当前位置:首页 >> 数学 >>

1#数学归纳法习题(含答案)


1#
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

数学归纳法

1.(2011· 怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在 第二步时,正确的证法是 A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=

2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 1 1 1 2.(2011· 鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n= 2 3 2 -1 k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是 A.2 C.2 下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时, 不等式成立, 即 k2+k<k+1, 则当 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 4.用数学归纳法证明“n2+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k +1 时的情况,只需展开 A.(k+3) C.(k+1)
3 k-1

(

)

(

)

B.2 -1 D.2k+1

k

k

3.(2011· 巢湖联考)对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如

(

)

(

)

B.(k+2)

3

D.(k+1)3+(k+2)3 1 1 1 13 5.用数学归纳法证明不等式 + +?+ < (n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 递推 2 n 14 n+1 n+2 到 n=k+1 时不等式左边 1 A.增加了一项 2?k+1? 1 1 B.增加了两项 、 2k+1 2k+2 1 C.增加了 B 中两项但减少了一项 k+1 D.以上各种情况均不对 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 6.(2011· 淮南调研)若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是_____. 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 7.观察不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + +?+ 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 3 1 5 * > ,?,由此猜测第 n 个不等式为________(n∈N ). 31 2 8.(2011· 东莞调研)已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4), (2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________. ( )

3

9.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N*)行,在这些数中非 1 的数字之和是 ________________. 1 1 1 1 1 三、解答题(共 3 小题,共 34 分) 10.(本小题满分 10 分)试证:当 n∈N*时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除.


1 2 1 3 4 1 1

3 4

6 ??

1 11.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1= an· (4-an)(n 2 ∈N).

12.(本小题满分 12 分)(2011· 开封调研)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn, an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比列(n∈N*),求 a2,a3,a4 与 b2,b3,b4 的值,由 此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.

1#答案: 1.解析:A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案:D 2.解析:增加的项数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k.
+ +

答案:C 3. 解析:在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 答案:D 4. 解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k2+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时, (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设, 只需将(k+3)3 展开, 3 让其出现 k 即可. 答案:A 5. 解析:∵n=k 时,左边= + 1 2k 1 1 + , 2k+1 2k+2 1 1 1 ∴增加了两项 、 ,少了一项 . 2k+1 2k+2 k+1 + 答案:C 6. 解析:∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 1 1 1 n 7. 解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1+ + +?+ n > . 2 3 2 -1 2 1 1 1 n 答案:1+ + +?+ n > 2 3 2 -1 2 8. 解析:本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; ?; 一个整数 n 所拥有数对为(n-1)对. 设 1+2+3+?+(n-1)=60, ?n-1?n ∴ =60, 2 ∴n=11 时还多 5 对数,且这 5 对数和都为 12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第 60 个数对为(5,7). 答案:(5,7) 1 1 1 1 1 + +?+ ,n=k+1 时,左边= + +? 2k k+1 k+2 k+2 k+3

9. 解析:所有数字之和 Sn=20+2+22+?+2n 1=2n-1,除掉 1 的和 2n-1-(2n-1) =2n


-2n. 答案:2n-2n 10. 证明:证法一:(1)当 n=1 时,f(1)=64,命题显然成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,f(k)=32k 2-8k-9 能被 64 整除.


当 n=k+1 时,由于 32(k =9(3
2k+2

+1)+2

-8(k+1)-9


-8k-9)+9· 8k+9· 9-8(k+1)-9=9(32k 2-8k-9)+64(k+1),

即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1),∴n=k+1 时命题也成立. 根据(1)、(2)可知,对于任意 n∈N*,命题都成立. 证法二:(1)当 n=1 时 f(1)=64 命题显然成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,f(k)=32k 2-8k-9 能被 64 整除.


由归纳假设,设 32k 2-8k-9=64m(m 为大于 1 的自然数),


将 32k 2=64m+8k+9 代入到 f(k+1)中得


f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2)知,对于任意 n∈N*,命题都成立. 11. 证明:an<an+1<2(n∈N). 证明:证法一:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= ,所以 a0<a1<2,命题正确. 2 2 (2)假设 n=k-1(k∈N*)时命题成立,即 ak-1<ak<2. 则当 n=k 时,ak-ak+1 1 1 1 = ak-1(4-ak-1)- ak(4-ak)=2(ak-1-ak)- (ak-1-ak)(ak-1+ak) 2 2 2 1 = (ak-1-ak)(4-ak-1-ak). 2 而 ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以 ak-ak+1<0. 1 1 又 ak+1= ak(4-ak)= [4-(ak-2)2]<2.所以 n=k 时命题成立. 2 2 由(1)(2)可知,对一切 n∈N 时有 an<an+1<2. 证法二:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= ,所以 0<a0<a1<2; 2 2 1 (2)假设 n=k-1(k∈N*)时有 ak-1<ak<2 成立,令 f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增, 2 所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2), 1 1 1 即 ak-1(4-ak-1)< ak(4-ak)< ×2×(4-2), 2 2 2 也即当 n=k 时,ak<ak+1<2 成立.所以对一切 n∈N,有 ak<ak+1<2. 12. 解:由条件得 2bn=an+an+1,a2 n+1=bnbn+1. 又 a1=2,b1=4,由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16, a4=20,b4=25,猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2.

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2,b1=4,结论成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时结论成立, 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当 n=k+1 时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)[(k+1)+1], a2 k+1 bk+1= =(k+2)2=[(k+1)+1]2, bk ∴当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立.


相关文章:
1#数学归纳法习题(含答案)
1#数学归纳法习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。1# 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 数学归纳法 1.(2011· 怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 ...
数学归纳法的应用习题
数学归纳法证题步骤,第二步应先假设第 k 个正 ). 奇数也成立,本题即假设 n=2k-1 正确,再推第(k+1)个正奇数即 n=2k+1 正确. 答案 B 3.已知平面...
2#数学归纳法练习题(含答案)
2#数学归纳法练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2# 数学归纳练习题 一、填空题 1. 平面内有 n(n≥2)个圆心在同一直线 l 上的半圆,其中任何两个都...
极限、数学归纳法练习题1
极限、数学归纳法练习、 选择题: 1、在等差数列 ?a n ?中, a2=5, (A) lim an ? 1 那么 a5 等于 n ?? 2n (C)11 (D)13 () 13 2 (B)8...
数学归纳法习题
数学归纳法习题_数学_高中教育_教育专区。§11.5 数学归纳法 (时间:50 分钟 满分:75 分) 、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 怀化模拟)用...
极限习题及答案:数学归纳法
极限习题答案:数学归纳法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数列通项及用归纳法证明不等式例、 间插入在 1 与 2 间插入 n 个正数 a1, a2 , a3 ,?,...
数学归纳法练习题
数学归纳法练习题(含答案) 2页 1财富值 数学归纳法习题 4页 1财富值 选修4...数学归纳法练习一、选择题 1.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)...(...
数学归纳法练习题
数学归纳法练习题(含答案... 2页 1下载券 s数学归纳法练习题 7页 1下载券 数学归纳法练习题 5页 1下载券 23数学归纳法练习题 4页 1下载券 数学归纳法习...
【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习(含答案)
【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。数学归纳法课后练习 主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师 1 题一:用数学归纳法证...
更多相关标签: