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数学组卷(必修5、2-1)


2015-2016 学年黔西一中高二数学测试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 0 A、 a
2

? x ? 1, a ? 2 x , b ? 1 ? x, c ?
B、 b
2

1 , 则其中最大的是( 1? x
D、不确定


<

br />C、 c

x y ? ? 1 的渐近线方程是 ( ) 4 9 3 2 9 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x 2 3 4
2.双曲线

D.

4 y?? x 9

? ?2 x-y ? 0, 3.实数 x,y 满足 ? 则 z=2x+y 的最小值为( ) ? y ? x, ? 9 ? y ? -x+ ? 4 A.-2 B.2 C.3 D.4 4.一个正整数数表如右(表中下一行中的数的个数比上一行中数的个数多两个,每行中的数成公比为 2 的等比数列)则第 6 行的第 5 个数是 ( )
第1行 第2行 第3行 ……
29

1 2 16 ……
30 31 32

4 32

8 64 128 256

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 5.设{an}是由正数组成的等比数列,且 a5a6=81,log3a1+ log3a2+…+ log3a10 的值是( A .5 B.10; C.20 D.2 或 4 6.设等差数列 A. C.
*

) )

?an ?的前 n 项和是 S n ,若 ?am ? a1 ? ?am?1 ( m ?N ,且 m ? 2 ),则必定有(
B. D.

Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0
2 2

Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0
,则此椭圆的方程为

7.设椭圆

x y 1 ? 2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 2 2 m n
(B)

2 2 (A ) x ? y ? 1 12 16

8.设 S n 为等比数列

?an ?的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 S

x2 y 2 ? ?1 16 12

2 2 (C) x ? y ? 1 48 64

2 2 (D) x ? y ? 1 64 48

5

A. 11 B. ? 8 C. 5 D. ? 11 9.不等式(x+1) (2-x)≤0 的解集为 A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤-1 或 x≥2} D.{x|x≤-2 或 x≥1} 10.下列不等式中,对任意 x∈R 都 成立的是 ( ) A.

S2

?(

)

1 ?1 x ?1
2

B.x +1>2x

2

C.lg(x +1)≥lg2x

2

D.

4x ≤1 x ?4
2

11.(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=(

)

1 A. 3

1 B.- 3

C. 1 9

D.- 1

9

12.已知点 F1 , F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该曲线上一点,若 ?PF 1 F2 为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 ( ) 试卷第 1 页,总 4 页

A. 2

2

B.

3 ?1

C. 2

3

D.

2 ?1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知椭圆方程

x2 y 2 + a2 b2

=1(a>b>0) ,当 a +
2

2

16 的最小值时,椭圆的离心率 e= b ?a ? b?
的最小值为;若 ax ﹣4x+c>0 的解集为 (-1,2),
2

14.设二次函数 f(x)= ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 则 a ?c =

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 2 F (2, 0) ,离心率为 2 n 15.设椭圆 m 的右焦点为
2

,则此椭圆的方程为___________

x ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1, C2 在第二,第四象限的公共点, 4 若四边形 AF 为矩形,则 C BF 2 的离心率是. 1 2
16.如图, F 1 , F2 是椭圆 C1 : 三、解答题(17 题 10 分,其余各题每小题 12 分) 17.(本小题满分 10 分)已知等比数列 {an } 中, S n为其前n项和, 且a1 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 b ? 5 ? log a , 求{b }的前 n项和 T . n 2 n n n 2

? a3 ? 5, S 4 ? 15.

18. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 E: A1、A2,上、下顶点分别为 B1、B2.设直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为 (1)求椭圆 E 的离心率; (2)判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系,并说明理由; (3)若圆 C 的面积为π ,求圆 C 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别为 a 2 b2

1 ,圆 C 与以线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称. 3

试卷第 2 页,总 4 页

19.已知公差不为 0 的等差数列

?an ? 满足 a2 ? 3 , a1 , a3 , a7 成等比数列.
?bn ? 满 足 bn ?
an an?1 ? an?1 an
,求数列 (Ⅲ)设 ?bn ? 的 前 n 项 和 Sn ;

( 1 ) 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 ; (2)数列

cn ? 2n (

an ?1 ? ? ) ,若数列 ?cn ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围. n

20.已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (m ? R) . m ? 2 3? m
与曲线 C 交于 M , N 两点, O 为坐标原点,若 ?OMN 为直角,求直线

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m 的斜率.

? 2 ,过点 D(0, 4) 的直线 l

l

试卷第 3 页,总 4 页

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 S ? ? 1 , 0 ? 的动直线 l 交椭圆 C 于

2 1 , 且其中一个焦点与抛物线 y ? x 2 的焦点重合. 4 2
, 使得无论 l 如何转动,

? ? 3

? ?

试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 T A, B 两点,



AB 为直径的圆恒过点 T

?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.设数列 ⑴若 ⑵若

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 .
? n ( a1 ? an ) 2 ,并给出等号成立的充要条件.

a2 ? 2 ,求 a1 及 an ;
a2 ? ?1,求证: S n

试卷第 4 页,总 4 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 参考答案 1 .C 【解析】 试题分析:令 x

?

1 2

,则 a

?2

1 2 1 ? ? 1 , b ? 1 ? ? 1 .5 , c ? 2 2 2

1 1 1? 2

? 2 ,显然,最大为 c

考点:比较大小. 2 .A 【解析】略 3 .C

? ?2 x-y ? 0, ? 【解析】画出约束条件 ? y ? x, 表示的可行域,如图所示, ? 9 ? y ? -x+ ? 4

由可行域知目标函数 z=2x+y 过点 ?

?3 3? , ? 时取最小值,此时最小值为 z ?4 2?

min

=2×

3 4



3 2

=3.

4 .A 【解析】 试题分析:前 5 行的个数依次为 1.3.5.7.9,合计共 25 个,各数构成的是等比数列,首项为 1,公比为 2,所以通 项公式为 an

? 2n?1 ,第 6 行的第 5 个数为等比数列的第 30 项,? a30 ? 229

考点:等比数列通项公式 5. C 【 解 析 】 因 为 log3a1+ log3a2+…+ log3a10

? log3 (a1a2a3 ?a10 ) ? log3 (a5a6 )5 ? log3 815 ? 20
6 .C 【解析】

.

?a1 +am ? 0 。 ? a1 ? ?am?1 ? ? ?a1 ? am?1 ? 0 a ? am a ? am?1 显然,易得 S m ? 1 ? m ? 0 , Sm ?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 ,故选 C。 2 2
试题分析:由题意,得: ?am 考点:本题主要考查等差数列的求和公式,等差数列的性质。 点评:中档题,等差数列中, m ? n ? 7 .B 【解析】抛物线的焦点为 (2, 0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C,由 e 8 .D 【解析】略 答案第 1 页,总 8 页

p ? q, 则am ? an ? a p ? aq 。
? 1 排除 D,选 B. 2

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 9 .C 【解析】 试题分析:方程(x+1) (2-x)=0 的两个根分别为 x1 为{x|x≤-1 或 x≥2}. 考点:不等式解集的解法. 10.D 【解析】略 11.C 【解析】设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9,
2 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? 10a1 ?a1q ? 9a1 ∴? ,∴ ? 4 4 ? ?a1q ? 9 ?a1q ? 9 1 解得 a = ,故选 C. 9
1

(2-x)≤0 的解集 ? ?1, x2 ? 2 ,所以不等式不等式(x+1)

12.B 【解析】由题意可得直线 AB 的斜率 K 存在 设 A(a,b)B(c,d),F(1,0)则可得直线 AB 的方程为 y=k(x-1) 联立方程

? ? y ? k ? x ? 1? ? 2 ? ? y ? 4x
2

整理可得 k x -2(k +2)x+k =0 ∴a+c=

2 2

2

4 k2

+2,ac=1
2

∴a-c=



4 1? k2 ; k2 1 1 1 1 c?a 1? k2 1 ? ? ? ? ? ? AF BF a ? 1 c ? 1 ac ? a ? c ? 1 1 ? k 2 2

? a ? C?

? 4ac =

∴k=

3或

k=-

3

∵θ ∈(0, 故选:B. 13.

? ? )∴k= 3 ,θ = 2 3

3 2
2

【解析】 试题分析:a +

16 16 ≥a + (b ? a ? b ) 2 b ?a ? b?
2

= a+

2

16 ? 4 2 16 ? 4 ≥2 a ? 2 a a2
c a

=16.当且仅当 a-b=b,a=2b=2√2 时取等

4
号. a=2√2, b=√2 时取等号所以 c= 考点:均值不等式。 14.3,-12 【解析】 试题分析: 因为二次函数 f (x) = ax ﹣4x+c (x∈R) 的值域为[0, +∞) , 则?
2

a2 - b2 =√6,e=

=

3 。 2

?a ? 0 a ? 0, ac ? 16 , , 所以 ? ? 16 ? 4 ac ? 0 ?

答案第 2 页,总 8 页

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1 9 9 9 3 1 9 4 ? ?2 ?2 ? ,当且仅当 ? 即 a ? 12且c ? 时取等号. c a 3 c a ac 16 2
因 为 ax ﹣ 4x+c>0 的 解 集 为 (-1,2) , 所 以 -1,2
2

4 ? ?1 ? 2 ? ? ? a 2 是 方 程 ax ? 4 x ? c ? 0 的 两 个 根 , 则 ? ? ?1 ? 2 ? c ? a ?

解得

?a ? 4 ,? a ? c ? 4? ( ? 8) ? 12 ? ?c ? ?8
考点: (1)基本不等式, (2)一元二次不等式的解法
x2 y 2 ? ?1 15. 16 12

【解析】此题考查椭圆的性质

思路分析: 因为椭圆右焦点为

1 F (2, 0) 所以 c ? 2 , 又离心率为 2

, 故

c 1 2 2 2 ? ,m ? 4 , 因此 n ? m ? c ? 12 , m 2

x2 y 2 ? ?1 故椭圆方程为 16 12 .
16.

6 . 2

【解析】 试题分析:由题意, ?

? AF1 ? AF2 ? 2a ? 4
2 2 2 ? AF1 ? AF2 ? 4c ? 12

? ( AF2 ? AF1 )2 ? 8 ? AF2 ? AF1 ? 2 2 ,∴ C2 的离心率

e?

3 2

?

6 . 2
? 2n?1.
(Ⅱ)

考点:椭圆、双曲线的标准方程及其性质. 17.(Ⅰ) an

Tn ?

n ( n ? 4) . 2
…2 分 得?

?a1 ? a1 q 2 ? 5, ? 【解析】 (I)设 {an } 的公比为q,由已知q ? 1. 则? a1 (1 ? q 4 ) ? 1 ? q ? 15, ?

?a1 ? 1, ?q ? 2,

…4 分

? an ? 2 n?1.
(II) bn

5分 8分

5 5 3 ? log 2 2 n ?1 ? ? n ? 1 ? n ? , 2 2 2 5 3 n( ? n ? ) 2 ? n(n ? 4) . ……10 分 ? Tn ? 2 2 2 ?
18. (1 ) 【解析】

1 2 4 2 2 14 ) ?1 ; (2)相切; (3 ) ( x ? ) ? ( y ? 3 3 4

答案第 3 页,总 8 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 试题分析: (1)求椭圆 E 的离心率,就是要列出关于 a,b,c 的一个关系式:因为直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为

1 ,所以 3

b a 2 ? b2

?

1 2 2 ,于是 a =8b ,所以椭圆 E 的离心率 e ? 3

c2 7 14 ? ? (2)判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系, 2 a 8 4

一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判定.因为圆 C 与以线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称,所以以线段 OA2 为直径的圆与直线 A1B1 的位置关系就是直线 A1B1 与圆 C 的位置关系, OA2 的中点 (2k,0) 到 A1B1 的距离 d=

| 2k +4k | ? 2k , 3

等于以 OA2 为直径的圆的半径,所以直线 A1B1 与圆 C 相切. (3)由圆 C 的面积为π 知圆半径为 1,因此以 OA2 为直径的圆 心为(1,0) .再根据圆 C 与以线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称,得到 OA2 的中点(1,0)关于直线 A1B1 的对称点为 圆 C,利用方程组可得 C 点坐标,从而得到圆的方程. 试题解析:解: (1)设椭圆 E 的焦距为 2c(c>0) , 因为直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为

b 1 1 ? , ,所以 2 2 3 3 a ?b

于是 a =8b ,即 a =8(a -c ) ,所以椭圆 E 的离心率 e ?
2 2 2 2 2

c2 7 14 ? ? 2 a 8 4

(2)由 e ?

14 ,可设 a=4k(k>0) ,c= 14 k,则 b= 2 k, 4
2 y+4k=0,

于是 A1B1 的方程为 x-2

故 OA2 的中点(2k,0)到 A1B1 的距离 d=

| 2k +4k | ? 2k 3 1 . 2

又以 OA2 为直径的圆的半径 r=2k,即有 d=r, 所以直线 A1B1 与圆 C 相切. (3)由圆 C 的面积为π 知圆半径为 1,从而 k= 设 OA2 的中点(1,0)关于直线 A1B1:x-2

2 y+2=0 的对称点为(m,n) ,

? n 2 ? ? ?1 ? ? m ?1 4 则? ?m ?1 ? 2 2 ? n ? 2 ? 0 ? ? 2 2 4 2 1 解得 m= ,n= . 3 3 1 2 4 2 2 ) ?1 所以圆 C 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 3 3
考点:椭圆 E 的离心率,直线与圆位置关系 19. (1 ) a n 【解析】 试题分析: (1)由等差数列的通项公式可将条件 a1 , a3 , a7 成等比数列,转化为关于公差的方程,解此方程求得公 差值,从而就可写出其通项公式; (2)由(1)的结果可求得数列 法解决; (3)数列 (2) S n ? 2n ? ? n ?1;

n 4 ; (3) ? ? . 3 2(n ? 2)

?bn ? 的通项公式,发现其前 n 项和可用裂项相消求和

数 ? 分离出来,可转化为研究一个新数列的最大项问题,对此新数列再用比差法研究其单调性,进而就可求得其最大 项,从而获得 ? 的取值范围. 试题解析: (1)由题知 a3
2

?cn ? 是单调递减数列,等价于 Cn?1 ? Cn ? 0 对 n ? N ? 都成立,将(1)的结果代入,然后将参
? a1a7 ,设 ?an ? 的公差为 d
,则

? a1 ? 2d ?

2

? a1 ? a1 ? 6d ? ,

答案第 4 页,总 8 页

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a1d ? 2d ,? d ? 0 ? a1 ? 2d . ? a2 ? 3 ? a1 ? d ? 3 a1 ? 2, d ? 1 ?an ? n ? 1 . a a n ?1 n ? 2 1 1 (2) bn ? n ? n ?1 ? . ? ? 2? ? an?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? bn ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 n . ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2(n ? 2) (n ? 2) n an ?1 ? ? )=2n ( ? ? ) ,使数列 ?cn ? 是单调递减数列, (3) cn ? 2 ( n n n?2 n 2( n ? 3) ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立 则 cn ?1 ? cn ? 2 ( n ?1 n 2(n ? 3) n ? 2 2(n ? 3) n ? 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max 即 n ?1 n n ?1 n 2(n ? 3) n ? 2 ? 设 f ( n) ? n ?1 n 2(n ? 4) n ? 3 2(n ? 3) n ? 2 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? n?2 n ?1 n ?1 n 2(n ? 4) n ? 2 3(n ? 3) 4 2 6 ? ? ? ? 2? ?1? ? 3 ? n?2 n n ?1 n?2 n n ?1 2 ? 2 ? n? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? ? 4 2(n ? 3) n ? 2 4 4 ? ) max ? 所以 ? ? . 当 n ? 2 或 n ? 3 时, f ( n) max ? 所以 ( 3 n ?1 n 3 3
2

考点:1.等差数列与等比数列;2.数列的单调性;3.不等式的恒成立. 20. (1 ) 【解析】

1 ? m ? 3; (2) k 的值为 ? 5 . 2

?m ? 2 ? 3 ? m 即可得到参数 m 的取值范围; (2 ) ?3 ? m ? 0 设 l 的方程为 y ? kx ? 4 (注意检验斜率不存在的情况是否符合要求) , 再设出 M , N 两点的坐标 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ,
试题分析: (1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,则求解不等式组 ? 当 ?OMN 直线方程

? 90? ,由 kOM ? k ? ?1 即

y ? kx ? 4 ,即可求出 k 的值.

x2 y1 y1 ? 4 ? ? ?1 与 1 ? y12 ? 1联立可求解出点 M 4 x1 x1

的坐标,然后再代入

试题解析: (1)若曲线 C : 解得

x2 y2 ? ? 1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则有 m ? 2 ? 3 ? m ? 0 m ? 2 3? m

1 ?m?3 2

3分

答案第 5 页,总 8 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 (2 ) m

? 2 时,曲线 C 的方程为

由题意知,点 D(0, 4) 的直线

x2 ? y 2 ? 1, C 为椭圆 4 l 的方程为 y ? kx ? 4 的斜率存在,所以设 l
5分

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,当 ? ? 0 时,解得 k 2 ?
设 M,

15 4

N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 )

因为 ?OMN 为直角,所以 kOM 整理得 x1 又
2 1

? k ? ?1 ,即

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 x1 x1

2

? 4 y1 ? y12 ①

7分

x ? y12 ? 1 ,②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 4 2 解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 (舍去) 3 2 2 y ?4 5 ,所以 k ? 1 ?? 5 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? 3 3 x1
故所求 k 的值为 ? 5 9 分. 考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.两直线垂直的条件.

y2 ? 1; 21. (1 ) x ? (2)在坐标平面上存在一个定点 T ?1,0 ? 满足条件. 2
2

【解析】 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能 力、转化能力、计算能力.第一问,先设出椭圆的标准方程,根据离心率求出 a 和 c 的关系,进而根据抛物线的焦点求 得 c ,进而求得 a ,则 b 可得,进而求得椭圆的标准方程;第二问,若直线 l 与 x 轴重合,则以

AB 为直径的圆是

1? 16 ? x2 ? y 2 ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ? ; 3? 9 ?
联立两个圆的方程求得其交点的坐标,推断两圆相切,进而可判断所求的点 T 如果存在,只能是只能是

2

?1,0? ,

当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线方程,与圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x1 ? x2 和 x1 x2 的表达式,代入

??? ??? ??? ??? ??? ??? TA ? TB 的表达式中,求得 TA ? TB ? 0 ,进而推断 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0 ? .
x2 y 2 2 c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? , ? 2 b a 2 a 2


试题解析: (Ⅰ)设椭圆的方程为 又抛物线

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 , 4 y2 ? 1. ? 椭圆 C 的方程是 x 2 ? 2 2 2 (Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x ? y ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴, y?
答案第 6 页,总 8 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 则以

AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

1? 3?

2

16 . 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 解得 ? 即两圆相切于点 ?1,0 ? . 1? 16 2 ? y ? 0. ?? x ? ? ? y ? , 3? 9 ?? 因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? .事实上,点 T ?1,0 ? 就是所求的点.
证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以

AB 为直径的圆过点 T ?1,0 ? .

当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l :

1? ? y ? k?x? ?. 3? ?

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? ? 2 2 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 . 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2 2 ? ? k2 ? x1 ? x2 ? 23 , ? ? k ?2 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . 1 2 ? k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA ? ? x1 ? 1, y1 ? , TB ? ? x2 ? 1, y2 ? , ??? ??? ?TA ? TB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2
1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9 ? 0,
? TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0 ? .
故在坐标平面上存在一个定点 T

?1,0? 满足条件.

考点:圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题. 22. (1) a1 【解析】 试题分析:(1)已知 Sn 与 an 的关系式求出首项和通项,通常都是取特值和写一个递推式相减即可 .(2)由(1)得到

n ? 1, 2 或 a2 ? 1时等号成立. ? 1 , an ? 2n?1 (n ? N * ) ; (2)当且仅当

an ? a2n?1 ,分析第

1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
1,2 项可得后要证的问题等价于

n 1 ? a2 n ?1 ? ? n ? 3? ? 2 本题是通过

答案第 7 页,总 8 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 利用对称项

a2 ? a2
r

n? r

? 1 ? a2 n 的关系来证明的,该对称项是通过对 a

2

的范围的讨论得到的 . 通过累加后得到

2(a2 ? a2 2 ????? a2n?1 ) ? (n ?1)(1? a2n ) ,然后不等式的两边同时加上 2(1 ? a2n ) 即可得到答案.

? a2 Sn ? a1 ………①, 当 n ? 1 时代入①,得 S2 ? a2 S1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ;
试题解析:⑴ Sn?1 由①得 Sn 故 an

? a2 Sn?1 ? a1 ,两式相减得 an?1 ? a2 an ( n ? 2 ),故

an ?1 ? a2 ,故 {an } 为公比为 2 的等比数列, an

? 2n?1 (对 n ? 1 也满足); n S n ? (a1 ? an ) 2 ⑵当 n ? 1 或 2 时,显然 ,等号成立.
n?1 ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2 ,所以要证的不等式化为: n 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ? 1 ? a2 n ?1 ? n ? 3? 2 n ?1 2 n (1 ? a2 n )(n ? 2) 即证: 1 ? a2 ? a 2 ? ??? ? a2 ? 2

设n

?

?

当 当 当

a2 ? 1时,上面不等式的等号成立. ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,? , n ? 1)同为负; a2 ? 1时,
a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,? , n ? 1)同为正;
a2 ? ?1且 a2 ? 1时,总有 ( a2r ?1 )( a2n?r ?1 )>0,即

因此当

a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,( r ? 1, 2,3,? , n ? 1).
上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得,

2(a2 ? a2 2 ????? a2n?1 ) ? (n ?1)(1? a2n ) ; n ?1 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ? ?1 ? a2n ? 2 由此得 ; n S n ? (a1 ? an ) a ? 0 a ? ? 1 n ? 1, 2 或 a2 ? 1时等号成立. 2 综上,当 2 且 2 时,有 ,当且仅当
考点:1.数列的求和与通项的关系.2.数列中不等式的证明.3.数列的累加法的应用.4.分类的思想.

答案第 8 页,总 8 页


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