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黄冈中学2007年秋季高一数学期中考试试题


湖北省黄冈中学 2007 年秋季高一数学期中考试试题
命题:霍祝华 审校:王宪生

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设 P={x|x2-5x+6=0},S={x|x2-x-2=0},则 card(P∪S)=( A.1 B.2 ) C. ?3
? 1 2

) D.4

C.3

2. 下列式子的运算结果不是负数的是(

A. log2

3 5

B. log 1
3

5 4


D. (?2)?2

3. 若函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1,7),且 f 1(4)=0,则 f(x)的表达式是( A.f(x)=3x+4
? 2? x ? f ( x) ? ? 4. 设函数 ?log 81 x ?



B.f(x)=4x+3
x ? (??, 2] x ? (2, ??)

C.f(x)=2x+5 则满足 f ( x) ?

D.f(x)=5x+2

1 的 x 值为( 4



A.2 5. 函数 y ?

B.3
e x ? e? x 的反函数是( 2

C.2 或 3 )

D.-2

A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数

B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数

6. 设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下列各图中,能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是 ( )

1

1 1 7.为了得到函数 y ? 3 ? ( ) x 的图象,可以把函数 y ? ( ) x 的图象( 3 3
A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 8.0.4
-2.5



B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 )
8 1 B. (?2) 5 ? 0.4?2.5 ? ( )0.2 2 8 1 D. ( )0.2 ? 0.4?2.5 ? (?2) 5 2

1 , ( )0.2 , (?2) 5 的大小关系为( 2

8

8 1 A. ( )0.2 ? (?2) 5 ? 0.4?2.5 2 8 1 C. 0.4?2.5 ? ( )0.2 ? (?2) 5 2

9.在 f(m,n)中,m、n、f(m,n)∈N*,且对任何 m,n 都有:(i)f(1,1)=1;(ii)f(m,n+1)=f(m, n)+2;(iii)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数为 ( A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 )

10.给出结论:①命题“(x-1)(y-2)=0,则(x-1)2+(y-3)2=0”的逆命题为真;②命题“若 x>0,y>0,则 xy>0”的否命题为假;③命题“若 a<0,则 x2-2x+a=0 有实根”的逆否命 题为真;④“ x ? 3 ? 3 ? x ”是“x=3 或 x=2”的充分不必要条件. 其中结论正确的个数为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.函数 y ? 3x ?1 的值域为_____________. 12.已知全集为实数集 R,不等式|x-1|-|2x+1|<-3 的解集为 P,则 ?R P =_________. 13.已知 f(x)是 R 上不恒为零的函数,且对任意的 a,b∈R,都满足 f(ab)=af(b)+bf(a),则 f(-1)的值是___________. 14. 已知 f ( x) ? log 1 x ? 3 的反函数为 f 1(x), 则使 f 1(x)<x-2 成立的 x 的取值范围是_________.
- -

1

2

15.已知函数 f(x)在定义域内是递减函数,且 f(x)<0 恒成立,给出下列函数:①y=-5+f(x); ② y ? ? f ( x ) ;③ y ? 5 ?
1 ;④y=[f(x)]2;其中在其定义域内单调递增的函数的序号 f ( x)

2

是______________. 班级_____________ 姓名_____________ 答题卡 题号 答案 题号 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)计算 2(lg 2)2 ? lg 2 ? lg5 ? 1 ? lg2 ? (lg 2)2 ;
1 2 ? 1 2

座号_____________

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

(2)已知 a ? a

a2 ? a 2 ? 2 的值. ? 3 ,求 2 a ? a ?2 ? 3

3

?

3

17.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (1)若 a=4 时,求集合 M.

ax ? 5 ? 0 的解集为 M. x2 ? a

(2)若 3∈M 且 5 ?M,求实数 a 的取值范围.

3

18.(本小题满分 12 分)某城市 2006 年底人口总数为 100 万人,如果人口年自然增长率为 1%, 试解答下面的问题: (1)写出 x 年后该城市人口数 y(万人)与 x 的函数关系式; (2)计算 2008 年底该城市人口总数.

19.(本小题满分 12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,设 F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性 定义证明 F(x)是 R 上的增函数.

4

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? log 2 x ,g(x)=x,q(x)=2x. (1)设 m(x)=q(x)-g(x),n(x)=g(x)-f(x),当 x>1 时,试比较 m(x)与 n(x)的大小(只需要写出 结果,不必证明); (2)设 P 是函数 g(x)图象在第一象限上的一个动点, 过点 P 分别作平行于 x 轴、y 轴的直线 与函数 q(x)和 f(x)的图象分别交于 A 点、B 点,求证:|PA|=|PB|; (3)设函数 F(x)=f(|x-1|)+f(|x+2|),求函数 F(x)在区间[-1,0]上的最大值和最小值.

5

21.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=ax+3a(a>0,且 a≠1)的反函数为 y=f 1(x),函数 y=g(x)的 图象与函数 y=f 1(x)的图象关于点(a,0)对称. (1)求函数 y=g(x)的解析式; (2)是否存在实数 a,使得当 x∈[a+2,a+3]时,不等式|f 1(x)-g(-x)|≤1 恒成立?若存 在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
- -



6

湖北省黄冈中学 2007 年秋季高一数学期中考试试题参考答案
题号 答案 题号 答案 1.C 2.D 3.B 1 C 11 (0,1)∪(1,+∞) 2 D 3 B 12 [-5,1] 4 C 5 C 13 0 6 D 7 D 14 (3,+∞) 8 A 9 A 15 ②④ 10 A

解析:P={2,3},S={-1,2},∴P∪S={-1,2,3},card(P∪S)=3 解析: log2
5 3 ? log2 1 ? 0 , log 1 ? log 1 1 ? 0 5 3 4 3

?3


?

1 2

?0

(? 2 2) ? 4? ,故选 D 0

解析:f(x)=ax+b 过点(1,7) ,∴a1+b=7 又 f 1(4)=0,∴f(0)=4,∴a0+b=4




由①②得:a=4,b=3,故选 B.

4.C 5.C

解析:x=2 时,f(x)=2 2=



1 4

x=3 时, f ( x) ? log81 3 ?

1 ,故选 C. 4

1 解析:分析知 y ? (e x ? e? x ) 在 R 内为奇函数,且在(0,+∞)上↑,故其反函数为奇 2 函数,在(0,+∞)上↑
解析:由定义知:A 中的每一个元素在 B 中都可找到唯一的象与之对应,故选 D.

6.D 7.D 8.A 9.A

1 解析:∵ y ? 3 ? ( ) x ? 3?( x ?1) 3
8 1 解析:∵ ( )0.2 ? 1 ? (?2) 5 2

1 x y ? ( ) ? ?x 3 3
8 8 1 . . (? 2 5 ? 12 6 ? 2 .25 5∴ ( )0.2 ? (?2) 5 ? 0.4?2.5 ) 2

解析:f(1,5)=f(1,4+1)=f(1,4)+2=??=f(1,1)+2×4=9. ∴(1)对, f(5,1)=f(4+1,1)=2f(4,1)=24·f(1,1)=16,(2)对. f(5,6)=f(5,5+1)=f(5,5)+2=f(5,1)+10=16+10=26 (3)对,故选 A.

10.A

1 11.(0,1)∪(1,+∞) 解析:∵ ?0 x ?1 12.[-5,1] 解析:|x-1|-|2x+1|<-3 1 当x?? 时 2
1-x+2x+1<-3 ? x<-5

∴y>0 且 y≠1.

∴x<-5

1 当 ? ≤ x ≤1 时 1-x-(2x+1)<-3 ? x>1 无解 2 当 x>1 时 x-1-(2x+1)<-3 ? x>1 ∴x>1
综上 x<-5 或 x>1 13.0 ∴ ?R P ? [?5, 1] f(1)=2f(1) ? f(1)=0 f(1)=-2f(-1) ? f(-1)=0

?

1 2

1

解析:当 a=b=1 时 当 a=b=-1 时

∴f(-1)=0

7

14.(3,+∞)

1 解析: f ( x) ? log 1 x ? 3 的反函数为 f ?1 ( x) ? ( ) x ?3 2 2 1 解方程 ( ) x ?3 ? x ? 2 由图象可知 x=3 2
②中∵f(x)↓
1 1 ↑? ↓ f ( x) f ( x)

(x∈R)

1 ∴ ( ) x ?3 ? x ? 2 2
15.②④

∴x∈(3,+∞)

解析:①↓ ③f(x)↓ ?

∴-f(x)↑ ∴ y ?5?

故 y ? ? f ( x) ↑
1 ↓ f ( x)

④看成复合函数 ∴y=[f(x)]2 ↑

y=t2 和 t=f(x) 故填②④

在 t∈(-∞,0)上 y=t2↓

t=f(x)↓

16.解:(1)原式= 2(lg 2)2 ? lg 2 ? lg5 ? 1 ? lg 2

?l g 2 ( l g 2 ?
(2)由 a 2 ? a
3 ? 3

lg 5) 1 ? ?
1 ? 1

l? 2 g

?g ? 2 l

1 ?l g 2

1

1

?

1 2

? 3 ,知 a ? a?1 ? (a 2 ? a 2 )2 ? 2 ? 7
1 ? 1

a2 ? a?2 ? (a ? a?1 ) ? 2 ? 47

a 2 ? a 2 ? 2 (a 2 ? a 2 )(a ? a ?1 ? 1) ? 2 3 ? (7 ? 1) ? 2 2 ? ? ? 故 2 a ? a ?2 ? 3 a 2 ? a ?2 ? 3 47 ? 3 5

17.解:(1)当 a=4 时,原不等式等价于 -2,或

4x ? 5 5 ? 0 ,解得 x<-2 或 ? x ? 2 ,即集合 M={x|x< 2 x ?4 4

5 ? x ? 2 }. 4 3a ? 5 5 5a ? 5 ? 0 ,解得 a>9 或 a ? . 由 5 ?M,得 ≥ 0 或 25-a=0,解得 9?a 3 25 ? a 5 或 9<a≤25. 3

(2)由 3∈M,得

1≤a≤25. 综上所述,所求 a 的取值范围为 1≤ a ? 18.(1)x 年后该城市人口总数为:y=100×(1+1%)x.

(2)2008 年底该城市人口总数为:y=100×(1+1%)2=100×1.012=102.01(万人) 19.解:任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]=[f(x1)- f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 由 x1<x2, a-x2<a-x1. 由 f(x)是 R 上的增函数, f(x1)<f(x2), 得 得 f(a-x2)<f(a-x1). ∴F(x1)-F(x2)<0,即 F(x1)<F(x2). 故 F(x)是 R 上的增函数. 20.解:(1)大小关系:m(x)>n(x). (2)设 P(x,y),其中 x>0. 由 P 在直线 g(x)=x 上,∴设 P(t,t),由 t=2 ,得 x ? log 2 t , ∴A(log2t,t). 由 log2t=y,得 B(t,log2t). ∵|PA|=|t-log2t|,|PB|=|t-log2t|,∴|PA|=|PB|.
x

1 9 (3)F(x)=f(|x-1|)+f(|x+2|)=log2|x-1|+log2|x+2|= log2 | ( x ? )2 ? | , 2 4 1 其中 x≠1,且 x≠-2. ∴当 x ? ? 时,f ( x)max ? 2log 2 3 ? 2 , x=-1 或 0 时, 当 ∴f(x)min=1. 2

8

21.解:(1)由 f(x)=ax+3a,得 f ?1 ( x) ? loga ( x ? 3a) ,x>3a. 又函数 y=g(x)的图象与 y=f 1(x)的


图象关于点(a,0)对称,设 P(x,y)为 y=g(x)图象上任一点,则点 P 关于点(a,0)的对称点 (2a-x,-y)在 y=f 1(x)的图象上,∴-y=loga(2a-x-3a) loga(-x-a),x<-a. (2)假设存在实数 a,使得当 x∈[a+2,a+3]时,不等式|f 1(x)-g(-x)|≤1 恒成立,则有 |loga(x-3a)+loga(x-a)|≤1,x>3a,即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1. 由 3a<a+2 及 a>0,
? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? a ≥ 0 1 ? 得 0<a<1. ∴a≤x -4ax+3a ≤ ,即 ? 2 1 2 a ? x ? 4ax ? 3a ? ≤ 0 a ?
2 2
- -

则有:g(x)=-f 1(2a-x)=-



① ②

解不等式①,得 x ≤ 2a ? a2 ? a 或 x ≥ 2a ? a2 ? a . 由题设知[a+2,a+3] ? (??, 2a ? a 2 ? a ) ? [2a ? a 2 ? a , ??] ,

4 ∴ a ? 3 ≤ 2a ? a2 ? a 或 a ? 2 ≥ 2a ? a2 ? a. 结合 0<a<1,解得 0 ? a ≤ . 5
对于不等式②,令 h(x)=x2-4ax+3a2-

1 ,则[a+2,a+3]是不等式 h(x)≤0 的解集的子 a

1 ? 2 ?h(a ? 2) ? ? a (2a ? 1) ≤ 0 9 ? 57 ? 集的充要条件是 ? 结合 0<a<1,解得 0 ? a ≤ 12 ?h(a ? 3) ? ? 1 (6a 2 ? 9a ? 1) ≤ 0 ? a ?

综上所述,存在 0 ? a ≤ 恒成立.

9 ? 57 ,使得当 x∈[a+2,a+3]时,不等式 | f ?1 ( x) ? g (? x) |≤1 12

9


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