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高二2014-2015学年第二学期期中考试数学试卷(理科)


淮南二十四中2014-2015学年第二学期期中考试数学试卷(理科) 姓名____________得分____________
一、选择题:每题4分,共40分 2?i 1.复数 的共轭复数是 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5

C. ? i

D.i

2.将 2 名教师,4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组 由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A. 1 2 B.10 种 C .9 种 D.8 种 种 3.在 x ?1 ? x ?
6

的展开式中,含 x 项的系数为

3

A. 3 0

B.20

C .15

D.10

4.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率为

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

5. 凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为 A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2

6.曲线 y ? xe x ?1 在点 ?1,1? 处切线的斜率等于

A.2e

B.e

C .2

D.1

7. 甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组中各选 出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A.150 种 8.若 ?1 ? 2 x ? A.2
2015

B.180 种

C.300 种

D.345 种

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? a2015 x 2015 ? x ? R ? ,则
B。0 C。 ? 1

a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2015 的值为 2 2 22015 D。 ?2

9.设曲线 y ? ax ? ln ? x ? 1? 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a ?

A.0

B.1

C .2

D.3
'

10.函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?1? ? 2 ,对任意 x ? R , f 解集为

? x ? ? 2 ,则 f ? x ? ? 2x ? 4 的
D.? ??, ???
7 8 9 10

A. ? ? 1, ?1
题号 答案 1 2

B.? ?1, ???
3 4

C.? ??, ?1?
5 6

-1-

二、填空题:每题4分,共16分 1? i 1? i ? 11.若复数 z ? ,则复数 z= ___ __ 1? i 1? i
12. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不同颜色可供选择,则共 有_______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).

a ? ? 13.设二项式 ? x ? ? ? a ? 0? 的展开式中的系数为 A ,常数项为 B , x? ?
若 B ? 4 A ,则 a 的值是

6

8题

14. 已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 ? a ? R ? ,若函数 f ? x ? 为 R 上的单调递增函数,则 a 的取值范 围是

三、解答题
15.(本题满分 11 分)已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内表示的点为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数?(2)点 A 位于第三象限?

16.(本题满分 11 分)已知在二项式 ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列, 4 2 x?

n

(1)求展开式中的有理项; (即次数为整数的项) (2)求二项式系数最大的项。

-2-

1 17.(本题满分 10 分)用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2= n(4n2-1). 3

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? kx ,其中 k ? R
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
2 (3)求证:当 k ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 3kx ? 1 。

-3-

参考答案
二、11. -1

一.1-5 CACBC 13.2; ;

6-10 CDCDB 14 ?0, ? 2

12 . 18

? e? ? ?

三、15. 解: (1)当 m ? 9m ? 18 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; …………………………3 分
2

当 m ? 8m ? 15 ? 0 , m ? 9m ? 18 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.…………………………6 分
2 2

(2)当 ?

? m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ?m ? 9m ? 18 ? 0
2

即?

?3 ? m ? 5 即 3<m<5 时,对应点在第三象限. ……………12 分 ?3 ? m ? 6

16.解:由 2 ?

n 1 ? 1 ? n ? n ? 1? 解得 n ? 8 或 n ? 1 (不合题意,舍去) n ? 8 2 8
3 4? k 4

k ?k (1) Tr ?1 ? C8 2 x

,由 4 ?
4

3 k ? Z , k ? Z 且 0 ? k ? 8 得 k ? 0, 4,8 4

故有理项有三项,分别是 T1 ? x , T5 ? 18.解:(1) f ? x ? ? e ? ex, f
x '

35 x 1 , T9 ? 8 256 x 2

(2) T5 ?

35 x 8

? x ? ? ex ? e

当 x ? 1 时, f

'

? x? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ? x? ? 0 ;

∴ f ? x ? 的单调减区间为 ? ??,1? , f ? x ? 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,……………4 分 (2)因为 f

? x ? 为偶函数,所以若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立等价于对于

任意 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立.当 x ? 0, 时 f ? x ? ? 1 ? 0 恒成立, x ? 0, 时用分离参数 法易求 k ? ? 0, e ? ;…………………………8 分
x 2 (3) f ? x ? ? e ? kx , f ? x ? ? x ? 3kx ? 1 即 e ? kx ? x ? 3kx ? 1 等价于
x 2

e x ? x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 .令 g ? x ? ? ex ? x2 ? 2kx ?1, g ' ? x ? ? ex ? 2x ? 2k
令 h ? x ? ? e ? 2x ? 2k , h ? x ? ? e ? 2 ,当 x ? ? 0,ln 2? 时, h ? x ? ? 0
x ' x '

当 x ? ? ln 2, ??? 时, h ? x ? ? 0 所以 h ? x ? ? h ? ln 2? ? 2 ?1 ? ln 2 ? k ?
' ' 因为 k ? ln 2 ? 1,所以 h ? x ? ? 0 ,即 g ? x ? ? 0 ∴ g ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增,

∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,故命题成立. …………………………12 分
-4-


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