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浙江省台州市2013届高三四校联考数学理试题


台州市 2013 届高三四校联考数学理试题
注意:本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么 高

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 高 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n ? k (k ? 0,1,2,?, n)

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的 棱台的体积公式

1 V ? h(S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上下底面积, h 表示棱台的高

球的表面积公式 S ? 4?R 2 球的体积公式 V球 ? ?R 3 其中 R 表示球的半径

4 3

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x? A.{x|-1≤x<0}
? ? ? ? x-2 ≤0 ?,则 A∩B=( ? ? ? ? x ?

) D.{x|0≤x≤1} ) D.-2

B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2}

2.若“ x 2 ? 1 ”是“ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为( A.1 命题的是( ① ) ② B.0 C.-1

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中为真

m ? n? ?? m ?? n ???

a ?? ? ??? ? ? a ? ??

m ??? ③ ? ? m // n n ?? ?
A.①和② B.②和③

m ??? ? ④ n ? ? ? ? m // n ? // ? ? ?
C.③和④ D.①和④ )

π 4. 若 e1 , e 2 是夹角为 的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 ,则 a ? b =( 3 7 7 A.- B.-4 C.1 D. 2 2

5. 设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 值是( A. )

? 4? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小 3 3
4 3 3 2

2 3

B.

C.

D.3

6. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? 前 5 项和为( A. ) B.

?1? ?的 ? an ?

15 或5 8

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8


?log 2 x, x ? 0, ? 7. 若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a), 则实数 a 的取值范围是( 1 ? 2 ?
A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 8. 已知点 P 在曲线 y ? ( A.[0, )
x

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1

? ) 4

B. [

? ?

, ) 4 2

C. (

? 3?
2 , 4

]

D. [

3? ,? ) 4

9.过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱 AB , AD , AA1 所成的角都相 等,这样的直线 L 可以作( A.1 条 B.2 条 ) C.3 条 D.4 条

10. 已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 (m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至 2m ? 1

右相交于点 A, , 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD B l 在 X 轴上的投影长度分别为 a, b ,当 m 变化时, A. 16 2 B. 8 2

b 的最小值为( a

) D. 4 4

C. 8 4

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体 的表面积是 .

12. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是

?

4

. 13.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ?

? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ .

.

15.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于



16.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的 b ? 解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为 m .
2

17.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1时, f ( x) ? ?( x ? 2) , 当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013 ) ? .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中 , 角 A、 、 B 12 p ? (1 ? sin A, ) , q ? (cos 2 A, 7 2 sin A)且 P ∥ q . (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a . 所 C 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 向 量

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,满足 a n ? S n ? 2n . (Ⅰ)证明:数列 ?a n ? 2?为等比数列,并求出 a n ; (Ⅱ)设 bn ? (2 ? n)( a n ? 2) ,求 ?bn ?的最大项.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 (ax ? 2 x ? 3a) ,
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求该函数的定义域和值域; (Ⅱ)如果 f ( x) ? 1在区间 [2, 3] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 15 分) 如图, 已知长方形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 1, M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (Ⅰ)求证 AD ? BM (Ⅱ)点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 E ? AM ? D 大小为 置.

? 时,试确定点 E 的位 3

22.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点; (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 都成立. n 2 n3

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