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高中数学复习——数列的极限


●知识梳理 1.数列极限的定义:一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列{an}的项 an 无限地趋 近于某个常数 a(即|an-a|无限地接近于 0) ,那么就说数列{an}以 a 为极限. 注:a 不一定是{an}中的项. 2.几个常用的极限:① lim C=C(C 为常数);② lim
n?? n??

1 =0;③ lim qn=0(|q|<1). n?? n

3.数列极限的四则运算法则:设数列{an} 、 {bn} , 当 lim an=a, lim bn=b 时, lim (an±bn)=a±b;
n?? n?? n??

n??

lim (an·bn)=a·b; lim

n??

an a = (b≠0). bn b

特别提示
(1)an、bn 的极限都存在时才能用四则运算法则; (2)可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 1 ① lim ? =0(α >0) n?? n ③ lim

② lim qn=0
n??

2 n ? 3n 2 n ? 3n

n??

=-1

④ lim C=C(C 为常数)
n??

A.2 C.4 解析:①③④正确. 答案:B 2. lim [n(1-
n??

B.3 D.都不正确

1 1 1 1 ) (1- ) (1- )?(1- ) ]等于 3 4 5 n?2
B.1 C.2 D.3

A.0 解析: lim [n(1-

1 1 1 1 ) (1- ) (1- )?(1- ) ] n?? 3 4 5 n?2 2 3 4 n ?1 = lim [n× × × ×?× ] n?? 3 4 5 n?2 2n = lim =2. n?? n ? 2
答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若 lim an2=A2,则 lim an=A
n?? n??

B.若 an>0, lim an=A,则 A>0
n??

C.若 lim an=A,则 lim an2=A2
n?? n??

1

D.若 lim (an-b)=0,则 lim an= lim bn
n?? n?? n??

解析:排除法,取 an=(-1)n,排除 A; 取 an= 答案:C

1 ,排除B;取 an=bn=n,排除 D. n

n ?2 =__________. n?? 1 ? 2 ? ? ? n 1 2 ? n n2 n?2 解析:原式= lim = lim =0. n ? ? n( n ? 1) n?? 1 n ? 2 2 2 答案:0
4.(2005 年春季上海,2) lim 5.(2005 年春季北京,9) lim

n??

n 2 ? 2n =____________. 2n 2 ? 3

2 n =1. 解析:原式= lim n?? 3 2 2? 2 n 1?

1 2 思考讨论
答案: 求数列极限时,如是不定型( 形? ●典例剖析 【例 1】 求下列极限: (1) lim

0 ? , ,∞-∞等) ,应先变形,再求极限,一般应如何变 0 ?

2n 2 ? n ? 7 5n ? 7
2

n??

;(2) lim ( n 2 ? n -n);
n??

(3) lim (
n??

2 2n 4 + 2 +?+ 2 ). 2 n n n

剖析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分 子分母同除以 n2 后再求极限; (2)因 n 2 ? n 与 n 都没有极限,可先分子有理化再求极限; (3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.

解:(1) lim

n??

2n ? n ? 7 = lim n?? 5n 2 ? 7
2

2?

1 7 ? n n2 = 2 . 7 5 5? 2 n

2

(2) lim ( n 2 ? n -n)= lim
n??

n n2 ? n ? n

n??

= lim

1 1? 1 ?1 n

n??

=

1 . 2

(3)原式= lim

n??

n(n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 = lim = lim (1+ )=1. 2 2 n?? n?? n n n
n ??

lim(2n 2 ? n ? 7) ? 评述:对于(1)要避免下面两种错误:①原式= = =1,②∵ lim (2n n?? ? lim(5n 2 ? 7)
n ??
2

+n+7 ) , lim ( 5n +7 )不存在,∴原式无极限 . 对于( 2 )要避免出现下面两种错误:
n??

2

① lim ( n 2 ? n -n) = lim
n??

n??

n 2 ? n - lim n=∞-∞=0;②原式= lim
n??

n??

n 2 ? n - lim n=
n??

∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式= lim

n??

2 4 2n + lim 2 +?+ lim 2 =0+0+?+0=0 这样 2 n?? n n?? n n

的错误. 【例 2】 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足 lgan=lgan-1+lgc,其中 n 是大于 1 的整数,c 是正数. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 和 Sn; (2)求 lim

2 n?1 ? a n 2 n ? a n?1

n??

的值.

解:(1)由已知得 an=c·an-1, - ∴{an}是以 a1=3,公比为 c 的等比数列,则 an=3·cn 1.

?3n ? ∴Sn= ? 3(1 ? c n ) ? ? 1? c
(2) lim

(c ? 1) (c ? 0且c ? 1).
2 n ?1 ? 3c n ?1 . 2 n ? 3c n

2 n?1 ? a n 2 n ? a n?1

n??

= lim

n??

①当 c=2 时,原式=-

1 ; 4

2 ( ) n ?1 ? 3 1 c ②当c>2 时,原式= lim =- ; 2 n ?1 n?? c 2 ? ( ) ? 3c c c 1 ? 3( ) n ?1 1 2 ③当 0<c<2 时,原式= lim = . c n ?1 n?? 2 2 ? 3c ? ( ) 2
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用. 【例 3】 已知直线 l:x-ny=0(n∈N *),圆 M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线 ? :y=(x-1)

3

2

,又 l 与 M 交于点 A、B,l 与 ? 交于点 C、D,求 lim

n??

| AB | 2 . | CD | 2

剖析:要求 lim

n??

| AB | 2 的值,必须先求它与 n 的关系. | CD | 2

解:设圆心 M(-1,-1)到直线 l 的距离为 d,则 d2=

(n ? 1) 2 . n2 ? 1

又 r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=

8n . 1 ? n2

设点 C(x1,y1), D(x2,y2) ,

? x ? ny ? 0 由? ? nx2-(2n+1)x+n=0, 2 y ? ( x ? 1 ) ?
∴x1+x2=

2n ? 1 , x1·x2=1. n

∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= ∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 1 = 4 (4n+1) (n2+1). n ∴ lim
n??

x x 4n ? 1 4n ? 1 ,(y1-y2)2=( 1 - 2 )2= , 2 n4 n n n

| AB | 2 8n 5 8 = = lim =2. lim 2 2 2 n ? ? ( 4n ? 1)( n ? 1) n?? 1 1 2 | CD | (4 ? )(1 ? ) n n | AB | 2 ,这就要求掌握 | CD | 2

评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求

求弦长的方法. 【例 4】 若数列{an}的首项为 a1=1,且对任意 n∈N*,an 与 an+1 恰为方程 x2-bnx+cn=0 的 两根,其中 0<|c|<1,当 lim (b1+b2+?+bn)≤3,求 c 的取值范围.
n??

解:首先,由题意对任意 n∈N*,an·an+1=cn 恒成立. ∴

a n ?1 ? a n ? 2 a n ? 2 c n ?1 = = n =c.又 a1·a2=a2=c. a n ? a n ?1 an c

∴a1,a3,a5,?,a2n-1,?是首项为 1,公比为 c 的等比数列,a2,a4,a6,?,a2n,?是首项为 c,公比为 c 的等比数列.其次,由于对任意 n∈N*,an+an+1=bn 恒成立. ∴

bn ? 2 a n ? 2 ? a n ?3 = =c.又 b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, a n ? a n ?1 bn

∴b1,b3,b5,?,b2n-1,?是首项为 1+c,公比为 c 的等比数列,b2,b4,b6,?,b2n,?是首项为 2c,公
4

比为 c 的等比数列, ∴ lim (b1+b2+b3+?+bn)= lim (b1+b3+b5+?)+ lim (b2+b4+?)=
n?? n?? n??

1 ? c 2c + ≤3. 1? c 1? c

1 1 或 c>1.∵0<|c|<1,∴0<c≤ 或-1<c<0. 3 3 1 故 c 的取值范围是(-1,0)∪(0, ]. 3
解得 c≤ 评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于 c 的不等式,即将{bn}的各项和 表示为关于 c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关 系为突破口. 夯实基础 1.已知 a、b、c 是实常数,且 lim

n??

bn 2 ? c an 2 ? c an ? c =2, lim =3, 则 的值是 lim n ? ? cn 2 ? b n ? ? cn 2 ? a bn ? c
C.

A.2 解析:由 lim

B.3

1 2

D.6

n??

an ? c =2,得 a=2b. bn ? c

由 lim

n??

bn 2 ? c 1 =3,得 b=3c,∴c= b. 2 3 cn ? b



a =6. c
2

c an ? c n 2 = a =6. ∴ lim = lim n ? ? cn 2 ? a n?? a c? 2 c n 答案:D a?
2.(2003 年北京)若数列{an}的通项公式是 an= 则 lim (a1+a2+?+an)等于
n??

3 ? n ? 2 ? n ? (?1) n (3 ? n ? 2 ? n ) ,n=1,2,?, 2

A.

11 24

B.

17 24

C.

19 24

D.

25 24

? 3?n ? 2 ?n ? ? 解析:an= ? ? n ?n ?3 ? 2 ? ?
即 an= ?
?n ? ?2 ?3 ?n ?

? (3 ? n ? 2 ? n ) ( n为奇数), 2 ? 3 ?n ? 2 ?n (n为偶数), 2

(n为奇数),
(


n为偶数).
- - - - -

∴a1+a2+?+an=(2 1+2 3+2 5+?)+(3 2+3 4+3 6+?).
5

1 1 2 ?1 3 ?2 19 ? ? 2 + 9 = . ∴ lim (a1+a2+?+an)= ? 2 ? 2 1 1 24 n?? 1? 2 1? 3 1? 1? 4 9
答案:C 3. (2004 年春季上海) 在数列{an}中, a1=3, 且对任意大于 1 的正整数 n,点 ( a n , an ? 1 ) 在直线 x-y- 3 =0 上,则 lim

an (n ? 1) 2

n??

=__________________.

解析:由题意得 an - an?1 = 3 (n≥2). ∴{ an }是公差为 3 的等差数列, a1 = 3 . ∴ an = 3 +(n-1) · 3 = 3 n. ∴an=3n2. ∴ lim

an (n ? 1) 2

n??

= lim

n??

3n 2 n 2 ? 2n ? 1

= lim

n??

3 =3. 2 1 1? ? 2 n n

答案:3 4.(2004 年 上海,4)设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=-
-1

1 ,且 lim (a1+a3+a5+?+a2n n?? 2

)=

8 ,则 a1=_________________. 3 a 1 8 解析:∵q=- ,∴ lim (a1+a3+a5+?+a2n-1)= 1 = .∴a1=2. n ? ? 1 2 3 1? 4
答案:2 5.(2004 年湖南,理 8)数列{an}中,a1=

6 1 ,an+an+1= n ?1 ,n∈N*,则 lim (a1+a2+?+an)等 n?? 5 5
C.

于 A.

2 5

B.

2 7

1 4

D.

4 25

解 析 :2 ( a1+a2+ ? +an ) =a1+ [ ( a1+a2 ) + ( a2+a3 ) + ( a3+a4 ) + ? + ( an - 1+an ) ] 6 6 6 1 +an= +[ 2 + 3 +?+ n ]+an. 5 5 5 5

6

6 1 1 1 1 3 ∴原式= [ + 25 + lim an]= ( + + lim an). 2 5 1 ? 1 n?? 2 5 10 n ? ? 5
∵an+an+1=
n??

6 5
n ?1

,∴ lim an+ lim an+1=0.
n?? n??

∴ lim an=0. 答案:C 6.已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1) (an-1)且 a2=6,设 bn=an+n(n∈N*). (1)求{bn}的通项公式; (2)求 lim (
n??

1 1 1 1 + + +?+ )的值. b2 ? 2 b3 ? 2 b4 ? 2 bn ? 2

解:(1)n=1 时,由(n-1)an+1=(n+1) (an-1),得 a1=1. n=2 时,a2=6 代入得 a3=15.同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜 想 bn=2n2. 要证 bn=2n2,只需证 an=2n2-n. ①当 n=1 时,a1=2×12-1=1 成立. ②假设当 n=k 时,ak=2k2-k 成立. 那么当 n=k+1 时,由(k-1)ak+1=(k+1) (ak-1),得 a k+1= =

k ?1 (ak-1) k ?1

k ?1 k ?1 (2k2-k-1)= (2k+1) (k-1)=(k+1) (2k+1)=2(k+1)2-(k+1). k ?1 k ?1
1 1 1 1 1 1 + +?+ )= lim ( + +?+ 2 ) n?? b2 ? 2 b3 ? 2 bn ? 2 2n ? 2 6 16

∴当 n=k+1 时,an=2n2-n 正确,从而 bn=2n2. (2) lim (
n??

=

1 1 1 1 + +?+ ] lim [ (n ? 1)( n ? 1) 2 n?? 1? 3 2 ? 4

1 1 1 1 1 1 - ] lim [1- + - +?+ 4 n?? 3 2 4 n ?1 n ?1 1 1 1 1 3 = lim [1+ - - ]= . 4 n?? 2 n n ?1 8
= 能力提高 7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且

n??

lim

an 1 1 1 1 = ,求极限 lim ( + +?+ )的值. n?? bn 2 a1b1 a 2 b2 a n bn

解:{an}、{bn}的公差分别为 d1、d2. ∵2b2=a2+a3,即 2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1), ∴2d2-3d1=2.

7

又 lim

n??

an 3 ? ( n ? 1) d 1 d 1 1 = lim = = ,即 d2=2d1, b n n ? ? 2 ? ( n ? 1) d 2 d 2 2

∴d1=2,d2=4. ∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2. ∴

1 1 1 1 1 = = ( - ). a n bn (2n ? 1) ? (4n ? 2) 4 2n ? 1 2n ? 1

∴原式= lim

n??

1 1 1 (1- )= . 4 4 2n ? 1
Sn . S n ?1

8.已知数列{an} 、{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q,其中 p>q 且 p≠ 1,q≠1,设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求 lim

n??

解:Sn=

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) + , 1? p 1? q

Sn S n ?1

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) ? 1? p 1? q ? . n ?1 a1 (1 ? p ) b1 (1 ? q n ?1 ) ? 1? p 1? q
q - <1,上式分子、分母同除以 pn 1,得 p

当 p>1 时,p>q>0,得 0<

Sn S n ?1

p n ?1 p n ?1 ? 1? p 1? q ? . q 1 1 a1 ( n ?1 ? 1) b1 [ n ?1 ? ( ) n ?1 ] p p p ? 1? p 1? q
Sn =p. S n ?1

a1 (

1

? p)

b1 (

1

?

qn ) p n ?1

∴ lim

n??

当 p<1 时,0<q<p<1, lim

n??

Sn S n ?1

a1 b ? 1 1? p 1? q = =1. a1 b ? 1 1? p 1? q

探究创新 9.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an= 解:由 an=

a n?1 ? a n?2 ,求 lim an. n?? 2

a n?1 ? a n?2 ,得 2
8

2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列. ∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2.

2 1 2 =- (an-1- ). 3 2 3 2 1 2 ∴{an- }是公比为- ,首项为- 的等比数列. 3 2 3 2 2 1 - ∴an- =- ×(- )n 1. 3 3 2 2 2 1 - ∴an= - ×(- )n 1. 3 3 2 2 ∴ lim an= . n?? 3
∴an- 教学点睛 1.数列极限的几种类型:∞-∞,

0 ? ,0-0, 等形式,必须先化简成可求极限的类型再用 0 ?

四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含参数的题目一定要控制好难度, 不要太难了. 拓展题例 【例题】 已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,且有 lim (
n??

a1 1 -qn)= ,求首项 a1 1? q 2

的取值范围. 解: lim (
n??

a1 1 -qn)= , 1? q 2

∴ lim qn 一定存在.∴0<|q|<1 或 q=1.
n??

当 q=1 时,

a1 1 -1= ,∴a1=3. 2 2
n??

当 0<|q|<1 时,由 lim (

a1 a 1 1 -qn)= 得 1 = ,∴2a1-1=q. 1? q 2 1? q 2

∴0<|2a1-1|<1.∴0<a1<1 且 a1≠ 综上,得 0<a1<1 且 a1≠

1 . 2

1 或 a1=3. 2

9


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