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浙江省一级重点中学(六校)2013届高三第一次联考文科数学试卷


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浙江省一级重点中学(六校)2013 届高三第一次联考 数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,

共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? R , 集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} B. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 3}
3

( ▲ )

2.已知 a, b ? R ,若 a ? bi ? (1 ? i)i (其中为虚数单位),则 A. a ? 1, b ? ?1 C. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1

( ▲ )

3.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a2 ? a ? 3 ? 0 互相平行”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 4.若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?

( ▲ )

A.7 B.8 C.9 D.10 5.学校高中部共有学生 2000 名,高中部各年级男、女生人数如下表,已知在高中部学生中 随机抽取 1 名学生,抽到高三年级女生的概率是 0.18,现用分层抽样的方法在高中部抽 取 50 名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为 ( ▲ ) 高一级 女生 男生 373 327 高二级 y z 高三级 x 340

A.14 B.15 C.16 D.17 6.设, m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ▲ ) l //? , m//? ,则 l //m A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B. 若 C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m D. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? 7. 将 函 数 y ? sin( 2 x ?

?

3

) 的图像向左平移

? 个单位后得到的图像对应的解析式为 6
( ▲ )
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y ? ? sin(2 x ? ? ) ,则 ? 的值可以是

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? 3 r r r r r 8.设 a ? (2,3) , a 在 b 方向上的投影为 3 , b 在 x 轴上的投影为,则 b ?
A. ? B.

? 2

? 2

C. ?

? 3

D.

( ▲ )

A.(1,

5 ) 12

B. (?1,

5 ) 12

C. (1,?

5 ) 12

D.( ?1, ?

5 ) 12

9. 已知椭圆:

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 3) , 左右焦点分别为 F1,F2 , F1 的直线交椭圆于 A B 过 , 9 b2 uuu uuu r r BF2 ? AF2 的最大值为 8,则 b 的值是 两点,若 ( ▲ )
A. B.

2

C.

3

D. 6

10.定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意 一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ? OB ,若不等 式 | MN |? k 恒成立,则称函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 A. [0, ??) B. [ ( ▲ ) D. [ ? 2, ??)

uuu r

1 x

1 , ?? ) 12

C. [ ? 2, ??)

3 2

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.从集合{1,2,3,4,5, 个数为 b, 则 b ? a 的概率是 ▲ . ▲
开始 S=0,i=0

6}中随机抽取一个数为 a,从集合{2,3, 4}中随机抽取一

12.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为

.

2

2

主视图 2 2 俯视图 2

侧视图

i≤100? 是 S=S+i i=i+2



输出 S 结束

13.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是



.

uur uur uuu uuu r r 14.已知同一平面上的向量 PA , PB , AQ , BQ 满足如下条件:

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uur u uuu r r ? AB uu uur uur r u uur uuu uur uuu u r u r AQ ? uuu u r ① | PA ? PB |?| AB |? 2 ; ② ? uur ? uuu ? ? BQ ? 0 ; ③ | AB ? AQ |?| AB ? AQ | , ? | AB | | AQ | ? ? ? uuu r 则 | PQ | 的最大值与最小值之差是 ▲ .
15.设 0 ? m ?

1 1 3 ? k 恒成立,则 k 的最大值为 ,若 ? 3 m 1 ? 3m



.

16. F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,I 是 ?PF1 F2 的 a2 b 2
2 S ?IF1F2 ,则双曲线的离心率 e= 3
▲ .

内心,且 S ?IPF2 ? S ?IPF1 ?

?e x ? x ? 1 ( x ? 0) ? 17.已知函数 f ( x) ? ? 1 3 ,给出如下四个命题: ( x ? 0) ?? x ? 2 x ? 3
① f ( x) 在 [ 2, ??) 上是减函数; ② f ( x) 的最大值是 2; ③函数 y ? f (x) 有两个零点; ④ f ( x) ?

4 2 在 R 上恒成立; 3

其中正确的命题有 ▲ .(把正确的命题序号都填上). 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? m 在区间 [0,
2

?
3

] 上的

最大值为 2. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1, sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 4

.

求边长 a .

19.(本题满分 14 分)数列 { an } 的前 n 项和 Sn ? (Ⅰ)求数列 { an } 的前 n 项和 Sn ;

n2 1 5 ,若 a1 ? , a2 ? . 2 6 an ? b

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(Ⅱ)求数列 { an } 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

an ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1
2

20. (本题满分 14 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为的正方形,PA ? CD ,

PA ? 1, PD ? 2 , E 为 PD 上一点, PE ? 2ED .
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值;

P

E A
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D C

B

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax ? 1 . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 时,f ( x) 取得极值, a 的值; 求 (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值; (Ⅲ)若对任意 m ? R , 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, a 的取值范围. 求

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的方程为 y ? px( p ? 0) ,直线 l: x ? y ? m与x 轴的交点在抛物线 C 准线
2

的右侧. (Ⅰ )求证:直线 l 与抛物线 C 恒有两个不同交点;
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(Ⅱ)已知定点 A(1,0) ,若直线 l 与抛物线 C 的交点为 Q、R,满足 AQ ? AR ? 0 ,是否存在 实数 m , 使得原点 O 到直线 l 的距离不大于 若不存在,请说明理由.
2 ,若存在,求出正实数 4

p 的取值范围;

2013 年 浙 江 省 六 校 联 考 数学(文)答案及评分标准
一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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选项

B

C

D

C

B

D

C

A

D

D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11.

1 3
3 2

; 12.

8 2 ? 3



13.

2550



14.

2

; 15.

12



16.



17.

①③④ .

三、解答题(共 72 分) 18.(本题 14 分) 解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? m ? 2 sin( 2 x ? 分 ∵ x ? ?0,

?
6

) ? m ?1

??? 2

? ?? ? ? 3?

∴ 2x ?

?

? ? 5? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

??? 3 分

∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?? ? ? ? ? 5? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f (x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 3? ?

??? 5 分

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

??? 6 分

(2)∵ f ( A) ? 1 ∴ sin(2 A ?

∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ?1

?
6

)?

1 2

,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3

?

??? 8 分 ??? 10 分 即 bc ? 3 ????②

∵ sin B ? 3 sin C , ∵ ?ABC 面积为 由①和②解得 b ? 3, c ? 1

a b c ? ? ∴ b ? 3c ????① sin A sin B sin C

3 3 1 1 ? 3 3 , ∴ S ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4

??? 12 分

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? cos

?
3



a? 7

??? 14 分

19.(本题满分 14 分)

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1 1 1 4 4 4 ? ;由 S 2 ? a1 ? a2 ? ,得 ? . ,得 2 a?b 2 3 2a ? b 3 ?a ? 1 ?a ? b ? 2 ∴? ,解得 ? ,故 ?b ? 1 ?2a ? b ? 3 n2 Sn ? ; ???? 4 分 n ?1 (2)当 n ? 2 时, n2 ( n ? 1)2 n3 ? ( n ? 1)2 (n ? 1) n2 ? n ? 1 . ?? 7 分 an ? Sn ? Sn?1 ? ? ? ? 2 n ?1 n n(n ? 1) n ?n 1 由于 a1 ? 也适合 2 2 n ? n ?1 an ? 2 . ??? 8 分 n ?n
解:(1)由 S1 ? a1 ? ∴

n2 ? n ? 1 an ? 2 ; n ?n
?? 9 分 (3)

?

bn ?

an 1 1 1 . ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1
2

??

? 10 分 ∴数列 { bn } 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ?1
? 1? 1 n ? . n ?1 n ?1
??

? 14 分 20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) ? PA = PD = 1 ,PD = 2 , ? PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ︿ AD 分 又 PA ︿ CD , AD , CD 相交于点 D, ? PA ︿ 平面 ABCD 分 (Ⅱ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,0, 0),D(0,1,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ???2

???4

2 1 , ), 3 3 ???5 分

??? ? ???? ??? 2 1 AC = (1,1,0), AE = (0 , , ), PD = (0,1,-1)
3 3

r ? ? n gAC ? 0 ?x ? y ? 0 ? 设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则 ? r uuu ,即: ? , 令y = 1 , r ? n gAE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
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uuu r

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则 n = (- 1,1, - 2 )

?

???6 分 ???8

uuu r r uuu r r PD g n 3 设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? PD g ? ? uuu r | ? n | | r 2 | PD || n |
分 所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为

3 。 2

???9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面 AEC 的一个法向量可设为 n = (- 1,1, - 2 ) 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF =

?

uuu r

? CP

uur

(0 ?

?

? 1), ???11 分

使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0.

uuu r r

又因为: BF = BC + CF =(0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ),

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r r 1 ? BF ? n = ? + 1- ? - 2 ? = 0 , ? ? = , 2
所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC. 21. (本题 15 分)

???13 分 ???14 分

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(III)因为 ?m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,
2 ( 所以 f ' x) ? x ? a ? ?1 对 x ? R 成立,

??????12 分

2 ( 只要 f ' x) ? x ? a 的最小值大于 ?1 即可, 2 ( 而 f ' x) ? x ? a 的最小值为 f (0) ? ?a

所以 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 22. (本题满分 15 分) 证 明 : ( Ⅰ ) 由 题 知 m??

??????15 分

p x? y ? 与 m 4 ,联立

2

y?

p x消 去 x 可 得 ,

y2 ? p y ?

pm ? 0

?

?

? (? ) ? ?

? p ?0且m ? ?

p ,?? ? p 2 ? 4 pm ? 0 4 所以直线与抛物线 C 恒有两个不同的交点;

??????5 分

(Ⅱ)解:设 Q( x1 , y1 ), R( x2 , y2 ) ,由(﹡)可得 y1 ? y2 ? ? p, y1 ? y2 ? ? pm
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uuu uur r u AQ gAR ? ( x1 ? 1, y1 )g( x2 ? 1, y2 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 故

? (m ?1 ? y1 )(m ?1? y2 ) ? y1 y2 ? 2 y1 y2 ? (1? m)( y1 ? y2 ) ? (m ?1)2
? m2 ? (2 ? p)m ? (1 ? p) ? 0
??????8 分

(如上各题若有其他解法,均可酌情给分)

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