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湖南省娄底市名校联考2015届高三上学期9月联考数学试卷(理科)


湖南省娄底市名校联考 2015 届高三上学期 9 月联考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1. (5 分)若集合 A={x|y=2 },集合 ,则 A∩B=() A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. C. (﹣1,0)∪(0, 1] D. (﹣1,0)∪(0,1) 3. (5 分)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. (5 分)已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. ) ,角 α 的最小正值为() D.
x

5. (5 分)函数 y=1﹣2sin (x﹣ A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

2

)是() B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

6. (5 分)已知函数 f(x)=sinπx 的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数 解析式为()

A.

B.y=f(2x﹣1)

C.

D.

7. (5 分)函数 f(x)= A.在(﹣ B. 在(﹣ , )上递增

()

,0)上递增,在(0,

)上递减

C. 在(﹣ D.在(﹣



)上递减 ,0)上递增

,0)上递减,在(

8. (5 分)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 则 A. ? 的最大值为() B.
2 2

=x



=y

,x>0,y>0,且 x+y=1,

C.

D.

9. (5 分)如图,过原点的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,将 x 轴 下方的图形沿 x 轴折起,使之与 x 轴上方的图形成直二面角,设点 P 的横坐标为 x,线段 PQ 的长度记为 f(x) ,则函数 y=f(x)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=|loga|x﹣1||(a>0,a≠1) ,若 x1<x2<x3<x4,且 f(x1)=f(x2) =f(x3)=f(x4) ,则 A.2 B. 4 =() C. 8 D.随 a 值变化

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)下列结论: 2 ①若命题 p:?x∈R,tanx=1;命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0.则命题“p∧¬q”是假命题. ②已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0.则 l1⊥l2 的充要条件为 ③命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”; 其中正确结论的序号为.
2 2



12. (5 分)已知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范 围是.

13. (5 分)已知| |=2, 为单位向量,当 , 的夹角为
x

时, + 在 ﹣ 上的投影为.

14. (5 分)已知函数 f(x)=log3(a﹣3 )+x﹣2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范 围是. 15. (5 分) 对于定义在 D 上的函数 f (x) , 若存在距离为 d 的两条直线 y=kx+m1 和 y=kx+m2, 使得对任意 x∈D 都有 kx+m1≤f(x)≤kx+m2 恒成立,则称函数 f(x) (x∈D)有一个宽度为 d 的通道.给出下列函数: ①f(x)= ; ②f(x)=sinx; ③f(x)= ④f(x)= 其中在区间 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 16. (12 分) 已知 命题 P: 函数 f (x) 为 ( 0, +∞) 上单调减函数, 实数 m 满足不等式 f (m+1) <f(3﹣2m) .命题 Q:当 x∈,函数 m=sin x﹣2sinx+1+a.若命题 P 是命题 Q 的充分不必 要条件,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x(sinx+ cosx) (1)求 f(x)的值域和最小正周期; (2)若对任意 x∈,使得 m+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)如图,过点(0,a )的两直线与抛物线 y=﹣ax 相切于 A、B 两点,AD、BC 垂直于直线 y=﹣8,垂足分别为 D、C. (1)若 a=1,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a∈(0,2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值.
3 2 2



19. (13 分)已知函数 f(x)满足
2

,其中 a>0 且 a≠1.

(1)对于函数 f(x) ,当 x∈(﹣1,1)时,f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,求实数 m 的取值 集合; (2)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)+3>0 恒成立,求 a 的取值范围. 20. (13 分)已知矩形纸片 ABCD 中,AB=6cm,AD=12cm,将矩形纸片的右下角折起,使 该角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上,且折痕 MN 的两端点 M、N 分别位于边 AB、BC 上, 设∠MNB=θ,MN=l. (1)试将 l 表示成 θ 的函数; (2)求 l 的最小值.

21. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (1)当 a=﹣4 时,求函数 f(x)在上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x∈时,讨论方程 f(x)=0 根的个数. (3)若 a>0,且对任意的 x1,x2∈,都有 a 的取值范围. ,求实数

2

湖南省娄底市名校联考 2015 届高三上学期 9 月联考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1. (5 分)若集合 A={x|y=2 },集合 ,则 A∩B=() A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. C. (﹣1,0)∪(0, 1] D. (﹣1,0)∪(0,1) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.
x

分析: 根据函数的解析式得,对数的真数大于 0,分母不等于 0,二次根式的被开方数大 于或等于 0,列出不等式组,求解集即可. 解答: 解:∵函数 y= + ,





解得﹣1<x<0,或 0<x<1; ∴函数 y 的定义域是(﹣1,0)∪(0,1) . 故选:D. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题, 列出函数解析式有意义时满足的不等式组, 是求 定义域的关键. 3. (5 分)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:若 a>b, ①a>b≥0,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>b?b,此时成立. 2 2 ②0>a>b,不等式 a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即 a <b ,此时成立. 2 2 ③a≥0>b,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>﹣b?b,即 a >﹣b ,此时成立,即充分性成立. 若 a|a|>b|b|, ①当 a>0,b>0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)>0,因为 a+b>0,所以 a﹣b >0,即 a>b. ②当 a>0,b<0 时,a>b. ③当 a<0,b<0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)<0,因为 a+b<0,所以 a﹣b >0,即 a>b.即必要性成立, 综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解 决本题的关键.

4. (5 分)已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C.

) ,角 α 的最小正值为() D.

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题.

分析: 将点的坐标化简, 据点的坐标的符号判断出点所在的象限, 利用三角函数的定义求 出角 α 的正弦,求出角 α 的最小正值 解答: 解: ∴角 α 的终边在 第四象限 ∵ ∴ ∴α 的最小正值为 故选 D 点评: 已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值,应该利用三角函数的定义来解 决.
2

=

到原点的距离为 1

5. (5 分)函数 y=1﹣2sin (x﹣ A.最小正周期为 π 的 奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

)是() B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角公式化简函数的解析式为 y=﹣sin2x,从而得出结论. 解答: 解: =cos(2x﹣ )=cos( ﹣2x)=﹣sin2x,

故函数 y 是最小正周期为 π 的奇函数, 故选:A. 点评: 本题主要考查二倍角公式的应用,正弦函数的周期性和奇偶性,属于中档题. 6. (5 分)已知函数 f(x)=sinπx 的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数 解析式为()

A.

B.y=f(2x﹣1)

C.

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 作图题. 分析: 先由图象的周期进行排除不符合的选项, 再结合函数的图象所过的特殊点进行排除 错误的选项,从而找出正确的选项即可.

解答: 解:由已知图象可知,右图的周期是左图函数周期的 ,从而可排除选项 C,D 对于选项 A: ,当 x=0 时函数值为﹣1,从

而排除选项 A 故选:B 点评: 本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用, 考查了识别图象的能力, 还要注意 排除法在解得选择题中的应用.

7. (5 分)函数 f(x)= A.在(﹣ B. 在(﹣ C. 在(﹣ D.在(﹣ , )上递增

()

,0)上递增,在(0, , )上递减

)上递减

,0)上递减,在(

,0)上递增

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式,可得函数为偶函数,当 0<x< 时,函数 f(x)=tanx,是增函数,故函数在(﹣ ,0)上递减,从而得出结论.

解答: 解:∵函数 f(x)= 由于当 0<x<

=

,f(﹣x)=f(x) ,故此函数为偶函数. ,0)上递减,

时,函数 f(x)=tanx 单调递增,故函数在(﹣

故选 D. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 函数的奇偶性的性质, 正切函数的单调性, 属于中档题.

8. (5 分)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 则 A. ? 的最大值为() B.

=x



=y

,x>0,y>0,且 x+y=1,

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算 . 专题: 综合题;压轴题.

分析: 根据

,可得 = =﹣1+ , 利用 x

>0,y>0,且 x+y=1,可求 解答: 解:由题意, ∵ ∴ ∵x>0,y>0,且 x+y=1 ∴xy≤ ∴﹣1+ =﹣1+ ≤

的最大值.

=

=﹣1+

当且仅当 x=y= 时,取等号 ∴当 x=y= 时, 的最大值为

故选 B 点评: 本题考查向量知识的运用,考查向量的加法,考查向量的数量积,考查基本不等式 的运用,综合性强. 9. (5 分)如图,过原点的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,将 x 轴 下方的图形沿 x 轴折起,使之与 x 轴上方的图形成直二面角,设点 P 的横坐标为 x,线段 PQ 的长度记为 f(x) ,则函数 y=f(x)的图象大致是()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 先建立函数关系式,再选择图象. 解答: 解:设 P(x,y) ,Q(﹣x,﹣y) ,分别过点 P、Q 作 X 轴的垂线,垂足分别为 A (x,0) ,B(﹣x,0) , 折成直二面角后, (0

<x<1) ,其图象是双曲线的一部分. 故选:B. 点评: 本题考查建立函数关系式与识图能力,属中档题,一般先尝试建立函数关系式,这 也是关键所在,再选择正确图象. 10. (5 分)已知函数 f(x)=|loga|x﹣1||(a>0,a≠1) ,若 x1<x2<x3<x4,且 f(x1)=f(x2) =f(x3)=f(x4) ,则 A.2 B. 4 =() C. 8 D.随 a 值变化

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,g(x)的图象关于直线 x=1 对称,由已知条件推导出 x1+x4=2, x2+x3+=2.再由 logax1=﹣logax2,logax3=﹣logax4,从而求得 解答: 解:设 g(x)=|loga|x||,则 g(x)为偶函数, 图象关于 y 轴对称, 而函数 f(x)=|loga|x﹣1||是把 g(x)的图象向右平移 一个单位得到的, 故 g(x)的图象关于直线 x=1 对称. ∵x1<x2<x3<x4, 且 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4) , ∴x1+x4=2,x2+x3=2. 再由函数 f(x)的图象特征可得,logax1=﹣logax2, logax3=﹣logax4, ∴(x1﹣1) (x2﹣ 1)=1,得 x1x2=x1+x2, 得 ∴ 故选:A. + =1,同理可得 =2. =1, 的值.

点评: 本题考查函数零点和方程根的关系, 根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的 关键,属中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tanx=1;命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0.则命题“p∧¬q”是假命题. ②已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0.则 l1⊥l2 的充要条件为 ③命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”; 其中正确结论的序号为①③. 考点: 复合命题的真假;四种命题. 专题: 证明题;探究型. 分析: ①若命题 p:存在 x∈R,使得 tanx=1;命题 q:对任意 x∈R,x ﹣x+1>0,则命题 ? “p 且 q”为假命题,可先判断两个命题的真假再由且命题的判断方法判断其正误. ②已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0.则 l1⊥l2 的充要条件为 ,由两直线垂
2 2 2 2



直的条件进行判断. 2 2 ③命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”,由四种命题的定 义进行判断; 2 解答: 解:①若命题 p:存在 x∈R,使得 tanx=1;命题 q:对任意 x∈R,x ﹣x+1>0,则 ? 命题“p 且 q”为假命题,此结论正确,对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题,故可 ? 得“p 且 q”为假命题. ②已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0.则 l1⊥l2 的充要条件为 直时,两直线斜率存在时,斜率乘积为 足 ,故本命题不对.
2 2

,若两直线垂

,当 a=0,b=0 时,此时两直线垂直,但不满

③命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”,由四种命题的书 写规则知,此命题正确; 故答案为①③

点评: 本题考查复合命题的真假以及四种命题, 正确求解本题的关键是对命题涉及到的相 关知识有着比较熟练的掌握,这样才能准确快速的做出判断. 12. (5 分)已 知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范 围是﹣7<a<24. 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 点(﹣3,﹣1)和点(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,那么把这两个点代入 3x ﹣2y﹣a,它们的符号相反,乘积小于 0,求出 m 的值. 解答: 解:因为点(﹣3,﹣1)和点(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧, 所以, (﹣3×3+2×1﹣a)<0, 即: (a+7) (a﹣24)<0,解得﹣7<a<24 故答案为:﹣7<a<24. 点评: 本题考查二元一次不等式组与平面区域问题,点与直线的位置关系,是基础题.

13. (5 分) 已知| |=2, 为单位向量, 当 , 的夹角为

时, + 在 ﹣ 上的投影为



考点: 平面向量数量积的运算;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算、投影的意义即可得出. 解答: 解: + 在 ﹣ 上的投影为: = = =

=



故答案为:



点评: 本题考查了数量积运算、投影的意义,属于基础题. 14. (5 分)已知函数 f(x)=log3(a﹣3 )+x﹣2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范 围是 ④f(x)= 其中在区间, 满足 0≤f(x)≤1, ∴该函数在区间, 满足﹣1≤f(x)≤1, ∴该函数在区间,
x

满足 0≤f(x)≤

1,
2

∴该函数在区间,函数 m=sin x﹣2sinx+1+a.若命题 P 是命题 Q 的充分不必要条件,求实 数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: 先根据已知条件求出命题 P,Q 下的 m 的取值范围: m ,根据命题 P 是 Q 的充分不必要条件得到 ,从而求得 a 的取值范围.

解答: 解: 命题 P: 根据已知条件得:

, 解得

, 即m



命题 Q:x

,∴sinx∈,m=sin x﹣2sinx+1+a=(sinx﹣1) +a;

2

2

∴当 sinx=1 时,m 取最小值 a,当 sinx=0 时,m 取最大值 1+a,所以 m∈; ∵命题 P 是 Q 的充分不必要条件,所以 ;



,解得







点评: 考查根据函数的单调性解不等式,配方法求二次函数的值域,子集的概念. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+ cosx) (1)求 f(x)的值域和最小正周期; (2)若对任意 x∈,使得 m+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简可得 f(x)=2sin(2x+ (2)由 x∈可得 sin(2x+ )+ ,易得值域和最小正周期; =2sin(2x+ )∈,由题意可得 m

)∈,进而可得 f(x)﹣

的不等式组,解之可得. 解答: 解: (1)化简可得 f(x)=2cosx(sinx+ 2 =2sinxcosx+2 cos x=sin2x+ cos2x+ =2sin(2x+ )+

cosx)

∵﹣1≤sin(2x+

)≤1. =π.

∴f(x)的值域为,最小正周期为 T= (2)当 x∈时,2x+ ∴sin(2x+ ∴f(x)﹣ )∈ =2sin(2x+ )∈. ∈,

由 m+2=0 知 m≠0,∴f(x)﹣ 解得﹣

=﹣ ,即

≤﹣ ≤2,

≤m≤﹣1.即实数 m 的取值范围是

点评: 本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和值域,属基础题. 18. (12 分)如图,过点(0,a )的两直线与抛物线 y=﹣ax 相切于 A、B 两点,AD、BC 垂直于直线 y=﹣8,垂足分别为 D、C. (1)若 a=1,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a∈(0,2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值.
3 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)设出直线与曲线的切点,求出导数后写出切线方程的点斜式,把已知点(0, 3 a )代入切线方程,求出两个切点的横坐标,从而得到矩形 ABCD 的长和宽,则面积即可 用含 a 的代数式表示,把 a=1 代入后可求矩形面积; (2)对(1)中求出的面积表达式求导,利用导数判出函数在(0,2)上的单调性,求出函 数在(0,2)上的极值,则最值可求. 解答: 解: (1)设切点为(x0,y0) ,则 , , ,即 . ,于是 x0=±a.

因为 y'=﹣ 2ax, 所以切线方程为 y﹣y0=﹣2ax0 (x﹣x0) , 即 因为切线过点(0,a ) ,所以 将 x0=±a 代入 得
3

所以 AB=2a,BC=8﹣a ,所以矩形 ABCD 面积为 S=16a﹣2a , 4 当 a=1 时,矩形 ABCD 的面积 S=16×1﹣2×1 =14; 4 (2)由(1)得:矩形 ABCD 面积为 S=16a﹣2a (0<a<2) , 3 3 则 S'=16﹣8a =8(2﹣a ) . 所以当 故当 时,S'>0;当 时,S 有最大值为 S= 时,S'<0; = .

3

4

点评: 本题考查利用导数求曲线上过某点的切线方程, 会利用导数研究函数的单调区间以 及根据函数的增减性得到函数的极值,是中档题.

19. (13 分)已知函数 f(x)满足
2

,其中 a>0 且 a≠1.

(1)对于函数 f(x) ,当 x∈(﹣1,1)时,f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,求实数 m 的取值 集合; (2)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)+3>0 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知中函数 f(x)满足 ,我们可以利

用换元法求出函数的解析式,进而判断出函数的奇偶性,和单调性,根据函数的性质我们可 以将不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0 化成一个关于 m 的不等式组,解不等式组即可得到 答案. (2)若当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)+3>0 恒成立,故我们可将 f(x)+3>0 恒成立,转化 为一个关于 a 的不等式恒成立问题,解答后,即可求出 a 的取值范围. t 解答: 解: (1)令 logax=t,则 x=a , ∴ …(2 分)
2





即 y=f(x)为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣…(2 分) ∵ a>1 时

∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数 0<a<1 时 ∴ ∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数 综上 f(x)为定义域上减函数…(2 分) ∵f(1﹣m)+f(1﹣m )<0∴f(1﹣m)<﹣f(1﹣m )∴奇函数∴f(1﹣m)<f(m ﹣1)
2 2 2

∵减函数∴

…(2 分)

(2)∵y=f(x)为减函数∴

…(2 分)

若 f(x)+3>0 恒成立,即 f(2)+3>0

…(1 分)



…(1 分)

点评: 本题考查的知识点是指数函数综合应用,函数的单调性、奇偶性的综合应用,其中 熟练掌握函数的性质,将题目中的不等式转化为熟知的不等式式并进行解答是本题的关键. 20. (13 分)已知矩形纸片 ABCD 中,AB=6cm,AD=12cm,将矩形纸片的右下角折起,使 该角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上,且折痕 MN 的两端点 M、N 分别位于边 AB、BC 上, 设∠MNB=θ,MN=l. (1)试将 l 表示成 θ 的函数; (2)求 l 的最小值.

考点: 函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上,则 △ MNE≌△MNB,EM+BM,由∠MNB=θ,MN=l.由 AB=6cm,我们可得 EM+AM=6,然 后将 EM 与 BM 分别用含 θ 的式子表示,代入即可得到 l 表示成 θ 的函数的解析式. (2)根据(1)的结论,分析 θ 角的取值范围,利用导数法求出函数的单调性,进而求出 l 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题设,如图所示,△ NBM≌△NEM,∠MNB=θ,MN=l,

∴∠AEM=90°﹣2θ,则 MB=lsinθ,AM=l?sinθsin(90°﹣2θ) , 由题设得:AM+MB=lsinθ+l?sinθsin(90°﹣2θ)=6, 从而得 即: , ,



得:



故:l 表示成 θ 的函数为:
2 3

, (
3

) .

(Ⅱ)设:sinθ=t 则 u=t(1﹣t )=t﹣t ,即 u=t﹣t , ,u′=1﹣3t 令 u′=0,得 u′>0,当 u 取到最大值: ∴l 的最小值为 . 时,u′<0,所以当 ,
2

当 时,

时,

点评: 在求实际问题对应的函数的解析式, 我们一定要进一步分析自变量的取值范围, 这 不仅是为了让函数的解析式更准确, 而且为利用函数的解析式求函数的值域, 最值、 单调性、 奇偶性等打好基础. 21. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (1)当 a=﹣4 时,求函数 f(x)在上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x∈时,讨论方程 f(x)=0 根的个数. (3)若 a>0,且对任意的 x1,x2∈,都有 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;根的存在性及根的个数判断;不等式的证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 a=﹣4 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的零点把给出的定 义分段,判出在各段内的单调性,从而求出函数在上的最大值及相应的 x 值; 2 (2)把原函数 f(x)=alnx+x 求导,分 a≥0 和 a<0 讨论打哦函数的单调性,特别是当 a< 0 时,求出函数 f(x)在上的最小值及端点处的函数值,然后根据最小值和 F(e)的值的 符号讨论在 x∈时,方程 f(x)=0 根的个数; ,求实数
2

(3)a>0 判出函数 f(x)=alnx+x 在上为增函数,在规定 x1<x 2 后把 转化为 f(x2)+ <f(x1)+ ,构造辅助函数 G

2

(x)=f(x)+ ,由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于 0 恒成立,分离 a 后利用函 数单调性求 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣4 时,f(x)=﹣4lnx+x ,函数的定义域为(0,+∞) . . 当 x∈ 时,f′(x)0, 所以函数 f(x)在 上为减函数,在 上为增函数, 2 2 2 由 f(1)=﹣4ln1+1 =1,f(e)=﹣4lne+e =e ﹣4, 2 所以函数 f(x)在上的最大值为 e ﹣4,相应的 x 值为 e; (2)由 f(x)=alnx+x ,得
2 2 2



若 a≥0,则在上 f′(x)>0,函数 f(x)=alnx+x 在上为增函数, 由 f(1)=1>0 知,方程 f(x)=0 的根的个数是 0; 若 a<0,由 f′(x)=0,得 x= 若 (舍) ,或 x=
2



,即﹣2≤a<0,f(x)=alnx+x 在上为增函数,

由 f(1)=1>0 知,方程 f(x)=0 的根的个数是 0; 若 ,即 a≤﹣2e ,f(x)=alnx+x 在上为减函数,
2 2 2 2 2

由 f(1)=1,f(e)=alne+e =e +a≤﹣e <0, 所以方程 f(x)=0 在上有 1 个实数根; 若 f(x)在 ,即﹣2e <a<﹣2, 上为减函数,在
2 2

上为增函数,

由 f(1)=1>0,f(e)=e +a. = 当 ,即﹣2e<a<﹣2 时, . ,方程 f(x)=0 在上的根的个数是 0.

当 a=﹣2e 时,方程 f(x)=0 在上的根的个数是 1. 当﹣e ≤a<﹣2e 时, 当﹣2e <a<﹣e 时,
2 2 2

,f(e)=a+e ≥0,方程 f(x)=0 在上的根的个数是 2. ,f(e)=a+e <0,方程 f(x)=0 在上的根的个数
2

2

是 1; 2 (3)若 a>0,由(2)知函数 f(x)=alnx+x 在上为增函数,

不妨设 x1<x 2,则

变为 f(x2)+

<f(x1)+



由此说明函数 G(x)=f(x)+ 在单调递减,所以 G′(x)= 即a 而 对 x∈恒成立, 在单调递减,所以 a .

≤0 对 x∈恒成立,

所以,满足 a>0,且对任意的 x1,x2∈,都有

成立

的实数 a 的取值范围不存在. 点评: 本题考查了利用导数求闭区间上的最值, 考查了根的存在性及根的个数的判断, 考 查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法, 训练了构造函数求变量的取值范围, 此 题是有一定难度题目.


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