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2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.2柱、锥、台的体积练习北师大版必修2(新)


7.2

柱、锥、台的体积

1.将两个棱长为 10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为 5 cm 的正四棱柱,则该四棱柱的高为 ( )

A.8 cm C.40 cm

B.80 cm D. cm
3

解析:设正四棱柱的高为 h cm,依题意得 5×5×h=2×1

0 ,解得 h=80(cm). 答案:B 3. 导学号 62180062 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π +2 B.4π +2 C.2π + D.4π + 解析:该几何体是组合体,下面是底面直径为 2、高为 2 的圆柱,上面是底面边长为,侧棱长为 2 的正 四棱锥,该正四棱锥的高为,所以该几何体的体积为 2π +×() ×=2π +. 答案:C
2

1

4.(2016 广州高三模拟)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.8-2π C.8-

B.8-π D.83

解析:该几何体由一个棱长为 2 的正方体切去两个四分之一圆柱所得.所以其体积为 V=2 2×π ·1 ×2=8-π ,故选 B. 答案:B 5.三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA+PB=4,PC=1,则此三棱锥的体积( A.有最大值,无最小值 B.有最小值,无最大值 C.有最大值,无最小值 D.无最大值,也无最小值 解析:设 PA=x,则 PB=4-x,V=PA·PB·PC=x(4-x)=-(x-2) +,故 Vmax=,故选 C. 答案:C 6.已知圆台的母线长为 13 cm,两底面面积分别为 4π cm 和 49π cm ,则该圆台的体积 为
2 2 2 2

)

.
2 2

解析:如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD,由上、下底面面积分别为 4π cm ,49π cm 得,上 底半径 O1A=2 cm,下底半径 OB=7 cm,

2

又因为腰长为 13 cm,所以圆台的高 AM==12(cm), 所以圆台的体积 V 台=(S 上++S 下)h

=(4π ++49π )×12=268π (cm3).
答案:268π cm
3

7.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

.

解析:由三视图可知,该几何体下半部分为长方体,边长分别为 10,4,5,所以体积为 10×4×5=200. 上半部分为平放的半圆柱,上底半径为 3,高是 2,所以半圆柱的体积为×π ×3 ×2=9π ,所以该几何 体的体积为 200+9π . 答案:200+9π 8.已知一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积 正好相等,且液面高度 h 正好相同,求 h.
2

解:设圆锥形容器的液面的半径为 R,则液体的体积为 π R h,圆柱形容器内的液体体积为 π h. 根据题意,有 π R h=π h,解得 R=a.
2

2

3

再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得,所以 h=a. 9.如图(1)所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=6,E,F 分别为 CD,AB 边上的点,且 DE=3,BF=4,将△BCE 沿

BE 折起至△PBE 位置(如图(2)所示),连接 AP,PF,其中 PF=2.

(1)求证:PF⊥平面 ABED; (2)求点 A 到平面 PBE 的距离. (1)证明:连接 EF,由翻折的不变性可知,PB=BC=6,PE=CE=9. 在△PBF 中,PF +BF =20+16=36=PB ,
2 2 2

∴PF⊥BF.
在图(1)中,可得 EF=.

∵EF2+PF2=61+20=81=PE2, ∴PF⊥EF,
又 BF∩EF=F,BF? 平面 ABED,EF? 平面 ABCD,∴PF⊥平面 ABED. (2)解:由(1)知,PF⊥平面 ABED,

∴PF 为三棱锥 P-ABE 的高.
设点 A 到平面 PBE 的距离为 h. 因为 VA-PBE=VP-ABE,所以 S△PBEh=S△ABE·PF, 即×6×9×h=×12×6×2, 解得 h=. 10.

4

导学号 62180063 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,∠APD=90°. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PCD; (2)若 AB=BC=2,PB=PC=,求四棱锥 P-ABCD 的体积. (1)证明:因为四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,所以 CD⊥AD,又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面

ABCD=AD,CD? 平面 ABCD,所以 CD⊥平面 PAD.
所以 CD⊥PA. 又∠APD=90°,即 PA⊥PD,而 CD∩PD=D,所以 PA⊥平面 PCD. 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD. (2)解:作 PO⊥AD,垂足为 O,则 PO⊥平面 ABCD. 连接 OB,OC,则 PO⊥OB,PO⊥OC,因为 PB=PC, 所以 Rt△POB≌Rt△POC,所以 OB=OC. 依题意,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,由此知 O 是 AD 的中点. 在 Rt△OAB 中,AB=2,OA=1,则 OB=, 在 Rt△OPB 中,PB=,OB=,则 PO=1,故四棱锥 P-ABCD 的体积 V=AB ·PO=.
2

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