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江西省井冈山市新城区井冈山中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


井冈山中学高二下学期第一次月考数学(理科)试卷
一、选择题: 1.b3.设 a, b, c, d ? R ,若

A. bc ? ad ? 0 B. bc ? ad ? 0 C. bc ? ad ? 0 D. bc ? ad ? 0 2.在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,因为这些数对应的点可 以排成一个正三角形

a ? bi 为实数,则( c ? di

)

3 则第 n 个三角形数为( A. n B.

1

6 )

10 C. n ? 1
2

15

n( n ? 1) 2

D. )
21 D. Am ? 20

n( n ? 1) 2

3.若 m 为正整数,则乘积 m?m ? 1??m ? 2???m ? 20? ? (
20 A. Am 21 B. Am 20 C. Am ? 20

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( ) 16 9 16 9 3 x x A. y ? ? B. y ? ? C. y ? ? x 9 16 4
4. 双曲线 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 120 B. 240 C. 280 D. 60

D. y ? ?

4 x 3



6.求由曲线 y ? ? x ,直线 y ? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误 的为( .. A.



?

4

0

(2 ? x ? x )dx B. ?

4

0

xdx

C.

?

2

?2

(2 ? y ? y 2 )dy D. ? (4 ? y 2 )dy
?2

0

7.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 8.在 (1 ? x A. ?297
3

)

B.f(n)+n

C.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2

)(1 ? x)10 的展开中, x5 的系数是(
B. ?252 C. 297

) D. 207

9.函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其图象如图所示,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,则不等式

3 2

f ?( x) ? 0 的解集为 (
A. ? ? ,1? ? ? 2,3? C. ? ?



? 1 ? ? 3 ?

B. ? ?1, 2? ? ? , ? 3 3 D. ? ? , ?1? ? ? , ? ? ? ,3 ? 2 2 3 3
1

? 4 8? ? ? ?1 4? ? ? ?8 ? ? ?

? 3 1? , ? ?1, 2? ? 2 2? ?

? 3 ?

? ?

10.设 f ( x ) 、 g ( x) 是定义域为 R 的恒大于零的可导函数,且 ) f / ( x) g ( x) ? f ( x) g / ( x) ? 0 ,则当 a ? x ? b 时有( A. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) C. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a) 11.以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是 A. C
3 4


3 7



B. C C
3 7 -6

C. C C

1 8

D. C ? 12

1 8 4 8

12.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 3, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在x ? [?2,5] 上有 3 个零点,则 m 的取值范围为 ( ) A. (-24,8) 二、填空题:(20 分)

B. (-24,1]

C.[1,8]

D.[1,8)

13 . 直 线 l 过 点 (? 1 , 3 , ) 且与曲线 y? 为 14. ? x ? ;

1 在 点 ( 1, ,则直线 l 的方程 ? 1处 ) 的切线相互垂直, x?2

? ?

1 ? ? 1? 展开式中的常数项为 x ?

5

。 种取法(用数字作答 ).

2, 3?, 9 这 9 个数中任取 4 个数,使它们的 和为奇数,则共有 15.从 1,
3

16.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为 ? ( x) ? x (取细棒所在的直线为 x 轴,细棒的一端为原 点) ,棒长为 1,试用定积分 表示细棒的质量 M = ... 三、解答题: (70 分) 17. (10 分)已知 | z | ? ( z ? z )i ?
2

3?i ,其中 z 是 2?i

z 的共轭复 数,求复数 z .

18. (12 分)6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1)甲得一本,乙得二本,丙得三本; (2)平均分成三堆; (3)甲、乙、丙每人至少得一本。

2

19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形,PD ? DC ,E , F 分别是 AB, PB 的中点. (1)求证: EF ? CD ; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值. F D C P

A

E

B

20. (12 分)对于数列 {an } ,若 a1 ? a ?

1 1 (a ? 0且a ? 1), an ?1 ? a1 ? a an .

(1)求 a2 , a2 , a4 ,并猜想 {an } 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.

y 2 x2 21 . (12 分 ) 已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点 , 其中 F1 也是抛物线 a b

C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |?
(1)求椭圆 C1 的方程;

5 . 3
y

(2)已知点 P(1,3) 和圆 O : x ? y ? b ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点
2 2 2

A, B ,在线段 AB 上取一点 Q ,满足: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? ?? PB , AQ ? ?QB ( ? ? 0 且 ? ? ?1 ).求证:点 Q 总在某定直线上.

M

F1 O

·
x

· F
2

3

22. (12 分)设函数 f ( x) ? x ?
3

3 . (1)求 f(x)的单调区间; x

(2)当 x ? [ ?2,? 范围.

1 ]时, 对任意实数k ? [?1,1], f ( x) ? ?2 ? (k ? 4)? ? 2k 恒成立,求实数 λ 的取值 2

4

一、选择题: CBDCAC,CDACDD 二、填空题: 13. x ? y ? 4 ? 0 三、解答题 14. -51 15.60 16.

?

1

0

x3dx

| z |2 ?( z ? z )i ? 1 ? i 设 z ? x ? yi,( x, y ? R) ,代入上式得 x2 ? y 2 ? 2 xi ? 1 ? i 1 ? x?? 2 2 ? ?x ? y ? 1 2 ? ,解得 ? ?? ?2 x ? ?1 ?y ? ? 3 ? ? 2
17(10)解:由已知得 故复数 z 为 ?

1 3 ? i 2 2
1 2 3

18(12)(1) 分成三堆的方法有 C 6 C5 C3 种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙 得二本,丙得三本的分法亦为 C 6 C5 C3 =60 种. (2)3 个人一个一个地来取书,甲从 6 本不同的书本中任取出 2 本的方法有 C 6 种,甲不论用哪一种方法 取得 2 本书后,已再从余下的 4 本书中取书有 C 4 种方法,而甲、乙不论用哪一种方法各取 2 本书后,丙 从余下的两本中 取两本书,有 C 2 种方法,所以一共有 C6 C4 C2 =90 种方法. (3) 19(12)(1) 因为 EF ? DC ? (?
2 2 2 2 2

1

2

3

2

??? ? ????

a a , 0, ) ? (0, a, 0) ? 0 ,所以 EF ? CD . 2 2

(2)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

a a a ? ?a ???? ( x, y , z ) ? ( , , ) ? 0 ? ( x ? y ? z ) ? 0 ? ? ? ?2 ?n ? DF ? 0 2 2 2 由 ? ???? 得, ? 即? , ? ?( x, y, z ) ? ( a, a , 0) ? 0 ? ax ? a y ? 0 ?n ? DE ? 0 ? ? ? 2 ? 2
取 x ? 1 ,则 y ? ?2 , z ? 1 ,得 n ? (1, ?2,1) .

??? ? ??? ? BD ? n a 3 ? , cos? BD, n? ? ??? ? ? 6 | BD || n | 2a ? 6
所以, DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为

3 6

20(12)解: (1)? a1 ? a ?

1 1 , an ?1 ? a1 ? , a an

5

? a2 ? a1 ?

1 1 a a a4 ? a2 ? 1 ?a? ? ? 2 ? a1 a a ? 1 a ? 1 a(a 2 ? 1) a

2 1 a ? 1 a(a 2 ? 1) a6 ? a 4 ? a 2 ? 1 a3 ? a1 ? ? ? 4 ? a2 a a ? a 2 ? 1 a(a 4 ? a 2 ? 1)

a8 ? a 6 ? a 4 ? a 2 ? 1 同理可得 a4 ? a(a6 ? a 4 ? a 2 ? 1)

a 2n ? 2 ? 1 2n ? 2 a ?a ??? a ?1 ?1 a2 ? 1 ? a 猜想 an ? ? 2 n ?1 2n ? 2 2n ? 4 2n a a(a ?a ? ? ? 1) a(a ? 1) a? 2 a ?1
2n 2n ? 2 2

(2) (ⅰ)当 n ? 1 时,右边 ?

a4 ? 1 a2 ? 1 ? ? a1 ,等式成立. a(a 2 ? 1) a

(ⅱ)假设当 n ? k 时 (k ? N? ) ,等式成立,即

ak ?

a2k ? 2 ? 1 1 a 2 ? 1 a(a 2k ? 1) n ? k ? 1 ,则当 时, a ? a ? ? ? 2k ? 2 k ?1 a(a 2 k ? 1) ak a a ?1 ? (a 2 ? 1)(a 2 k ? 2 ? 1) ? a 2 (a 2 k ? 1) a 2( k ? 2) ? 1 ? , a(a 2 k ? 2 ? 1) a(a 2( k ?1) ? 1)

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可知,对于一切 n ? N , an ?
?

a2n ? 2 ? 1 成立. a(a 2 n ? 1)

21(12)解:(1)由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上, 故 x02 ? 4 y0 …①又 | MF1 |?

5 5 2 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ……② , 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . 而点 M 椭圆上 , 3 3 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 3 3 ? 1 即 2 ? 2 ? 1 …③, 故有 2 ? 2 a b 9a 3b
2 2 又 c ? 1 ,则 b ? a ? 1…④

y 2 x2 ? ? 1. 由③④可解得 a ? 4 , b ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为 4 3
2 2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , Q ( x, y ) ,

6

由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ?1, y2 ? 3) ,即 ?

??? ?

??? ?

? x1 ? ? x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? )

由 AQ ? ?QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,即 ? ⑤ ? ⑦得: x12 ? ? 2 x22 ? (1 ? ? 2 ) x

??? ?

??? ?

? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y

⑥ ? ⑧得: y12 ? ? 2 y22 ? 3 y(1 ? ? 2 )

两式相加得 ( x12 ? y12 ) ? ? 2 ( x22 ? y22 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y) 又点 A, B 在圆 x 2 ? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x22 ? y22 ? 3 即 x ? 3 y ? 3 ,∴点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上. 22(12)解:(1)定义域: (-∞,0)∪(0,+∞)

f ?( x) ? 3 x 2 ?

3 令 f′(x)>0,则 x<-1 或 x>1, x2 ,

∴f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞) 令 f′(x)<0,则-1< x<1, ∴f(x)的减区间为(-1,0),(0,1) (2)令 f ?( x) ? 3 x 2 ?

3 =0,得 x=±1 x2 1 ]时,f(x)为减函数. 2

∵x∈[-2,-1]时,f(x)为增函数;x∈[-1,-

∴x=-1 时,f(x)max=f(-1)=-4 2 ∴由题意得 λ +(k-4) λ -2k>-4 对任意 k∈[-1,1]恒成立 2 2 即 k ∈[-1,1]时(λ -2)k+λ -4λ +4>0 恒成立.令 g(k)=( λ -2)k+λ -4λ +4,
2 ?(?1)(? ? 2) ? ? ? 4? ? 4 ? 0 g (?1) ? 0 即可, ∴ ? 只需 ? ? ? 2 ? ? g (1) ? 0 ?(? ? 2) ? 1 ? ? ? 4? ? 4 ? 0

解得 λ <1 或 λ >3 即为所求。

7


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