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数学:1.1.2《余弦定理》课件(1)(新人教B版必修5)


1.1.2 余弦定理 课件

1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,

a sin A

=

b sin B

=

c sin C

=2R(R为△ABC外接圆半径)

2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和 角。

在Rt△ABC中(若C=90?)有: c 2 ? a 2 ? b 2 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹 角还有什么关系呢?

对于任意一个三角形来说,是否可以根据一个角和 夹此角的两边,求出此角的对边? 、 b
b
2

[推导] 如图在 ? ABC 中, 、 、 BC CA AB 的长分别为a ? AC ? AB ? BC

、 c
C



? AC ? AC ? ( AB ? BC ) ? ( AB ? BC )

? AB

2

a c B

? 2 AB ? BC ? BC

A
?

? AB
2

2

? 2 | AB | ? | BC | cos( 180
2

? B ) ? BC

2

? c ? 2 ac cos B ? a
即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ac cos B 同理可证 a
2 2 2

? b ? c ? 2 bc cos A

c

2

? a

2

? b ? 2 ab cos C
2

1.余弦定理 :三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即a

2

? b ? c ? 2 bc cos A ?
2 2

cos A ?
cos B ?
cos C ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc
c ?a
2 2

b
c

2

? c ?a
2

2

? 2 ac cos B ?

?b

2

2

? a

2

2 ? b ? 2 ab cos C ?

a

2

2 ca 2 2 ?b ?c
2 ab

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。

例1在Δ ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.
b ?c ?a
2 2 2

解:∵ cos A ?

2 bc
2 2

=0.725,



A≈44°

∵cos C ?

a

2

?b ?c 2 ab

=0.8071,

∴ C≈36°,

∴ B=180°-(A+C)≈100.

(∵sinC=

c sin A a

≈0.5954,∴ C ≈ 36°或144°(舍).)

例2在Δ ABC中,已知a=2.730,b=3.696,C=82°28′,解这个 三角形.

解:由 c

2

? a ? b ? 2 ab cos C ,得 c≈4.297.
2 2

∵ cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc

≈0.7767, ∴

A≈39°2′,

∴ B=180°-(A+C)=58°30′. (∵sinA=


a sin C c

≈0.6299∴

A=39°或141°(舍).)

例 3 Δ ABC三个顶点坐标为A(6,5)、B(-2,8)、C(4,1),求角A. 解法一:
B
8 7

∵ |AB| =

[ 6 ? ( ? 2 )] ? ( 5 ? 8 )
2

2

?

73

6

5

A

|BC| = ( ? 2 ? 4 ) ? ( 8 ? 1) ?
2 2

4

85
-4 -2

3

2

|AC| = ( 6 ? 4 ) 2 ? ( 5 ? 1) 2 ? 2 5
cos A ? AB
2

1

C
2 4 6 8

? AC

2

? BC

2

?

2 365

2 AB ? AC

∴ A≈84°.

解法二:∵ AB =(–8,3), =(–2,–4). AC
∴ cosA=
AB ? AC AB ? AC

=

(?8) ? (?2) ? 3 ? (?4) 73 ? 2 5

?

2 365

,∴ A≈84°.

1.在△ABC中,bCosA=acosB,则三角形为( C )? A.直角三角形 B.锐角三角形?C.等腰三角形?D.等边三角形

解法一:利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA=acosB?,∴b·
b ?c ?a
2 2 2

? a?

a

2

?c ?b
2

2

2 bc

2 ac

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2?,∴a2=b2?,∴a=b, 故此三角形是等腰三角形. 解法二:利用正弦定理将边转化为角.?∵bcosA=acosB? 又b=2RsinB,a=2RsinA?,∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0?∴sin(A-B)=0? ∵0<A,B<π ,∴-π <A-B<π ?,∴A-B=0 即A=B? 故此三角形是等腰三角形.?

2.在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC为 钝角三角形 ;若a2=b2+c2, 直角三角形 2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2, 则△ABC为 ;若a

则△ABC为

锐角三角形 。

3.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 等腰三角形 。? 4.在△ABC中,BC=3,AB=2,且
sin C sin B ? 2 5 ( 6 ? 1) ,A=



120°

2.在△ABC中,已知sinB·sinC=cos2 2 ,试判断此三角形的类型.

A

?

解:∵sinB·sinC=cos2

A 2

, ∴sinB·sinC=

1 ? cos A 2

∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C)] 将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC代入上式得? cosBcosC+sinBsinC=1, ∴cos(B-C)=1? 又0<B,C<π ,∴-π <B-C<π ?∴B-C=0 故此三角形是等腰三角形. ∴B=C

3 .在 ? ABC 中 , BC ? 1, ? B ? 当 ? ABC 的面积为

?
3

, .

3时 , tan ? C ? _____

解 : S ? ABC ?
2

1 2

AB ? BC ? sin ? B ?
2

1 2

AB ? 1 ?

3 2

?

3 ? AB ? 4 .

C

? AC

? AB

? BC 1 2
2

2

? 2 AB ? BC ? COS ? B ? AC ?
2

? 16 ? 1 ? 2 ? 4 ? 1 ?
Ac
2

? 13
? AB

13 .
? ? 13 13

A
B

? cos ? C ?

? BC

2 AC ? BC ? 13 ? ?? ? 1? ? 13 ? ? ?
2

?

13 ? 1 ? 16 2? 13 ? 1

? sin ? C ?

?

2 26 13

? tan ? C ?

sin ? B co s ? B

? ?2 3.

余弦定理及其应用
a
2

? b ? c ? 2 bc cos A
2 2

?

cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc
c ?a
2
2

b
c

2

? c ?a
2

2

? 2 ac cos B ? cos B ?

2

?b

2

2 ca
2

? a

2

? b ? 2 ab cos C ? cos C ?
2

a

?b ?c
2

2

2 ab


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