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指数函数、对数函数、幂函数增长比较1(优质课件)


指数函数、幂函数 对数函数增长的比较

一粒米的故事
从前,有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的 游戏,于是他决定奖赏国际象棋的发明者,满足他的一个心 愿. “陛下,我深感荣幸,我的愿望是你赏我一粒米.”发明者 说. “只是一粒米?”国王回答说. “是的,只要在棋盘的第 一格放上一粒米,在第二格放上两粒米,在第三个加倍放上 四粒米…以此类推,每

一格均是前一格的两倍,直到放慢棋 盘为止,这就是我的愿望.” 国王很高兴. “如此廉价便可以 换的如此好的游戏,我的祖辈们一定是恩泽于我了."国王想. 于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见 证我们的协议” ……

思考:国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?

指数函数
当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且对于x >0,当a越大时,其函数值的增长就越快。
y?3
x

y?2

x

对数函数
当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且对 于x>1,当a越小时,其函数值的增长就越快。
y
y=log2x y=log3x y=log5x O

(1,0)

x

幂函数
当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,并且对 于x>1,当n越大时,其函数值的增长就越快。
y=x2
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1

y y=x4

O 1

2

3

x

思考?
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增 长快慢有何差别呢? 比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢 y=x2

y=2x

16

对数函数 y=log2x增长最慢 幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替 进行 在(0,2),幂函数比指数函数增长快在 (4,+∞),指数函数比幂函数增长快

4
2 4

y=log2x

对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似 值)比较 借 助 计 算 器 完 成 右 表
y=2x ·· · ·· · 1 2 1.007 004 4 2.009 733 8 10 1 024 100 1.27×1030 300 2.04×1090 500 3.27×10150 700 5.26×10210 900 8.45×10270 996 6.70×10299 1 000 1.07×10301 1 100 1.36×10331 1 200 1.72×10361

自变量x

函数值
y=x100(x>0) ·· · 1 2.009 725 8 10100 10200 5.15×10247 7.89×10269 3.23×10284 2.66×10295 6.70×10299 10300 1.38×10304 8.28×10307 y=log2x ·· · 0 0.010 071 0 3.321 928 1 6.643 856 2 8.228 818 7 8.965 784 3 9.451 211 1 9.813 781 2 9.96 9.965 784 3 10.1032878 10.2288187

x 的 变

函数值的变化量
y=2x
y=x100(x>0 )
10100-1 10200

化 区 间

y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1

1023 (1,10) 1.27 (10,100) 利用上表完成右表 ×1030

(100,300) (300,500) (500,700)

2.04×1090

5.15×10247 1.584 962 5

3.27×10150 7.89×10269 0.736 965 6 5.26×10210 3.23×10284 0.485 426 8

(700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)

8.45×10270 2.66×10295 0.362 570 1
1.07×10301 10300 0.152 003 1

1.36×10331 1.38×10304 0.137 503 5 1.72×10361 8.28×10307 0.125 530 9

对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似 值)比较 1、随着x的值越大,y=log2x的函数值增长的越 来越慢,y=2x和y=x100的函数值增长的 越来越快 y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。

2、对函数y=2x和y=x100而言 在x比较小时,会存在y=x100比y=2x的增长快 的情况。 当x比较大时,y=2x比y=x100增长得更快。
9

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,当x足够大时, 随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过 并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速 度则越来越慢. 因此,总会存在一个x0,. 使得当x>x0时,一定有ax>xn>logax
指数函数值长非常快,因而常称这种现象为 “指数爆炸”

例1、 假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天 多回报10元; 方案三:第一天回报0 .4元,以后每天的回报 比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

分析

令第x天,回报为y元 方案一: y=40 方案二: y=10x(x∈N+) 方案三: y=2x-1·0.4(x∈N+)

? 投资5天以下选方案一 ? 投资5-8天以下选方案二 ? 投资8天以上选方案三

x/天 方案一 方案二 方案三

1 40 10 0.4

2 40 20 0.8

3 40 30 1.6

4 40 40 3.2

5 6 7 8 9 10 11 ... 40 40 40 40 40 40 40 ... 50 60 70 80 90 100 110 ... 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 ...

例2、0.32,log20.3,20.3这三个数之间 大小关系是( D ) A. 0.32<20.3<log20.3; B. 0.32<log20.3<20.3; C. log20.3<20.3<0.32; D. log20.3<0.32<20.3;

再见


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