b 的直线的方程为 y ? kx ? b 。 ③两点式:经过两点 P 1 ( x1,y1 ) 、 P 2 ( x2,y 2 ) 的直线的方程为

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) 。 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
④截距式:在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b 的直线的方程为

x y ? ? 1 (a,b ? 0) 。 a b
⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A , B 不全为 0) 。 ⑥平行于 x 轴的直线: y ? b ( b 为常数) ;平行于 y 轴的直线: x ? a ( a 为常数) 。 (4)直线系方程: 具有某一共同性质的直线 平行直线系:平行于直线 Ax ? By ? C ? 0 的直线系: Ax ? By ? ? ? 0 (? ? C ) 。 过定点的直线系: ①过定点 P( x0,y0 ) 的直线系方程为:y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 和 x ? x0 。 ②过两条直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程 为: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( ? 为参数) ,其中 l 2 不在直线系中。 (5)两直线平行与垂直: 当 l1:y ? k1 x ? b1 , l 2:y ? k 2 x ? b2 时,

l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2,b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 。
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率是否存在。 (6)两直线的交点: 直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,交点坐标即方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 ∥ l 2 ;方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合。 (7)两点间的距离:

P 1 ( x1,y1 ) 、 P 2 ( x2,y 2 ) 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 。

(8)点到直线的距离: 点 P( x0,y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ? (9)平行直线的距离: 设 两 平 行 直 线 l1:Ax ? By ? C ? 0 , l 2:Ax ? By ? D ? 0 , 则 l1 与 l 2 的 距 离 :

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



d?

| D?C | A2 ? B 2



(10)中点的坐标: P 1 ( x1,y1 ) 、 P 2 ( x2,y 2 ) 的中点坐标为: (

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , )。 2 2

2.圆的方程
(1)圆的方程: 圆的标准方程:圆心为 (a,b) ,半径为 r 的圆的方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 。 圆的一般方程:

D E , ? ), 2 2 1 D E D 2 ? E 2 ? 4 F ; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时 , 表 示 点 (? , ? ) ;当 半径为 2 2 2
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时, 表示圆的方程, 圆心为 (? x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 。

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,不表示任何图形。
已知点 P 1 ( x1,y1 ) , P 2 ( x2,y 2 ) ,以 P 1P 2 为直径的圆的方程为:

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ,
或 (x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [(x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ] 。 2 2 4

3.直线与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系: 设点 P 到圆心的距离为 d , 圆的半径为 r , 则点 P 在圆外 ? d ? r ; 点 P 在圆上 ? d ? r ; 点 P 在圆内 ? d ? r 。 (2)直线与圆的位置关系: 设直线 l:Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心到直线的距离为 d ,则 l 与圆 C 相离 ? d ? r ; l 与圆 C 相切 ? d ? r ; l 与圆 C 相交 ? d ? r 。 (3)过圆上一点的切线方程: 圆 x ? y ? r , 圆 上 一 点 ( x0,y0 ) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 xx0 ? yy0 ? r ; 圆
2 2 2

2

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 圆 上 一 点 ( x0,y0 ) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 。
直线被圆所截得的弦长为: 2 r 2 ? d 2 。 (4)圆与圆的位置关系: 通过两圆半径的和(差)与圆心距 d 之间的大小关系来确定。 设圆 C1: ( x ? a1 ) 2 ? ( y ? b1 ) 2 ? r1 , C2: ( x ? a2 ) 2 ? ( y ? b2 ) 2 ? r2 , d ?| C1C 2 | ,则
2 2

d ? r1 ? r2 时,两圆外离; d ? r1 ? r2 时,两圆外切; | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2 时,两圆相交; d ?| r1 ? r2 | 时,两圆内切; d ?| r1 ? r2 | 时,两圆内含; d ? 0 时,为同心圆。
(5)两圆的公共弦所在直线方程: ⊙ O1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , ⊙ O2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 。 ⊙ O1 与⊙

O2 相交时,两圆的公共弦所在的直线方程为: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) x ? ( F1 ? F2 ) ? 0 。


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