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巧用极化恒等式秒杀高考向量题


巧用极化恒等式秒杀高考向量题 冷世平整理
说明:由于前几天,大家经常提到极化恒等式,本人便收集整理 了一些相关资料,相对较系统,且加入了群里大家讨论的部分题 目,由于相当一部分内容非原创,所以只和大家分享一下自己整 理的好东西而已,故不作投稿使用。
高中数学中存在着大量等量关系,如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中 数学中常能见到这些等量关系的身影,这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门, 甚至课本上都不出现, 但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果, 实现对问题的快速 “秒杀” , 极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式 极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析,它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示,把这 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ( a ? b) ? ( a ? b) ? 个极化恒等式降维至二维平面即得: a ? b ? ? ? ,有时也可将其写成 4? ? ? ? ? 2 ? ? 2 4 a ? b ? ( a ? b) ? ( a ? b ) 。 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 a ?b ? ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? 注: ? 表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的 4? 另 一 种 定 义 ) , 是 沟 通 向 量 内 积 运 算 和 线 性 运 算 的 重 要 公 式 . 若 a, b 是 实 数 , 则 恒 等 式 1 a ?b ? ? ( a ? b) 2 ? ( a ? b) 2 ? ? 也叫“广义平方差”公式; 4? 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角 ? ? 1 ???? ? 2 ???? ?2 1 2 2 线”与“差对角线”平方差的 ,即 a ? b ? ? AD ? BC ? ? AM ? BM (如图) ? 4 4?

? ? ???? ? 2 ???? ? 2 ???? ? 2 1 ??? ?2 在三角形中,也可以用三角形的中线来表示, a ? b ? AM ? BM ? AM ? BC ,它揭示了三角 4 形的中线与边长的关系。 此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁,实现了向量与几何、代数的 巧妙结合。 2.极化恒等式的应用 自向量引入高中数学以后,由于它独特的性质(代数与几何的桥梁),在近几年全国各地的高考 中迅速成为创新题命制的出发点,向量试题有着越来越综合,越来越灵活的趋势,在浙江省数学高 考中尤为突出,也出现了一些非常精美的向量题。 ??? ? ???? 例 1 在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3, BC ? 10 ,则 AB ? AC ? ______ ( 2012 年浙江省数学高考理科试题第 15 题) ??? ? ???? ???? ? 2 1 ??? ? 【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例,因为 AB ? AC ? AM ? BC ? 9 ? 25 ? ?16 。 2 下面我们再来看 2013 年浙江省数学高考选择题第 7 题: 1 例 2 设 ?ABC , P0 是边 AB 上一定点,满足 P0 B ? AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 4
1

??? ? ??? ? ???? ???? PB ? PC ? P0 B ? P0C ,则
D. AC ? BC ( 2013 年浙江省数学高考选择题第 7 题) 【分析】考生普遍反映该题无从入手,笔者认为主要原因有 2 个:⑴该题呈现方式比较新颖;⑵学生 解题工具使用不当,以致费时费力且不得要领。 【解析 1】如图,

A.?ABC ? 90?

B.?BAC ? 90?

C. AB ? AC

??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 取 BC 的中点 D ,连接 PD, P0 D ,在 ?PBC 内使用极化恒等式得 PB ? PC ? PD ? BD ,在 ?P0 BC 内 ??? ? ???? ? ???? ???? ???? ? 2 ??? ?2 使用极化恒等式得 P0 B ? P0C ? P0 D ? BD ,由条件知恒有 PD ? P0 D ,即 P0 D ? AB ,故 AC ? BC ,
故选 D 。 【解析 2】如图,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 2 ??? ?2 取线段 BC 的中点 M ,则 4 PB ? PC ? ( PB ? PC ) 2 ? 4( PB ? PC ) 2 ? 4 PM ? BC ,要使 PB ? PC 的 ???? ? ???? ? 值最小,只需 PM 取得最小值,所以只有当 MP ? AB 时, PM 取得最小值,且点 P 与点 P0 必须重
合, M 是线段 BC 的中点,只有 AC ? BC 时才能成立,故选 D 。 很多一线教师都认为这个题目在 10 个选择题中是最难的, 应该放在压轴的位置, 笔者却不这样认为, 其实这个题目只是在例 1 的基础上对极化恒等式的应用灵活化, 步子迈得更大一些而己, 这个题目的 姊妹题也出现在 2013 年浙江省高中数学联赛中: 例 3 如图,已知直线 AB 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于点 A, B, M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动点,若

???? ? ???? ? ??? ? ??? ? C0 满足 C0 A ? C0 B ? min CA ? CB ,则下列一定成立的是(

?

?



A.C0 M ? AB
C.C0 A ? C0 B

B.C0 M ? l ,其中 l 为抛物线过点 C0 的切线 1 D.C0 M ? AB 2 ( 2013 年浙江省高中数学联赛试题)

2

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? 【解析 1】由 C0 A ? C0 B ? min CA ? CB 得 CA ? CB ? C0 A ? C0 B ⑴,由极化恒等式知式⑴等价于 ???? ? 2 ???? ? 2 ????? ? 2 ???? ?2 ???? ? 2 ????? ?2 CM ? AM ? C0 M ? AM ,即 CM ? C0 M ,即抛物线 y 2 ? 4 x 上所有点到 M 的距离最近的点即

?

?

C0 ,故以 M 为圆心, MC0 为半径的圆与抛物线内切,故选 B 。 ??? ? ??? ? ???? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 【解析 2】 4CB ? CA ? 4 CM ? AB ,因为 AB 给定,显然要使 CB ? CA 最小,只需 CM 最小,即
C0 M ? l ,其中 l 是抛物线过点 C0 的切线。 需要说明的是,命题组并没有说明 l 是一条什么样的直线,其实直线 l 是:当以定点 M 为圆心的圆与 抛物线 y 2 ? 4 x 相切时的公切线。 ??? ? ???? 例 4 在正 ?ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? ______ ( 2011 年上海市数学高考试题第 11 题) 【分析】这是极化恒等式的直接变式范例。 【解析】设 BD 的中点为 E ,则 ??? ? ???? 15 ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ?2 ???? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ? 3 ? 4 AB ? AD ? 4 AE ? BD ? 4 AO ? OE ? BD ? 4 ?( 3) 2 ? 1? ? 12 ? 30 ,则 AB ? AD ? 。 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 5 已知 a, b 是平面内 2 个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最大值是
( )

A.1

B.2

C. 2

D.

2 2

( 2008 年浙江省数学高考理科试题第 9 题) 【解析】本题从表面上看似乎和“极化恒等式”并没有关系,事实上,根据“极化恒等式”有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? a?b 2 a ?b 2 ? ? ? 4( a ? c) ? (b ? c) ? ? ?(a ? c) ? (b ? c) ? ? ? (a ? c) ? (b ? c) ? ,从而 (c ? 2 ) ? ( 2 ) 。 如图,

? ? ? ? ? ? ???? ???? a ? b ???? ? a ? b a ? b 2 1 OD ? , DC ? c ? ?( ) ? ,上式表明, DC 是有固定起点,固定模长的动向量,即 2 2 2 2 ? 2 点 C 的轨迹是以 D 为起点, 以 为半径的圆, 因此,c 的最大值就是该轨迹圆的直线 2 , 故选 C 。 2 事实上,类似的问题时有看到,只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式” ,或在无意中使用 “极化恒等式” 。 ???? ??? ? 例 6 在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3, D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ? _____ ( 2007 年天津市数学高考文科试题第 15 题) ??? ? ???? ???? ??? ? AB ? AC ???? ??? ? 1 ???? 2 ??? ?2 5 ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB ) ? 。 【解析】根据“极化恒等式”有 AD ? BC ? 2 2 2 本题的解决涉及到三角形的边及中线的关系,这可以看作是 2013 年浙江省数学高考试题第 7 题 的最初原型。 例 7 设正方形 ABCD 的边长为 4 ,动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 ? APB 上(如图所示),则 ??? ? ??? ? PC ? PD 的取值范围是

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? 设 OA ? OB ,且 OA ? a, OB ? b, OC ? c, D 为线段 AB 的中点,显然

3

例 8 在 ?ABC 中,点 E , F 分别是线段 AB, AC 的中点,点 P 在直线 EF 上,若 ?ABC 的面积为 2 , ??? ? ??? ? ??? ?2 则 PC ? PB ? BC 的最小值是 ( 2012 年江苏省南京市数学高考模拟试题)

【解析】取 CD 中点 E ,联结 PE ,在 ?PDC 内使用极化恒等式得 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? PC ? PD ? PE ? ED ? PE ? CD ? PE ? 4 , 由图可知,PE ? ? 2, 2 5 ? , 故 PC ? PD ? ? 0,16? 。 ? ? 4

【分析】如图,取 BC 的中点 D ,在 ?PBC 内使用极化恒等式得 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 3 ??? ?2 PC ? PB ? PD ? BD ? PD ? BC ,从而 PC ? PB ? BC ? PD ? BC ,因为 ?ABC 的面积 4 4 4 2 2 为 2 ,所以 ?ABC 的高 h ? ,又 EF 为 ?ABC 的中位线,故 ?PBC 的高为 ,从而 PD ? , BC BC BC ??? ? ??? ? ??? ?2 ?2 4 3 ??? 4 因此 PC ? PB ? BC ? ??? ? 2 ? BC ? 2 3 ,当且仅当 PD ? BC , BC ? 4 时等号成立。 4 3 BC 例 9 如图,在半径为 1 的扇形 AOB 中, ?AOB ? 60?, C 为弧上的动点, AB 与 OC 交于点 P ,则

??? ? ??? ? OP ? BP 的最小值为

【解析】如图,

4

? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 取 OB 的中点 D ,作 DE ? AB 于点 E ,根据极化恒等式 a ? b ? ? ( a ? b ) ? ( a ? b) ? ? 可知, 4? ??? ?2 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ?2 1 ? ? ?(2 PD) 2 ? BO ? ? PD ? ,易知 ( PO PB ) ( PO PB ) OP ? BP ? PO ? PB ? ? ? ? ? ? 4? ? 4? 4 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 1 ? 1 1 ? ? 3 3? 1 PD ? ? DE , AD ? ? ? , ? ,则 OP ? BP ? PD ? ? ? ? , ? ,故 OP ? BP 的最小值为 ? 。 ? ? 16 4 ? 16 2 ? ? 4 2 ? ??? ? ??? ? 其实本题只需要等边三角形 AOB 的条件, 外面的圆弧完全没用, 本题还可以求 OP ? BP 的取值范围。
例 10 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 顶点分别在 x 轴, y 轴正半轴 (含原点) 滑动, 则 OB ? OC 的最大值为

??? ? ????

【解析】取 BC 中点为点 E ,连接 OB, OC ,如图所示:

??? ? ???? ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 2 ??? ?2 1 由 极 化 恒 等 式 可 知 , 4OB ? OC ? OB ? OC ? OB ? OC ? 4 OE ? 1 ? 4(1 ? ) 2 ? 1 ? 8 , 因 而 有 2 ??? ? ???? OB ? OC ? 2 。 3.极化恒等式带来的反思
5

???? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? ⑴极化恒等式源于教材又高于教材,在 ?ABC 中, AD ? ( AB ? AC ), BD ? ( AC ? AB ) 是课本上出 2 2 现的 2 个重要的向量三角关系,而极化恒等式无非就是这 2 个公式的逆用; ⑵具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单,让“秒杀向量”成为另一种可能; ⑶向量是连接代数与几何的桥梁,由于向量的坐标运算引入,向量与代数的互换运算可以说是深入 人心,而与几何的运算联系略显单薄,而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾,可以说极化恒等式应该 是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致; ⑷实际上, “极化恒等式”在空间中同样可以发挥作用,下面举 2 个例子。 例 11 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, MN 是它内切球的一条弦(把球面上任意 2 个点之间的线
段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦 MN 最长时, PM ? PN 的最大值为_ ???? ? ???? ??? ?2 【解析】设球心为 O ,球半径为 R ,则 R ? 1 ,根据极化恒等式,得 4 PM ? PN ? 4 PO ? (2 R ) 2 ??? ? ??? ?2 ? 4 PO ? 4 , 因为 P 为正方体表面上的动点, 所以 PO 的最大值为正方体对角线长的一半, 即 3, ???? ? ???? 于是 PM ? PN 的最大值为 2 。 ??? ? ??? ? 例 12 点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 A1 B1C1 D1 上一点,则 PA ? PC 的取值范围是 _ ( 2013 年北京市朝阳区高三数学二模试题) ??? ? ??? ? ???? ? 2 ???? 2 ???? ?2 【解析】设 AC 的中点为 M ,根据“极化恒等式”得 4 PA ? PC ? 4 PM ? AC ? 4 PM ? 2 ,因为

???? ? ????

???? ? 3 ? ??? ? 1 ??? 1 ? PM ? ,所以 ? PA ? PC ? 1 。 2 2 用极化恒等式“秒杀”有关向量试题,不论是平面还是空间,还有更多的案例,限于篇幅,不 再举例。最后,笔者要说的是,我们研究用极化恒等式“秒杀”一类高考向量试题,并不是追求高 难度的解题技巧,而是着意解题工具的选择,着意于数学问题的理解,揭示问题的本质,看出题目 的结果,以达到快速解答的目的。 参考文献: [1] 王红权、李学军、朱成万.巧用极化恒等式,妙解一类向量题. 中学教研(数学),2013 [2] 单长松.平面向量中不得不提的一个恒等式.中学教研(数学),2014

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