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一:集合与简易逻辑十年高考题(含答案)


第一章

集合与简易逻辑

●考点阐释 集合的初步知识与简易逻辑知识,是掌握和使用数学语言的基础. 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言, 并用集合语言表达数学问 题,运用集合观点去研究和解决数学问题. 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科, 是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是 为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能

力. 重点掌握: (1)强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用 几何直观性研究问题, 注意运用文氏图解题方法的训练, 加强两种集合表示方法转换和化简 训练. (2)要正确理解“充分条件” “必要条件” “充要条件”的概念.数学概念的定义具有对 称性, 即数学概念的定义可以看成充要条件, 既是概念的判断依据, 又是概念所具有的性质. ●试题类编 一、选择题 1.(2003 京春理,11)若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 等于( ) A.8 B.2 C.-4 D.-8

?x 2 ? 1 ? 0 2.(2002 京皖春,1)不等式组 ? 的解集是( 2 x ? 3 x ? 0 ?
A.{x|-1<x<1 } C.{x|0<x<1 } B.{x|0<x<3 } D.{x|-1<x<3}



3.(2002 北京,1)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.(2002 全国文 6,理 5)设集合 M={x|x=

k 1 k 1 ? ,k∈Z},N={x|x= ? ,k∈Z}, 2 4 4 2

则( ) A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= ? 5.(2002 河南、广西、广东 7)函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ) 2 2 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a +b =0 6.(2001 上海,3)a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 7.(2000 北京春,2)设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,b,c},N={b,d,e}, 那么
IM∩ IN

是(



A. ? B.{d} C.{a,c} D.{b,e} 8.(2000 全国文,1)设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1} ,B={x|x∈B 且|x|

≤5} ,则 A∪B 中元素的个数是( ) A.11 B.10 C.16 D.15 2 2 9.(2000 上海春,15) “a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为π ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 10.(2000 广东,1)已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( ) A.15 B.16 C.3 D.4 11.(1999 全国,1)如图 1—1,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子 集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩
IS

D.(M∩P)∪
2

IS

图 1—1

12.(1998 上海,15)设全集为 R,A={x|x -5x-6>0} ,B= {x||x-5|<a} (a 为常数) ,且 11∈B,则( ) A. C.
RA∪B=R

B.A∪

RB=R

RA ∪

RB=R

D.A∪B=R

13.(1997 全国,1)设集合 M={x|0≤x<2} ,集合 N={x|x2-2x-3<0} ,集合 M ∩N等于( ) A.{x|0≤x<1 } C.{x|0≤x≤1} B.{x|0≤x<2 } D.{x|0≤x≤2} ,N={1,2,3, 2 ,x∈R}

14.(1997 上海,1)设全集是实数集 R,M={x|x≤1+ 4} ,则
RM∩N

等于(



A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 15.(1996 上海,1)已知集合 M={ (x,y)|x+y=2} ,N={ (x,y)|x-y=4} , 那么集合 M∩N 为( ) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 16.(1996 全国文,1)设全集 I={1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A={1,3,5,7} , B={3,5} ,则( ) A.I=A∪B C.I=A∪
IB

B.I= D.I=

IA∪B

IA∪

IB

17.(1996 全国理,1)已知全集 I=N*,集合 A={x|x=2n,n∈N*} ,B={x|x=4n, n∈N} ,则( ) A.I=A∪B C.I=A∪
IB

B.I= D.I=

IA∪B

IA∪

IB

18.(1996 上海文,6)若 y=f(x)是定义在 R 上的函数,则 y=f(x)为奇函数的一个 充要条件为( ) A.f(x)=0 B.对任意 x∈R,f(x)=0 都成立 C.存在某 x0∈R,使得 f(x0)+f(-x0)=0 D.对任意的 x∈R,f(x)+f(-x)=0 都成立 19.(1995 上海,2)如果 P={x|(x-1) (2x-5)<0 } ,Q={x|0<x<10} ,那 么( ) A.P∩Q= ? B.P Q C.P Q D.P∪Q=R 20.(1995 全国文,1)已知全集 I={0,-1,-2,-3,-4} ,集合 M={0,-1, -2} ,N={0,-3,-4} ,则
IM∩N

等于(



A.{0} B.{-3,-4} C.{-1,-2} D. ? 21.(1995 全国理,1)已知 I 为全集,集合 M、N I,若 M∩N=N,则( A. C.
IM



?

IN

B.M D.M ?

IN

IM

IN

IN

22.(1995 上海,9) “ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的( ) A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 23.(1994 全国,1)设全集 I={0,1,2,3,4} ,集合 A={0,1,2,3} ,集合 B= {2,3,4} ,则
IA∪ IB

等于(



A.{0} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 24. (1994 上海, 15) 设 I 是全集, 集合 P、 Q 满足 P Q, 则下面的结论中错误的是 ( A.P∪ C.P∩
IQ=



? ?

B. D.

IP∪Q=I

IQ=

IP∩

IQ=

IP

二、填空题 25.(2003 上海春,5)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A B,则实数 a 的取值范围是_____. 26.(2002 上海春,3)若全集 I=R,f(x) 、g(x)均为 x 的二次函数,P={x|f(x)<0}, Q={x|g(x)≥0},则不等式组 ?

? f ( x) ? 0 的解集可用 P、Q 表示为_____. g ( x ) ? 0 ?

27.(2001 天津理,15)在空间中 ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中,逆命题为真命题的是_____. 28.(2000 上海春,12)设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P Q I.若含 P、 Q 的一个集合运算表达式,使运算结果为空集 ? ,则这个运算表达式可以是 (只要写出一个表达式). 29.(1999 全国,18)α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外 的两条不同直线,给出四个论断: 图 1—2 ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个 命题: _____. .. 三、解答题

?x 2 ? 6x ? 8 ? 0 ? 30.(2003 上海春,17)解不等式组 ? x ? 3 . ? 2 ? x ?1 ?
31.(2000 上海春,17)已知 R 为全集,A={x|log 1 (3-x)≥-2},B={x|
2

5 ≥1}, x?2



RA∩B.

32.(1999 上海,17)设集合 A={x||x-a|<2},B={x| 取值范围.

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a 的 x?2

答案解析
1.答案:C 解析:∵|ax+2|<6,∴-6<ax+2<6,-8<ax<4 当 a>0 时,有 ?

8 4 ? x ? ,而已知原不等式的解集为(-1,2) ,所以有: a a

?4 ?2 ? ?a .此方程无解(舍去). ? 8 ? ? ? ?1 ? ? a

? 8 ? ?2 ? 8 4 ? a 当 a<0 时,有 ? ? x ? ,所以有 ? a a ? 4 ? ?1 ? ?a
解得 a=-4,当 a=0 时,原不等式的解集为 R,与题设不符(舍去) ,故 a=-4. 评述:本题主要考查绝对值不等式的解法,方程的根与不等式解集的关系,考查了分类 讨论的数学思想方法及逻辑思维能力, 此题也可以利用选项的值代入原不等式, 去寻找满足 题设条件的 a 的值. 2.答案:C 解析:依题意可得 ?

?? 1 ? x ? 1 ,可得 0<x<1. ?0 ? x ? 3

3.答案:C 解析:M={2,3}或 M={1,2,3} 评述:因为 M ? {1,2,3},因此 M 必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素 2,3. 4.答案:B 解析:方法一:可利用特殊值法,令 k=-2,-1,0,1,2 可得

3 1 1 3 5 1 1 3 M ? {? ,? , , , }, N ? {0, , , ,1} 4 4 4 4 4 4 2 4

∴M N 方法二:集合 M 的元素为: x ?

k 1 2k ? 1 ( k ∈ Z) ,集合 N 的元素为: ? ? 2 4 4

x=

k 1 k ?2 ? ? (k∈Z) ,而 2k+1 为奇数,k+2 为整数,因此 M N.∴M N 4 2 4
5.答案:D 解析:若 a2+b2=0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x) ∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件. 又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b=-(x|x+a|+b) ,则 2 2 2 2 必有 a=b=0,即 a +b =0,∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 6.答案:C 解析:当 a=3 时,直线 l1:3x+2y+9=0,直线 l2:3x+2y+4=0 显然 a=3 ? l1∥l2. 7.答案:A 解析:∵
IM={b,e}, IN={a,c},∴ IM∩ IN=

?.

8.答案:C 解析:∵A={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1} B={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} ∴A∪B={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, 5}共有 16 个元素. 9.答案:A 解析:若 a=1,则 y=cos2x-sin2x=cos2x,此时 y 的最小正周期为π ,故 a=1 是充分条件. 而由 y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,此时 y 的周期为

2? =π , | 2a |

∴a=±1,故 a=1 不是必要条件. 评述:本题考查充要条件的基本知识,难点在于周期概念的准确把握. 10.答案:A 解析:根据子集的计算应有 24-1=15(个). 评述:求真子集时千万不要忘记空集 ? 是任何非空集合的真子集.同时,A 不是 A 的真 子集. 11.答案:C 解析:由图知阴影部分表示的集合是 M∩P 的子集且是
IS

的子集,故答案为C.

评述:本题源于课本,属送分题,是前几年高考题的回归. 12.答案:D 解析:由已知 A={x|x>6 或 x<-1},B={x|5-a<x<5+a},而 11∈B, ∴?

?5 ? a ? 11 ? a>6. ?5 ? a ? 11

此时:5-a<-1,5+a>6,∴A∪B=R.

评述:本题考查集合基本知识,一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决 问题的能力. 13.答案:B 解析:方法一:N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3} ,所以 M∩N={x|0≤x <2} ,故选 B. 方法二:由(

3 2 3 ) -2? ( )-3<0,知 1.5∈N,又 1.5∈M,因此 1.5∈M∩N,从 2 2

而排除 A、C;由交集定义与 M 的表达式,可排除 D,得 B. 评述:本题考查对交集的理解和掌握,所设定的集合实质是不等式的解集,兼考处理不 等式解集的基本技能. 14.答案:B 解析: 故
RM={x|x>1+

2 ,x∈R},又 1+ 2 <3.
B.

RM∩N={3,4}.故选

15.答案:D 解析: 方法一:解方程组 ?

? x ? y ? 2, ? x ? 3, 得? 故 M∩N={ (3,-1) } ,所以选 D. x ? y ? 4 , y ? ? 1 . ? ?

方法二:因所求 M∩N 为两个点集的交集,故结果仍为点集,显然只有 D 正确. 评述:要特别理解集合中代表元素的意义,此题迎刃而解. 16.答案:C 解析:方法一:显然 于是 A∪ , IB={1,2,4,6,7}

IB=I,故选C.

方法二:利用文氏图 1—3 知 I=A∪ 17.答案:C

IB,应选C.

解析: 方法一: IA 中元素是非 2 的倍数的自然数, IB 中元素是非 4 的倍数的自然数, 显然,只有C选项正确. 方法二:因 A={2,4,6,8?} ,B={4,8,12,16,?} , 所以 为C. 方法三:因 B A,所以 A∪
IA=A∪ IB. IA IB, IA∩ IB= IA,故

,所以 IB={1,2,3,5,6,7,9?}

I=A∪

IB,故答案

I=

图 1—4

方法四:根据题意,我们画出文氏图 1—4 来解,易知 B A,如图:可以清楚看到 I= A∪
IB

是成立的.

评述:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集 考查,提高了对逻辑思维能力的要求. 18.答案:D 解析:由奇函数定义可知:若 f(x)为奇函数,则对定义域内任意一个 x,都有 f(-x) =-f(x) ,即 f(-x)+f(x)=0,反之,若有 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x) , 由奇函数的定义可知 f(x)为奇函数. 评述:对于判断奇偶性问题应注意:x 为定义域内任意值,因此定义域本身应关于原点 对称,这是奇偶性问题的必要条件. 19.答案:B 解析:由集合 P 得 1<x< 20.答案:B 解析:由已知 21.答案:C 解析一:∵M∩N=N,∴N ? M,∴ 解析二:画出韦恩图 1—5,显然:
IN IM={-3,-4},∴ IM∩N={-3,-4}.

5 ,由集合 Q 有 0<x<10.利用数轴上的覆盖关系,易得 P Q. 2

? ?

IM

IM

IN.故选

C. 图 1—5

评述:本题主要考查集合的概念和集合的关系,题目中不给出 具体集合,对分析问题解决问题能力提高了要求. 22.答案:A 解析: 如果方程 ax2+by2=c 表示双曲线, 即

c c x2 y2 因此有 ? ? 0 , ? ? 1 表示双曲线, c c a b a b

即 ab<0.这就是说“ab<0”是必要条件;若 ab<0,c 可以为 0,此时,方程不表示双曲线, 即 ab<0 不是充分条件. 评述:本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念. 23.答案:C 解析:∵
IA={4}, IB={0,1},∴ IA∪ IB={0,1,4}.

24.答案:D 解析:依题意画出文氏图:如图 1—6,显然 A、B、C 均正确,故应选 D. 25.答案:a≤-2 解析:∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又 A ? B,利用数轴上覆盖关系:如 图 1—7 因此有 a≤-2. 评述:本题主要考查集合的概念和集合的关系. 26.答案:P∩
IQ

图 1—6

图 1—7

解析:∵g(x)≥0 的解集为 Q,所以 g(x)<0 的解集为

IQ,因此

? f ( x) ? 0 的解 ? ? g ( x) ? 0

集为 P∩

IQ.

评述:本题以不等式为载体,重点考查集合的补集、交集的概念及其运算,活而不难. 27.答案:② 解析:①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面. 我们用正方体 AC1 做模型来观察:上底面 A1B1C1D1 中任何三点都不共线,但 A1B1C1D1 四点共面,所以①中逆命题不真. ②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点. 由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点. 所以②中逆命题是真命题. 评述:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念. 28.答案:P∩
IQ

解析:阴影部分为

IQ(如图

1—8)

显然,所求表达式为 或
IQ∩(Q∩P)或

IQ∩P=

?, ?.

图 1—8

IQ∩(Q∪P)=

评述:本题考查集合的关系及运算. 29.答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ? m⊥n,或 m⊥n,m⊥α , n⊥β ? α ⊥β .(二者任选一个即可) 解析:假设①、③、④为条件,即 m⊥n,n⊥β ,m⊥α 成立, 如图 1—9,过 m 上一点 P 作 PB∥n,则 PB⊥m,PB⊥β ,设垂足为 B. 又设 m⊥α 的垂足为 A, 过 PA、PB 的平面与α 、β 的交线 l 交于点 C, 因为 l⊥PA,l⊥PB,所以 l⊥平面 PAB,得 l⊥AC,l⊥BC,∠ACB 是二面角α -l-β 的平面角.

图 1—9

显然∠APB+∠ACB=180°,因为 PA⊥PB,所以∠ACB=90°,得α ⊥β .由①、③、④ 推得②成立. 反过来,如果②、③、④成立,与上面证法类似可得①成立. 评述:本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质,但题型较新颖,主要表 现在:题目以立体几何知识为背景,给出了若干材料,要求学生能将其组装成具有一定逻辑 关系的整体,解题的关键是将符号语言转化为图形语言.考查知识立足课本,对空间想象能 力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方 向. 30.解:由 x2-6x+8>0,得(x-2) (x-4)>0,∴x<2 或 x>4. 由

x?3 ? x?5 >2,得 >0,∴1<x<5. x ?1 x ?1

∴原不等式组的解是 x∈(1,2)∪(4,5) 评述:本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法. 31.解:由已知 log 1 (3-x)≥log 1 4,因为 y=log 1 x 为减函数,所以 3-x≤4.
2 2 2

由?

?3 ? x ? 4 ,解得-1≤x<3.所以 A={x|-1≤x<3}. ?3 ? x ? 0



5 5 ? ( x ? 2) 3? x ?0? ?2 ≥1 可化为 x?2 x?2 x?2

?( x ? 3)( x ? 2) ? 0 解得-2<x≤3,所以 B={x|-2<x≤3}. ? ?x ? 2 ? 0
于是 力. 32.解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}. 由
RA={x|x<-1

或 x≥3}.故

RA∩B={x|-2<x<1

或 x=3}

评述:本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识,以及综合运用知识能力和运算能

2x ?1 x ?3 <1,得 <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}. x?2 x?2
? a ? 2 ? ?2 ,于是 0≤a≤1. ?a ? 2 ? 3

因为 A ? B,所以 ?

评述:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的 概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利 用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.

制作:SD


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