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学生学好数学的基石——概念


简述在概念引入阶段主要可以运用哪些策略?

  ①生活化策略。多样化、丰富、情境、激发、活动②操作性策略。做数学、尝试操作③情境激发策略。主动观察、积极思考、发现问题④知识迁移策略。利用数学结构精良特点、使数学概念系统化。

  简述儿童形成空间观念的主要知觉的障碍。

  ①空间识别障碍(空间的方位感)。儿童的空间识别能力是阶段性发展的;儿童的空间识别能力的发展是不平衡的;②视觉知觉障碍(不能有效地建立或运用视觉知觉符号与大脑中贮存的图式与概念迅速建立联系的水平或策略)

  小学数学教育的基本任务

  ①以培养数学素养为基本追求,即以促进学生的终身可持续发展为学校数学教育的基本出发点,将小学数学教育定位于:不追求将所有的儿童都培养成为伟大的数学家,而是培养他们最基本的数学素养。数学素养的基本内涵包括要使学生懂得数学的价值,对自己的数学能力有自信心,有解决现实数学问题的能力,学会数学交流,以及学会数学的思想方法。数学素养的基本特征包括发展性、过程性和实践性。②以发展数学思维能力为基本的目标,包括观察与比较、分析与综合、抽象与概括、判断与推理。③以将数学运用到现实情境为基本能力,包括学会用数学的思想来考察现实与构建普遍知识与特殊情境的联系。首先,数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系,建立情境与一般法则的联系,从而激发他们超越这些规则并能用数学语言来进行表达的动机,真正使用数学知识成为学生生活和思维的组成部分,其次,在普通的数学规则和特殊情境之间,其唯一桥梁是学生有意识在现实情境下进行数学思维。

  小学数学课程的变革

  应从三个方面来理解,一是国际小学数学课程的发展,要把握ICMI时代国际小学数学课程的发展和二战后国际小学数学课程的发展;二是我国小学数学课程的发展,要把握我国数学教育的几次变革,包括课程标准和教学大纲之关系,小学数学课程内容变革的阶段性成果;三是21世纪我国小学数学新课程,要掌握变革的内容,即素质教育的理念落实到课程标准之中、突破学科中心、改善学生的学习方式、评价建议具有更强的指导性和操作性、课程标准为教材的多样性和教学创造性提供了空间。

  小学数学课程目标的改革与发展

  应从两个方面来理解,国际小学数学课程目标的改革与发展和我国小学数学课程目标的历史变革。其中注重问题解决、注重数学应用、注重数学交流、注重数学思想方法、注重培养学生的态度情感与自信心是世界主要发达国家和地区的数学课程目标特点;新中国建立后小学数学课程目标的特点,一是十分强调实用性目的,即“基础知识和基本技能”、“解决简单的实际问题”等,二是部分强调学科目的,如“培养运算能力,发展逻辑思维能力和空间观念”,三是强调积极的学习态度,如“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”。

  新《课程标准》对小学数学课程的要求

  新《课程标准》颁发后,将负数、方位的认识、几何图形的平移、旋转和对称变换和简单的概率知识纳入小学数学课程中,它的最大特点是其多纬度的内容结构,这种多纬度的内容结构,可以从三个方面来解读:(1)从知识的领域切入;(2)从数学学习的目标切入;(3)从数学活动的素养切入,包括数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。

  新课程标准对小学数学课程内容呈现的基本要求

  第一学段(1---3年级)教材的呈现要求:本学段的学生以形象思维为主,在教材编写时,应采用多种多样的形式(如图片、游戏、卡通、表格、文字等),直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材,提高学生的学习兴趣,满足多样化的学习需求;第二学段(4---6年级)教材的呈现方式:与第一学段相比,本学段的教学内容出现了更多数量的文字和符号,所以教材的呈现方式应在图文并茂的同时,逐渐增加数学语言的比重,可以运用学生感兴趣的图片、游戏、表格、文字等形式,直观形象地呈现教材的内容。

  再创造学习

  源于弗赖登塔尔的观点,即学生学习过程中的若干步骤的最重要的特征还在于“再创造”,它包含两层含义:其一,学生的学习并不是简单地接受,并不是一个被动地获取数学家们已经发现和创造的那些概念、命题、法则、方法等等,而应具有实践性活动的特征,是学生自己的一种“创造”过程――数学化;其二,这种实践性的活动并不是要求学生去模仿或重复数学家们发现并创造数学的过程,而是要求学生将那些已经被发现或创造的数学作为实践性活动的任务,让他们自己去“再发现”和“再创造”。再创造学习理论的理论基础是弗赖登塔尔创立的“数学现实”教育思想。再创造教学模式的基本流程就是“数学化”的过程。数学化的过程可先后分两个层次:水平数学化和垂直数学化,即首先要将现实问题转化到数学问题,即要发现现实问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理,这是水平数学化。当问题一旦转化成或多或少具有数学性质的问题时,再从具体问题转化到抽象概念和方法,建立数学问题与数学形式系统之间的关系,这一过程是垂直数学化的过程。概括起来是:呈现问题情境――提出问题――分析问题――发现规律――反思修正――解决问题。它的特征:第一,“发现法”是处于较低层次的一种“创造”活动,而“再创造”是一种高层次的创造活动,它贯穿在整个数学教学过程中;第二,“发现法”教学中,学生学习任务就是让学生去发现这些一个又一个客体,而“再创造”教学的基础是数学现实理论,认为数学学习是由客观世界与学生头脑中的“数学现实”互相作用融为一体的过程,数学学习的任务是不断丰富和提高学生所拥有的“数学现实”。整个过程,学生始终处在主动、积极、创造的状态之中,使得学生的主体性得到充分发挥。掌握“再创造”教学模式在小学数学教学中的运用以及它的主要优点。

  小学数学课堂教学的本质特征

  所谓小学数学课堂教学,就是指在一定的时间和空间内,学生在教师由计划的组织和引导下,获得数学意义的理解、能力的建构与情感发展的活动。它的教学过程有以下几个特征,即数学课堂教学过程就是数学活动的过程、数学课堂教学过程就是师生以数学问题为媒介的相互作用过程、数学课堂教学过程就是师生共同发展的过程。小学数学课堂学习的心理特征包括建构数学认知过程、形成数学能力的过程、发展情感的过程。传统的小学数学学习方式特点包括客体性、单一性、接受性、封闭性。转变小学数学学习方式的原因是这种被动接受为主的学习方式不仅给学生的学习带来了沉重的学习负担,而且也不适应小学数学的促进儿童数学素养发展的价值追求。转变学习方式要从几个方面实现转变:变单一形式为多样化形式、变单纯接受为探索发现与引导接受相结合、变概念获得活动为概念获得活动与问题解决活动相结合、变个体学习为独立探索与团队合作相结合。

  小学数学课堂教学中的师生参与

  所谓学生参与主要就是指学生在课堂学习过程中的身心投入,它反映的是学生在课堂学习过程中的心理活动方式和行为努力的程度。它分为行为参与、情感参与和认知参与。它们的关系是,情感参与通过参与度来表现,但不一定和参与度有必然的联系,这与学生参与学习的动力因素(如家长的外加指令等)相关;而行为参与的方式则是影响认知参与的主要因素,但认知参与策略与参与度则无显著的相关性。掌握课堂学习中学生的参与对于学习结果有重要影响以及它主要表现哪几个方面。课堂教学中教师的角色与作用主要表现在以下几个方面,教师在课堂学习活动中起设计和组织作用、教师在课堂教学活动中起引导、激励和促进的作用、教师在课堂学习活动中起诊断和导向的作用。教师参与课堂教学的基本形式为设计者、参与者、合作者三种身份参与课堂教学过程。

  课堂学习中的师生影响可以这样来理解,教师的知识和信念决定了教师的决策,教师的决策决定了课堂学习模式,而课堂学习模式又影响了学生的认知水平与途径,从而决定了学生的学习与行为表现;反过来,学生的行为反作用于教师的决策以及他们自身的认知与学习。课堂学习中的师生相互作用方式有教师的主导作用通过切合的引导予以体现、对话是小学数学课堂学习的基本交互形式、课堂教学是一个人际之间充分交流与分享的过程。

  小学数学课堂学习活动的基本构成

  课堂活动的基本构成要素包含三个要素,即教学活动的共同体、教学活动的对象、教学活动的过程特征。课堂活动的主要矛盾是,首先是由“教学活动的共同体”要素引出了教师的主导性与学生的主体性之间的矛盾;其二是由“教学活动的对象”特征要素引出了学生认知的心理特点与数学学科特点之间的矛盾;第三是由“教学活动的过程特征”要素引出了儿童数学与成人数学之间的矛盾。课堂学习活动的基本结构主要有以问题解决为主线的课堂学习的活动结构、以信息探索为主线的课堂教学的活动结构、以实验操作为主线的课堂教学的活动结构、以自学尝试为主线的课堂教学的活动结构、以小组讨论为主线的课堂教学的活动结构。

  小学数学课堂学习中的教学策略

  教学策略当然就是指教师在课堂学习的组织过程中的一种指导行为方式与方法抉择或创设的方略。构建教学策略对课堂教学组织的重大意义在于它是教师确定教学组织过程的依据、有助于抉择有效合理的教学方法、是影响学生学习方式选择的重要因素、是评价教师教学行为的一个重要依据。构建小学数学教学策略的主要依据有对小学数学教育价值追求的基本认识、对儿童学习数学过程的认识和理解、对课堂学习过程的理解和诠释。教学策略建构依赖于准备原则、活动原则、主动参与的原则、兴趣性原则、个别适应的原则。教学策略的基本类型有“照本宣科策略”、“简单对话策略”与“思维交互策略”。现代课堂学习中教学组织策略特点是运用情境的方式呈现学习任务、数学活动是以任务来驱动的、探索是数学活动的重要形式。

  小学数学学习评价概述

  所谓学习的评价就是对学习行为的价值做出判断的过程,它主要包含着对学习过程的评价以及对学习结果的评价两个方面。一般说来,测量是评价的重要手段,评价是以测量的数据为基础的,评价就是对测量的数据的一个解释的过程。小学数学学习评价的目的主要包括:第一,对小学数学学习过程中教师与学生的活动质量判断,从而改善他们的行为方式和行为策略;第二,对学生的数学学习成就和进步进行判断,从而激励他们进一步参与到数学的学习过程之中;第三,为教师与学生参与课堂学习提供诸如行为方式、策略以及手段等方面的信息反馈,从而帮助他们随时修正或发展;第四,使教师与学生能进一步明确数学学习的预期目标,并共同为达到这个目标而努力;第五,促进教师对儿童的学习方式、行为方式以及情感的认识,改善儿童对数学的价值、对学习的态度以及参与学习的情感。学习评价的价值具有导向价值、反馈价值、诊断价值、激励价值、研究价值。学习评价的分类有按评价的取向角度分,即包括“目标取向的评价”、“过程取向的评价”与“主体取向的评价”等三类、按评价的方法论角度划分,即包括学习评价大致可以分为“量化评价”和“质性评价”。

  儿童数学学业的评估学业评价,就是指学生的学习成就的评价。小学数学的学业评价目的包括第一,为学生了解自己的数学学习提供反馈的信息,以便让学生通过反思自己的学习过程来调整自己的学习的行为、情感和策略的参与水平;第二,帮助学生改善对数学以及数学学习的认识,进一步了解数学以及数学学习的价值,发展自己的数学素养;第三,帮助教师进一步了解儿童对数学的态度和情感,了解儿童的数学学习方式的多样性和差异性,了解儿童数学和数学学习的水平,了解儿童形成数学自信心的过程,从而改善教师的教学组织;第四,帮助教师与学生一起进一步完善数学课程,调整课程计划,生成新的学习。学业评估的原则包括发展性原则、过程性原则、过程性原则。学业评价内容包含对数学的价值的了解、数学知识意义的建构、数学技能的形成、数学问题解决能力水平、数学思想与方法的获得、数学学习的态度与情感、数学学习的自信心。多样化的学习评价包括从评价的功能角度看包含形成性评价和总结性评价、从评价的取向与追求看包含获得性评价和表现性评价、从评价的参照看包含常模参照评价,目标参照评价和个性特征参照评价。掌握构建促进学生发展的评价策略。

  小学数学课堂教学的评价

  课堂教学评价至少应包含着如下一些目的和意义,即第一,有利于学生的全面发展。因为小学数学课堂教学评价的一个基本目标,就是通过临床的评价与诊断,来帮助教师积极自主的去构建新的教学策略,不断调整教学的组织方法与过程,以促进学生数学素养的发展。第二,有利于教师的专业发展。因为小学数学课堂教学评价主体就是教师自己,是教师对课堂教学过程与行为的批判刑的反思,是教师与同行和专家的交流与分享的过程,因此,能有效的促进教师的专业发展。小学数学课堂教学的基本要素由课堂活动是由教师、学生、教材与环境这四个要素所构成。小学数学课堂教学评价的基本原则有注重目标达成原则、注重行为表现原则、注重效果全面原则。课堂教学评价的基本方法有临床观察法、交流访谈法、随堂测验法、研讨解析法。

  儿童学习运算规则的基本分析

  数学运算规则学习的意义包括有利于学生形成的基本技能、有利于发展学生的基本智能。小学数学运算规则学习的课程内容包括在小学数学的规则学习中,按规则的水平分,主要有一级运算规则(加减运算)的学习和二级运算规则(乘除运算)的学习,还有非常简单的三级运算规则(主要是二次或三次乘方运算)的学习;按涉及的对象看,主要是整数和小数的四则运算规则的学习和简单的乘方运算规则的学习,也包含简单的分数四则运算规则的学习;从运算的形式看,主要有口算、笔算和估算(有时也包括珠算)等学习;从学习目标看,重要有运算的规则理解与掌握以及运算技能和运算策略的初步形成。具体地看,在小学数学课程中,运算规则的学习主要有:①四则运算(包括整数四则运算、小数四则运算、简单的分数加减运算等);②性质运用(包括分、小数的互化、解答简易方程、分、小数化简等);③名数化聚;④四则运用(包括简单几何形体的面积、体积的求积、各种数学问题的解决等)。小学数学运算规则学习的特点,从学习的内容特点上来看,有以认数学习为起点、以整数四则运算为主线、小数与分数的性质和运算规则学习与认数学习交织进行、性质与概念学习是伴随着运算规则学习而展开;从学习方式的特点上来看,有淡化严格证明,强化合情推理、重要规则逐步深化、有些规则不给结语。小学数学中有着各种不同的计算,主要有口算、笔算和估算。当然,作为我国的传统,有时珠算也被安排进了小学数学的课程之中。儿童掌握计算规则的过程特点有生活经验是理解运算意义的基础,即丰富的生活情境是理解运算意义的条件、丰富的生活情境扩展着对运算意义的理解;规则的运用有明显的阶段性,即规则理解和掌握的阶段性、规则运用的阶段性;从实物表征运算到符号表征运算。儿童形成运算技能的基本表征通过三个层次来表现:会、比较熟练、熟练。会是指能够正确地进行计算;比较熟练是指通过训练,达到计算准确,有一定的速度;熟练是指不仅计算准确、迅速,而且能够选择恰当的算法,使计算合理、灵活。

  运算规则教学的主要模式与策略

  小学数学规则之间的关系有上、下位关系、并列关系。小学数学运算规则教学的主要模式有例-规教学模式、规-例教学模式。小学数学运算规则教学的基本策略包括规则的导入阶段,即情境导入、情境导入、问题导入;规则的揭示与理解阶段,即借助实际情境获得对规则的理解、借助对数的意义的认识获得对规则的理解、逐步揭示规则的内部意义、完满示范结构的导向策略;规则的巩固与运用阶段,即过程性策略、表现性策略、多样化策略。

  在运算规则学习中发展儿童的数学素养在实际的情境中形成数的意义可以包括在实际情境中认识数、在实际情境中运用数。良好的数的位置感首先表现在对一个具体数在某个集合中的位置有敏锐的感觉,同时,对于这个数与相邻数之间的相对大小有一个敏锐的感觉,即对各种数的关系有敏锐的反应和对数和数的运算实际意义有所理解。学会猜测和估算,因为:第一,估算能力的提高,可以发展个体的信息获取和处理与利用的能力。获取和利用信息已成为我们解决问题的必要条件,而面对这么多的各种信息,需要个体能更快地作出判断,以便确认哪些是可能有用的信息,这就需要一定的估算能力;第二,在日常工作或生活中,估算能帮助我们较快地作出某种策略或行为的抉择。在许多情况下,个体可能会面对众多繁杂的信息,而个体的策略或行为的抉择可能并不需要个体去通过对这些信息的精确计算后才能作出,估算就有可能加快个体采取行为的决策。现代的学习理论认为,面对一个运算问题,人们需要学会:①迅速判断它是否需要计算?②同时要能判断出它是否需要作出精确的计算?③然后才考虑采用什么方法进行计算?第三,估算是一种主动学习。面对一个学习问题,个体如果能先作出一个基本的预测和大致的估计,就有可能会激发个体去进一步探究问题解决的方法、途径和策略,使学习变得更为主动;第四,估算还能帮助运算者对自己的运算结果作出主动的和快捷的校验,以便进一步修正自己的运算方法;估算还能帮助学生加深对运算意义的理解。当需要通过估算来检验自己的运算结果时,就需要对运算的意义有乘法的理解。第五,估算还有助于学生的数学问题解决策略的形成。

  小学几何学习的基本分析小学数学几何学习的主要内容有简单几何形体的认识、变换(包括平移、旋转和对称等)、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面座标的初步体验等。小学空间几何学习的基本价值就是发展儿童的空间观念。学习空间几何学习目标可以从两个方面来表述,即从活动的特征表述和从内容的特征表述。从内容的特征看,小学几何学习的主要目标可以描述为:使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象;使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念;能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计;能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形。小学数学几何学习的主要特点包括经验是儿童几何学习的起点、操作是儿童构建空间表象的主要形式。

  儿童形成空间观念的基本特征

  从小学生的几何思维水平的发展看,可能大致会经历这么几个阶段:水平0阶段、水平1阶段、水平2阶段、水平3阶段。儿童空间观念形成与发展的基本特征包括儿童空间想象力的发展、儿童形成空间观念的心理特点。儿童形成空间观念的心理特点又包括对直观的依赖较大、用经验来思考和描述性质或概念、空间观念的形成依靠渐进的过程、容易感知图形的外显性较强的因素、对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程、对图形的识别依赖标准形式、依据平面再造立体图形的空间想象能力是逐步形成的。儿童形成空间观念的主要知觉的障碍有空间识别障碍,即儿童的空间识别能力(即空间方位感)的发展有着明显得阶段性与差异性。首先,儿童的空间识别能力是阶段性发展的。低年段的儿童,最初常表现为对距离不太远的对象的能进行一定的空间识别,但是,对于距离稍远的对象的空间识别相对就要差一些。随着学习的进行,经验的增长,空间知觉能力的逐步形成,儿童的空间识别能力才会得到较大的发展。其次,儿童的空间识别能力的发展是不平衡的。主要表现为,有的学生通过一定的训练能较快的发展他们的空间识别水平,而有的学生这需要反复的训练才能缓慢的发展他们的空间识别水平;以及视觉知觉障碍。

  小学几何教学的主要策略

  注重儿童的生活经验,即利用操作体验来获得对象形状特征的认识、利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质;观察对象的形体特征是基础,即观察形体特征是获得对象性质的基础、注意运用变式;强化动手操作,即搭建活动、剪拼与折叠活动、实物操作活动、测量活动、作图活动;丰富的想象和有效的交流。

  数学问题解决的基本过程与策略

  数学问题解决的过程分为三个阶段,即指向阶段、形成阶段、执行阶段。数学问题解决过程有模式辨识、问题转化、模型还原特征。数学问题解决的主要策略和方法有:第一,算法化。即通过对多次的问题解决活动的反思,人们会逐渐发现一些范例,这些范例又通过不断的抽象,就可能成为一种思维活动的模式;第二,探究启发式。所谓探究,常常是指个人或小组要完成一项任务,且又有完成任务的欲望,但却没有现成的算法可利用,需要通过自己的假设预测并实验验证来获得问题的解决。而所谓探究启发,即指在问题解决过程中,虽然没有现成的算法可直接利用,但却有某些与新问题情境有一定联系的图式可利用,从而帮助我们能更有效的进行尝试猜测和实验验证,使问题有可能获得解决。第三,顿悟。这是格式塔创始人之一的柯勒(W.Kohler)提出的所谓“顿悟”的学习理论,认为学习不是盲目的尝试。具体看看数学问题解决的过程,主要可能有如下一些策略可供选择:猜测策略、尝试策略、作图策略、操作策略、例举策略、简化策略。数学问题解决的主要方法有试误法、逆推法、逼近法。影响数学问题解决的主要因素有问题情境的刺激模式、问题的表征、定势、经验、认知策略、个性心理特征。

  发展儿童数学问题解决的基本能力

  儿童解决数学问题的主要心理过程有理解问题阶段、设计方案阶段、执行方案阶段、评价结果阶段。发展儿童数学问题解决能力的主要策略有创设自由探究的空间、发展学生问题表征的能力、大胆提出假设和积极思考。发展儿童数学问题解决的主要途径有以发展问题表征能力为基础、以发展形式化的能力为条件。

  儿童掌握统计与概率初步知识的过程特征

  儿童形成统计思想过程特征有观念是伴随着操作活动逐步形成的、数据的分析与利用能力的形成是渐进的、对数据理解是逐步发展的、对统计样本的理解缺乏经验的支持、对数据特征的认识集中在外部的明显特征上。儿童概率思想发展的过程特征有对事件发生可能性的认识是逐步发展的、对事件发生的可能性认识受到经验的制约、对事件发生的可能性认识需要通过直观操作来支持

  小学数学统计与概率初步知识教学的组织

  统计教学组织的主要策略有关注儿童对现实生活的经历、增强在数学活动中的体验、化将知识运用于现实情境;概率教学组织的主要策略有通过大量的活动来获得对事件可能性的体验、通过游戏活动来引导学生体验事件发生的可能性、通过让学生尝试设计方案去体验事件的可能性。

  课堂学习活动中学生参与的基本含义

  学生参与主要就是指学生在课堂学习过程中的身心投入,它反映的是学生在课堂学习过程中的心理活动方式和行为努力的程度。有学者认为这种投入可以分为行为参与、情感参与和认知参与。

  小学数学课堂学习中有哪些基本的教学组织类型?它们的含义分别是什么?

  小学数学课堂学习中有如下三种基本的教学组织类型:接受型的教学组织;问题解决型教学组织;自主型的教学组织。它们的含义分别是:接受型的教学组织,其特点往往就是教师通过在课堂学习中的各种提示性活动,如讲解、提问、示范、演示等等方法,来帮助学生接受并内化既定的数学知识,形成既定的数学技能。所谓问题解决型教学组织,也称“共同解决问题型”的教学组织。通常是指以问题为导向,以问题解决为目标,以教师与学生共同的对话与讨论、实验与尝试等为手段,促进学生主动学习的一种教学组织。自主型的教学组织,其最大的特征就是在课堂学习的过程中,教师的控制性大大地减弱,学生的自我学习活动在课堂学习中占了主导的地位。

  简述第二学段(4~6年级)“概率与统计”课程目标所预示的教学组织的特点。

  第二学段(4~6年级)“概率与统计”课程目标是:“经历收集、整理、描述和分析数据的过程,掌握一些数据处理的技能;体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性,能计算一些简单事件发生的可能性。”在这段文字的表述中,明显呈示着课程的三个目标方向。第一,中、高年段儿童的统计与概率知识学习,还是以直观的活动为主的,同时还是以体验为基本目标的;第二,是通过诸如抛硬币等操作活动来认识所谓的等可能性的;第三,是通过诸如掷骰子等操作活动来做一些简单的事件发生的可能性的计算的。



知识经济时代与小学数学教育改革

○张卫国 (人民教育出版社)


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(五)统计初步知识如何加强

统计是将人们的生活和生产中获得的大量数据(信息),这些数据(信息)从表面上看没有什么规律性,通过数学方法进行整理和分析以后就会呈现出一定的规律性。这说明现实世界中事物的联系和发展过程是非常复杂的,在表面上偶然性在起作用的地方,这种偶然性又始终是受事物内部隐藏着的必然性所支配的。这种必然性可以利用收集到的数据运用数理统计中的定理或定律进行统计推断,找到这事物整体的某种规律性。因此,统计思想和方法在人们日常生活与科研生产中应用日益广泛。

在小学数学教材中,统计初步知识的内容还是显得少了一些。为了使学生能更好联系实际,就应该稍微增加一些统计知识。例如,提出一些适合于学生日常生活实际的问题,让学生寻找条件,收集数据,加以整理、分析筛选出有用的,去掉无用的数据,组成合适的条件来解决这些问题等。

(六)几何初步知识如何进行改革

几何知识是数学科学的重要组成部分,它的内容包括数学中的空间形式及其关系。在小学数学中,它的主要内容有:平面几何图形和立体几何图形的认识,平面几何图形之间的相互关系,立体几何图形之间的相互关系,平面几何图形和立体几何图形的求积。笔者认为应该重视平面几何图形和立体几何图形认识、平面几何图形之间相互关系和立体几何图形之间相互关系的教学。

目前的九年义务教育小学数学教材中。几何知识在一、二年级有些几何图形的直观认识,这是比以前改进之处。但是,平面几何图形只有两个图形的认识和一个图形的求积。立体几何图形只有一个图形的认识和求积。几何知识显得比较贫乏。

实际上,几何内容与儿童生活实际的联系是十分紧密的,特别是两、三个平面几何图形组合的认识与识别,两个立体几何图形组合的认识和识别,在儿童生活实际中经常会看到和用到的。另外,其它一些平面和立体几何图形,如菱形、圆台、棱柱、棱台等,在日常生活中是常见的,也是有用的。

目前义务教育教材中,几何知识比较少,单纯求积计算的迹象比较明显。怎样来改变这种状况,也是小学数学教育改革一个重要课题。

(七)在小学数学教学中应该怎样理论联系实际

在教学新知识时,应该从学生的生活实际和学生熟悉的生产实际引入,让学生通过观察、操作、测量、画图等实践活动,使学生能了解所学知识的实际背景,再把它们抽象出来,获得相应的数学知识、方法、法则等。然后把实际背景和相应的数学知识进行对比,理解两者之间的联系与差别。还要告诉学生,这些数学知识、方法和法则等与日常生活、其他课程以及周围的现实的广泛的联系,要求他们同时主动去观察这些联系以及如何应用这方面的工作很重要,能使学生学习知识、巩固知识和技能时,能对学习过程有一个反思的过程。

重视知识的应用,不仅使学生掌握一种技能,而且有助于培养学生正确认识数学乃至科学发展道路,认识它们从根本上说来源于实际,它们是人类认识世界的工具。如果不重视理论联系实际,会使学生认为所学的数学知识与日常生活及他们具有的其他知识和经验的联系太少。学生的思想中应付考试是学习数学的重要目的;几乎没有将数学应用于实际的意识,也许他们认为数学本来在生活和日常工作中就没有用。以后,对于数学与其他科学的联系与应用问题也很少感兴趣。另外由于在校时简单地应用数学的训练太少,实际上也不会将可以用数学帮助解决的实际问题化成数学问题加以解决,将来会给工作造成很大的损失。

在小学数学教学中应在知识引入和掌握知识、方法、法则、定律后,怎样使学生能很好地联系实际,并将所学的知识应用于实际。如何处理得恰当,这是教学中的新问题,也是编写新教材作者所面临的重大挑战。

(八)关于课堂教学改革创新的问题

课堂教学优化、创新,其依据之一是教材内容的编排方式,使一般教师能按照教材编排体系、方式进行教学。但是,教材的编排体系、方式一旦固定下来,在短时间内是还会改变的。所以教学时,还要教师发挥聪明才智,创造新的有效的课堂教学形式。

1.加强教学中的实践性。

数学知识来源于实际,所以,数学教学要尽可能的接近学生的现实生活与社会生活。在教学中,要按照教材安排的内容,精心加以设计和加工,加强教学中的实际操作环节,使学生体验到数学知识来源于实际,又在实际生活中都有用处。所以,让学生进行数学活动,学生通过数学活动主动积极地获取知识,将感性的实际活动与内心的感受、体验结合起来。例如:

对于重量单位千克的认识,先通过原来克的计重量单位在计量大的物品的重量时不方便,需要引入新的计量单位。在建立千克的重量观念时,要通过学生的活动:称1千克沙子、挂面等,让学生掂一掂,体验1千克的份量有多重。同样的重量,由于物体的形态不一样,掂的时候感觉会不一样,但是重量的本质是一样的。再让学生用不同重量的物体分别掂一掂,感受两者之间的差别,这样,把外在的操作活动与内在的感受、体验结合起来,使学生对1千克的重量的观念更清晰、准确。再让学生称重量为1千克的鸡蛋。要求学生在秤鸡蛋的重量接近1千克时,要商量一些对策,怎样能称得又快又准。在实际操作过程中,他们能用以大换小或以小换大等方法,比较快而准地称出重量为1千克的鸡蛋。还可以再让学生称一些水果、蔬菜等物品。在这节数学活动课中,学生都能主动、积极地参与教学过程,都能认真、热烈地商量称东西的策略;他们的情绪兴奋、激动,他们的思维积极、开放。同时,使学生认识到千克这个计量单位在实际生活中的用途,体现了数学知识的实践性。

2.在教学中要着重体现数学思想与数学方法。

数学思想是指人们按照现实世界的空间形式和数量关系所形成的数学理论和数学知识,并运用这些数学理论与知识来进行活动和处理问题。它是对数学知识和数学理论的系统的本质的认识。

数学方法是以数学理论和知识为工具,为进行科学研究、解决实际问题提供思路和途径;用数学语言表达事物的状态、关系和过程,提供推导、运算和分析的逻辑顺序和手段及其操作原则。它提供了简洁而精确的形式化的语言,提供了计算、数量和图形进行分析的方法,提供了进行逻辑推理的手段。

数学思想和数学方法是贯穿在数学知识、法则、公式、定律之中的。它是人们通过思维活动后得到的理性认识,形成的一种观念性的结果。它比数学知识、法则、公式、定律更重要。在小学数学中同样贯穿着数学思想和数学方法。例如:

在教学圆面积计算公式时,要让学生回顾平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导过程,使学生认识到几何图形的割补、拼接的思想方法,是推导几何面积计算公式的基本方法与途径。把新几何图形通过割补、拼接等方法变换成已学过的几何图形,利用已知的面积计算公式推演出新的几何图形的面积计算公式。在而圆的面积计算公式推导过程比较复杂,割补和拼接的方法也比较特殊。因此,教学以教师演示为主。教师把几个完全一样的圆分别平均分成16、32、64等分,再分别拼接成近似的长方形。让学生看到,把圆平均分得越细,拼成的图形越接近于长方形(因为边的弧度越来越小)。教师再说明把圆平均分的份数越来越多,近似的长方形几乎就是所需要的长方形了。然后,让学生将圆的半径、圆周长跟长方形的长宽进行比较,由长方形的面积计算公式推出圆的面积计算公式。在这样的教学过程中,比较明显地渗透了极限的思想。

3.在教学中要注意知识之间的联系和关系。

数学是人类在长期的历史进程中生产劳动和社会实践中积累起来的关于客观世界的空间形式和数量关系的认识的升华。数学知识是客观世界与空间形式在人类认识中的反映。随着科学技术发展和人类对客观世界认识的深化,数学的研究对象也越来越广泛,它包括客观现实存在的任何形式和关系,只要这些形式和关系客观上能独立于它们的内容,既能完全撇开具体内容,而又能十分精确地表达它们的概念,又能保留丰富的联系,还能给纯逻辑的发展理论奠定基础。从另外的一个角度来讲,数学研究的对象包括:数量关系、数量形式、空间关系和空间形式。

在小学数学教学中,也隐含了这些思想。例如,在讲比的意义时,先让学生回忆以前学过的两个数之间有哪些关系:一个数比另一个多几、一个数比另一个少几、一个数是另一个数的几倍、一个数是另一个的几分之几。然后,教师再引出两个数之间的一种新的关系:两个数之间的比。两个数之间的关系可以说是数学中最简单的关系之一。但是,它的内涵却很丰富,它们之间有五种关系,其中有比多少的关系、倍数关系、运算关系和数量之间的关系。我们在教学时,要让学生理解所学数学知识丰富的内涵,要建立新、旧知识之间的内在联系,新知识的学习和理解要建立在原有的知识基础之上。这样的学习过程可以使学生所学的知识容易形成知识系统。又如,长方形周长的计算公式是:(长+宽)×2。应该怎样教学才能把计算公式与几何图形有机地联系起来?有一位教师是这样教学的:利用投影片出示长方形的图形,并指出其长和宽,再把长方形的周长分解成两个长与宽,然后把一个长和宽与另一个长和宽合并起来,就得到长方形的周长。教师把长方形周长的计算公式与图形的合并过程结合起来,使学生对计算公式和空间观念能够有更清晰更准确的理解,使所学的知识掌握得更好。教师的教学艺术和教学创新的领域是十分广阔的,从不同的角度去理解或思考,就会以不同方式或状态出现,很难用一种模式把它们框住。

(九)在教学中要注意数学意识的培养

数学意识是指数学思想和数学方法在学生的认知结构中固定下来以后,能主动地用数学思想方法来考虑问题或进行思维的习惯,也就是通常说的具有“数学头脑”。在小学数学教学中应该培养的数学意识主要有以下几种:

1.计算意识。遇到问题能够自觉地从数量上进行观察和思考,形成一种量化的思维习惯。这是最基本的一种数学意识,它最初产生于人类的计数活动。任何事物都有质和量两个方面的规定性,并且存在由量变到质变的过程。从数量角度考虑问题,往往更容易认识事物。培养计算意识,也可以说是培养良好的“数感”。

计算能力是小学数学教学必须培养的一种主要能力。它包括口算、笔算、估算等方面的能力。在小学数学教学中,学生计算能力的培养和形成,是有目的有步骤地长期培养训练的结果,是在学习整数、小数和分数的四则计算中逐步形成的。这些计算,从整个义务教育的数学教学来看,主要是小学的学习任务。它们在日常生活和生产劳动中用得最多,在进一步学习中是学习其他计算的基础,就是小学生在学习过程中也是十分必需的。因此,必须使学生切实掌握,并形成一定的计算能力,以终身受益。对于大数目与四则混合运算还是应该利用计算器为好。在计算教学中,应该注重算理和算法的教学,使学生知其然,又能知其所以然。要培养学生成为懂得算理和算法、又会使用计算工具的主人,而不能把学生训练成计算工具。

对于计算能力的要求是:计算正确、迅速(即根据计算内容的不同情况达到适当的熟练程度),方法合理、灵活。在这个要求中,正确(对)是迅速(快)和合理灵活(巧)的前提;离开了正确,也就失去了迅速的意义。而计算方法的合理、灵活,它不仅可以提高计算的速度,还有助于减少差错,从而保证计算的正确。

口算是不借助任何工具,依靠思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法,具有快速、灵活的特点。在小学数学中,最基本的口算是20以内进位加法和退位减法,表内乘法和相应的除法,它们的教学要求是:每分做十二、三道题,最多是每分做十四、五道题;准确率应达到百分之九十五。这些口算是日常生活的工作中最常用的计算,也是学习其他计算的基础。因此,准确率是第一位的,速度是第二位的。小学生学习口算是为今后数学和其他学科的学习打基础的,而不是为了比赛或干别的什么用的。

估算是在日常生活、测量中无法也没有必要进行精确计算或判断时所采取的计算方法,是对数量关系和空间形式合理的概算和推断。估算并不是近似计算,它是表示对人们所要得到的理想结果的接近程度。进行估算的过程具有一定的逻辑性和条理性,需要运用一些合理的推理和判断等策略。培养学生具有一定的估算能力,能提高学生对运算和测量结果有概括性的认识,能提高学生处理、解决实际问题的能力。在今后的小学数学教育改革中,如何安排有关估算的内容是一个十分重要的问题。

2.抽象意识是指面对一些事物时,很快就能指出事物本质解决问题的思维

习惯。从抽象的程来看可以把它分为三个层次:

(1)面对复杂的现象,有意识地区分主次因素,透过表面现象看本质;

(2)面对众多的事物,有意识地找普遍规律,抓住共性抽象概括;

(3)自觉建立数学模型的习惯。

抽象意识是由数学的抽象性特点决定的。培养抽象意识有助于提高思维性、抽象概括能力和利用数学模型解决问题的能力。

抽象就是抽出事物的本质属性(或特征)与非本质属性(或特征)区分开,舍弃其中非本质的方面,抽取出本质属性或特征等规定性的过程。概括就是在抽象的基础上,把抽取出来的那些本质属性、特征等一般规定,将同类属性归结在一起,形成关于对象的一般规定的综合的认识;进而把这种认识推广到同类事物,把握同类事物的共同性和一般性。抽象和概括的统一过程是抽象思维的基本过程。数学中的数、形、式等都是抽象概括的结果。对小学生来说,特别要注意在一定的感性认识基础上再加以适当的抽象概括,不然容易产生死记硬背、生搬硬套的现象。但是,也不能停留在具体形象上,老是不加以抽象概括。现以分数的意义教学为例,如果学生缺乏从丰富的感性认识的基础上抽象概括出分数的意义,过早地给出条文(实际上是教师代替学生抽象概括),学生即使背得滚瓜烂熟,也仍然不解其意,以致出现“1/2+1/2=1/4”的错误。反之,如果一直停留在具体形象的感性认识上,那么,当比较1/3与1/2的大小时,有的学生因联想到1/2个苹果总是比1/3个西瓜小的具体事例,以致得出“谁大谁小不一定”的错误结论。因此,培养学生的抽象概括能力,要注意把握抽象概括的时机和程度,要给予帮助和引导,而不是包办代替。

如何把握抽象概括的时机和程度,要注意以下三个问题:

(1)要注意抽象程度的阶段性。例如长方体认识低年级是从对实物的观察中看出长方体有6个面,而且是长方形(也可能有两个面是正方形),相对的面的面积相等,相对的棱长度相等。在高年级时,从实物抽象出长方体的几何图形,再从几何图形中得到长方体以上这些几何特征。

(2)必须注意与具体事物相联系。就是说,必须从多个有代表性的实例中抽象概括出一般原理,还要举出典型事例加以说明。如对数5、9、11、12的约数的情况进行分析、比较、抽象概括出质数与合数的概念,并对质数和合数给以定义。在这以后,还要举出若干自然数让学生鉴别,或让学生自已举例说明,加深理解,避免死记硬背定义。

(3)通过抽象概括形成某一概念或原理以后,要注意把这一概念纳入原有的知识体系,形成更高层次的抽象概括。例如:

百以内加减法与万以内加减法计算法则;乘数是一位数乘法与乘数是两位数的乘法计算法则;除数是一位数除法与除数是两位数的除法计算法则;长方形、正方形与平行四边形的面积计算公式;正方体、长方体与圆柱体的体积计算公式等。

3.推理意识是指利用已知的知识或事实推断出与其有因果关系的新的知识或事的思维习惯。它是数学的严密逻辑性的反映。人们常说“数学使人周密”,就是这个道理。培养学生的推理意识,可以使其形成崇尚真理、实事求是的科学态度和逻辑化、条理化的思维品质,以及提高学生的学习能力与实际工作能力。

推理是由一个或几个已知判断推出一个新的判断的思维形式。它反映了判断之间的联系。常见的推理有归纳推理、演绎推理和类比推理等。

归纳推理是由个别到一般的推理。小学数学中的法则、公式等,基本上是通过对具体实例的观察、比较和分析、综合,再加以归纳(实际上是不完全归纳)得出的。

演绎推理是由一般到个别的推理。它的基本形式是三段论。如:

因为:个位上是0或5的数能被5整除。(大前提)

370的个位是0。 (小前提)

所以:370能被5整除。 (结 论)

有时,为了方便,也可以省略一个前提。

一般来说,归纳可以更多地借助于观察,容易被低年级学生接受;演绎比较严谨,更适合高年级的学生。例如,分数乘以整数的计算法则可以这样导出:

例题:4个2/9是多少?

因为:2/9×4=2/9+2/9+2/9+2/9(分数乘以整数就是求几个相同加数的和)

=(2+2+2+2)/9(同分母分数相加,只要把分子相加,分母不变)

=(2×4)/9(整数乘法的意义)

=8/9(乘法口诀)

所以:2/9×4=(2×4)/9=8/9

这一推导过程,实际上就是由一系列省略了一个前提的三段论演绎得出的。

在教学过程中,归纳和演绎如同分析与综合一样,有着密切的联系。比如,当学生通过一些具体例子确信加法结合律的正确性,实际上运用了归纳;当学生运用加法结合律进行简便运算时,从思维形式来看,则是演绎。

类比推理是由个别到个别的推理。它是利用不同对象具有某些相同的属性,得出它们另一些属性也相同的结论。它在小学数学教学中,也常被采用。比如,由分数的基本性质类比出比的基本性质等。类比推理和不完全归纳一样,严格地说,只是一种猜想。尽管如此,类比推理在科学的发现中常常能起重要的作用。对小学生来说,可以起到启发思考和帮助他们由旧知识探求新知识的作用。

为了培养学生的推理能力,在教学新知识时,教师应注意做出示范,由个别到一般,再由一般到个别,并引导学生逐步学习推理的方法。在练习中要随时注意帮助学生纠正推理中的错误。

基础教育改革是一项系统工程。它必须符合我国的国情,特别应该看到我国百分之八十以上的人口生活在农村,经济发达地区与经济欠发达地区差别非常大。在知识经济时代即将来临之时,教育改革必须尽可能地缩小城乡差别和经济发达地区与经济欠发达地区之间的差别。小学数学教育改革只是基础教育的一个部分。小学数学教育改革要遵循教育改革指导思想、任务、原则等。本文只是对小学数学教育改革中一些问题作了探讨,谈了一些粗浅的看法。

《小学数学教育》1999年第3期

参考文献:

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4.陈侠:《课程论》 人民教育出版社 1989年3月版。

5.钟启泉:《现代课程论》 上海教育出版社 1989年4月版。

6.张永春:《数学课程论》 广西教育出版社 1996年12月版。

7.丁尔升:《现代数学课程》 江苏教育出版社 1997年7月版。

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9.孔企平:《西方“问题解决”理论研究和数学课程改革走向》《课程·教材·教法》 1998年第9期。

10.丁润生等:《现代思维科学》 重庆出版社 1992年8月版

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