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(人教A版)数学必修五 :2-3-1《等差数列的前n项和(一)》教案(含答案)


教学设计
2.3 等差数列的前 n 项和 2.3.1 等差数列的前 n 项和(一)? 从容说课 “等差数列的前 n 项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣, 进而 引导学生对等差数列的前 n 项和公式作出探究, 逐步引出求和公式以及公式的变形, 初步形 成对等差数列的前 n 项和公式的认识, 让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和 方法,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,所以,在教学中宜采用以问题驱 动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式, 要采用设计变式题的教学手段.? 通过本节的例题的教学, 使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性, 以及如何 去建立数学模型的方式方法, 培养学生善于从实际情境中去发现数列模型, 促进学生对本节 内容的认知结构的形成.? 教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用.? 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等??
[来源:Z*xx*k.Com]

三维目标 一、知识与技能? 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单 的与前 n 项和有关的问题.? 二、过程与方法? 通过公式的推导和公式的运用, 使学生体会从特殊到一般, 再从一般到特殊的思维规律, 初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思 维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.?? 三、情感态度与价值观? 通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实问题,令人着迷的数 学史, 激发学生探究的兴趣, 树立学生求真的勇气和自信心, 增强学生学好数学的心理体验, 产生热爱数学的情感.?? 教学过程

导入新课 教师出示投影胶片 1:

印度泰姬陵(?Taj Mahal?)是世界七大建筑奇迹之一, 所在地阿格拉市, 泰姬陵是印度 古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度 伊斯兰教文化的象征.? 陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中 一共有多少颗宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息, 缩短了数学与现实之间的距离, 引领学生步入探讨高斯算法的阶段)

生 只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数.? 师 对,问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢?这里还有一段故事.? 教师出示投影胶片 2:

高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现 在给大家出道题目:1+2+…100=?”? 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回 答说: “1+2+3+…+100 =5 050.”?

教师问:“你是如何算出答案的?”? 高斯回 答说:因为 1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以 101× 50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢??? 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是:1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,有 50 个 101,所以 1+2+3+…+100=50×101=5 050. ? 师 对, 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组, 第一个数与最后一个数 一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相 等,都等于 101,50 个 101 就等于 5 050 了.? 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.? 作为数学王子的高斯从小就善于观察, 敢于思考, 所以他能从一些简单的事物中发现和寻找 出某些规律性的东西.? 师 问:数列 1,2,3,…,100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什 么?? 生 这个数列是等差数列,1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数 列的前 100 项的和. 师 对,这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题.?? 推进新课? [合作探究]?

师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第 1 层到 第 21 层,得到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?? 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和 就好首尾配成对了.? 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是 否有简单的方法来解决这个问题呢?? 生 有!我用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形 .平行四边形中的 每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的宝石个数就是

(1 ? 21) ? 21 .? 2

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师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了!我将他的几何法写 成式子就是:? 1+2+3+…+21,? 21+20+19+…+1,? 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)? 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.? 现在我将求和问题一般化:? (1)求 1 到 n 的正整数之和,即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面思路的引导下可由学 生轻松解决)? (2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn?? 生 1 对于问题(2),我这样来求:因为 Sn=a1+a2+a3+…+an,? Sn=an+an-1+…+a2+a1,? 再将两式相加,因为有等差数列的通项的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,? 所以 S n ?

n(a1 ? a n ) .(Ⅰ)? 2

生 2 对于问题(2),我是这样来求 的:? 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)× d] ,? 所 以 Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+ 即 Sn=na1+

n( n ? 1) d,? 2

n( n ? 1) d.(Ⅱ )? 2

[教师精讲]? 两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用“倒序相加法”,后一位同学用的是基本量来转 化为用我们前面 求得的结论,并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两 种求和公式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的,我们可以发 现,它可与梯形面积公式(上底+下底)× 高÷ 2 相类比,这里的上底是等差数列的首项 a1,下 底是第 n 项 an,高是项数 n,有利于我们的记忆.? [方法引导]? 师 如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项为 an,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅰ) 来进行,若已知首项 a1,项数为 n,公差 d,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅱ)来进行.? 引导学生总结:这些公式中出现了几个量?? 生 每个公式中都是 5 个量.?

师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法?? 生 已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).? 师 当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数,且这 二次函数的二次项系数的 2 倍就是公差.? [知识应用]? 【例 1】 (直接代公式)计算:? (1)1+2+3+…+n;? (2)1+3+5+…+(2n-1);? (3)2+4+6+…+2n;? (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.? (让学生迅速熟悉公式, 即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)~(3), 并请一位同学回 答.? 生 (1)1+2+3+…+n=

n( n ? 1) 2



(2)1+3+5+…+(2n-1)=

n(1 ? n ? 1) 2

= n2



(3)2+4+6+…+2n=

n ( 2 n ? 2) =n(n+1).? 2

师 第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用 Sn 公式求解?若不能, 那应如 何解答?(小组讨论后,让学生发言解答)? 生 (4)中的数列共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列, 所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.? 生 上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为 -1 ,故可得另一解法:原式 =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.? 师 很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公 式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解.? 【例 2】 (课本第 49 页例 1)? 分析:这是一道实际应用题目,同学们先认真阅读此题,理解题意.你能发现其中的一些 有 用信息吗?? 生 由题意我发现了等差数列的模型,这个等差数列的首项是 500,记为 a1,公差为 50,记 为 d,而从 2001 年到 2010 年应为十年,所以这个等差数列的项数为 10.再用公式就可以算 出来了.? 师 这位同学说得很对,下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)?

【例 3】 (课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗?? 分析:若要确定其前 n 项求和公式,则必须确定什么?? 生 必须要确定首项 a1 与公差 d.? 师 首项与公差现在都未知,那么应如何来确定?? 生 由已知条件,我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20,于是可从中获得两个关于 a1 和 d 的关系式,组成方程组便可从中求得.? (解答见课本第 50 页)? 师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中,有 5 个变量.已知三个变量,可利用构造 方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.? [合作探究]? 师 请同学们阅读课本第 50 页的例 3,阅读后我们来互相进行交流.? (给出一定的时间让学生对本题加以理解)? 师 本题是给出了一个数列的前 n 项和的式子, 来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什 么?? 生 从所给的和的公式出发去求出通项.? 师 对的,通项与前 n 项的和公式有何种关系?? 生 当 n=1 时,a1=S1,而当 n>1 时,an=Sn-Sn-1.? 师 回答的真好!由 Sn 的定义可知,当 n=1 时,S1=a1;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1,? 即 an=S1(n=1),? Sn-S
n-1(n≥2).这种已知数列的

Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方

法求出的通项 an=2n-

1 ,我们从中知它是等差数列,这时当 n=1 也是满足的,但是不是所 2

有已知 Sn 求 an 的问题都能使 n=1 时, an=Sn-Sn-1 满足呢?请同学们再来探究一下课本第 51 页 的探究问题.? 生 1 这题中当 n=1 时,S1=a1=p+q+r;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=2pn-p+q,由 n=1 代入的结果为 p+q,要使 n=1 时也适合,必须有 r=0.? 生 2 当 r=0 时,这个数列是等差数列,当 r≠0 时,这个数列不是等差数列.? 生 3 这里的 p≠0 也是必要的,若 p=0,则当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=q+r,则变为常数列了,r≠0 也还是等差数列.?

师 如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列一 定是等差数列,从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上 等差数列的两个求和公式中皆无常数项.?? 课堂练习 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54?? (学生板演)? 解:设题中的等差数列为{an},前 n 项和为 Sn,? 则 a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,? 由公式可得-10n+

n( n ? 1) × 4=54.? 2

解之,得 n1=9,n2=-3(舍去).? 所以等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54.? (教师对学生的解答给出评价)?? 课堂小结 师 同学们,本节课我们学习了哪些数学内容??

n(a1 ? a n ) ,? 2 n(n ? 1)d ②等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? .? 2
生 ①等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 师 通过等差数列的前 n 项和公式内容的学习,我们从中体会到哪些数学的思想方法?? 生 ①通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒 序相加法”.? ②“知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变 量.? 师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?? 生 如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列 一定是等差数列, 否则这个数列就不是等差数列, 从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结 构特征上来认识等差数列.?? 布置作业 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题.?? 板书设计

等差数列的前 n 项和(一) 公式:?

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2
习题详解

推导过程



(课本第 52 页练习)? 1.(1)-88 (2)604.5?

? 59 , n ? 1, ? ?12 2.an= ? ? 6 n ? 5 ? , n>1. ? ? 12
3.元素的个数为 30,元素和为 900.?? 备课资料 一、备用习题? 1.求集合 M={m|m=7n,n∈N*,且 m<100}的元素个数,并求这些元素的和.? 分析:求解的关键在于要理解这个集合的元素特征,抓好集合中的数全是由 7 的倍数组成, 再由本节课学过的知识运用加以解决.?

100 2 = 14 .所以,正整数 n 共有 14 个,即 M 中共有 14 个元素,即 7, 7 7 14 ? (7 ? 98) 14, 21, …, 98 是一个以 a1=7 为首项, 公差为 7 且 a 14=98 的等差数列.所以 Sn= 2
解:由 7n<100 得 n< =735.答:这些元素的和为 735.? 2.已知两个等差数列:2,5,8,…,197 和 2,7,12,…,197.求这两个数列中相同项之和. 分析:两个等差数列的相同项仍组成等差数列,找出其首项、公差、项数,即可求出它们的 和.? 解:其相同项是 2,17,32,…,197,组成以 2 为首项,公差为 15,末项为 197 的等差数 列.设此数列共有 n 项,则 197=2+(n-1)× 15,得 n=14,? 那么相同项的和 S n ?

(2 ? 197 ) ?14 ? 1393 .? 2

点评:如果两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2,且 d1 和 d2 的最大公约数为 a,则两个等差 数列中公共项所组成的等差数列的公差 d=(d1× d2)÷ a,即 d 为 d1 和 d2 的最小公倍数.?? 3.用分期付款的方式购置房子一套,价格为 115 万元.购置当天先付 15 万元,以后每月的这 一天都支付 5 万元,并加付欠款利息,月利息率 1%.若交付 15 万元后的第 1 个月开始算分

期付款的第 1 个月,问分期付款的第 10 个月应付多少钱?全部房款付清后,购买这套房子 实际花了多少钱?? 分析:购买时付了 15 万元,欠款 100 万元.每月付 5 万元及欠款利息,需分 20 次付完,且 每月总付款数顺次组成等差数列.? 解:由题意,购置当天付了 15 万元,欠款 100 万元.每月付 5 万元,共分 20 次付完.设每月 付款数顺次组成数列{ an } ,则 a1 = 5 + 100× 1%=6 , a2 = 5 + (100-5)× 1%=6-0.05 , a3 = 5 + (100-5× 2)× 1%=6-0.05× 2,依次类推,得 an= 6-0.05(n-1)(1≤n≤20).? 由于 an-a 9=5.55(万元).从而 ,全部房款付 n-1=-0.05,所以{an}组成等差数列,a10=6-0.05×

清后总付款数为 S20+15=

( a1 ? a 20 ) ? 20 +15=125.5(万元).? 2

答:第 10 个月应付 5.55 万元,购买这套房子实际花了 125.5 万元.? 点评:解应用题时,首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系,逐个数据进行分析,建立相 应的数学模型.再求解数学模型,得出数学结论,最后回答实际问题.? 4.把正整数以下列方法分组:(1),(2,3),(4,5,6),…,其中每组都比它的前一组多一个 数,设 Sn 表示第 n 组中所有各数的和,那么 S 21 等于( A.1 113 ?B.4 641 ?C.5 082 )? ?D.53 361?

分析:第 21 组共有 21 个数,构成一个等差数列,公差为 1,首项比第 20 组的最后一个数 大 1,所以先求前 20 组一共有多少个数.? 解:因为第 n 组有 n 个数,所以前 20 组一共有 1+2+3+…+20=210 个数,于是第 21 组的第 一个数为 211,这组一共有 21 个数,S21=21× 211+ 点评:认真分析条件,转化为数列的基本问题.?? 二、阅读材料?
[来源:学.科 .网 Z.X.X.K]

21 ? 20 × 1=4 641,故选 B.? 2

古代有关数列求和问题的故事? 我国数列求和的概念起源很早,古书《周髀算经》里谈到“没日影”时,已出现了简单的 等差数列; 《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.? 到南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几 个等差数 列问题.例如:“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺, 计织三十日,问共织几何?”原书的解法是:“并初、末日织布数,半之,余以乘织讫日数, 即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式?

Sn ?

(a1 ? an ) ? n .? 2

再如:“今有女子善织布,逐日所织的布以同数递增,初日织五尺,计织三十日,共织九匹 三丈,问日增几何?”书中给出了计算公式? d=(

2S n ? 2a1 )÷ (n-1).? n

[来源:学科网][来源:学科网 ZXXK]

这个公式等价于现今中学课本里的公式:?

Sn ?

n[2a1 ? (n ? 1)d ] .? 2

大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.? 其实,更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元 前 3 000 年.? 问题:一百份面包五个人分,要求:第二个人比第一个人多多少,第三个人比第二个人也多 多少,同样,第四个人比第三个人,第五个人比第四个人也多多少.此外,前两人所得的总 数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少?? 解:我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包 x 份,第二个人比第一个人多分得 y 份,则第二个人分得 x+y 份,第三个人分得 x+2y 份,第四个人分得 x+3y 份,第五个人 分得 x+4y 份.于是有方程组?

? x ? ( x ? y) ? ( x ? 2 y) ? ( x ? 3 y) ? ( x ? 4 y) ? 100, 化简,得? ? ?7[ x ? ( x ? y)] ? ( x ? 2 y) ? ( x ? 3 y) ? ( x ? 4 y).
2 ? x ?1 , ? ? x ? 2 y ? 20, ? 3 解得 ? .? ? 1 ?11x ? 2 y. ?y ? 9 . ? 6 ?
所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为?

5 2 1 1 1 , 10 ,20, 29 , 38 .? 6 3 6 3
上面的一列数 x,x+y,x+2y,x+3y,x+4y,由于项数较少,我们可以直接相加求出它们 的和.如果项数很多,怎样求它们的和呢?具体地说,设? Sn=x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+…+(x+ny),①? 能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢?这是容易做到的, 我们采用高斯的方法, 把 ①式倒过来写,得? Sn=(x+ny)+\[x+(n-1)y\]+…+(x+3y)+(x+2y)+(x+y)+x,②?

把①与②式按对应项相加,得? 2Sn=(2x+ny)+(2x+ny)+…+(2x+ny).? =(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n+1)y.? ∴Sn=(n+1)x+

n( n ? 1) y.? 2

这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列),求和是极快捷有效的.? 实际上,前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数 学著作中屡见不鲜,而且解法也令人叫绝,如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总 数问题,有兴趣的话,可以查阅一下相关资料.?


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