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福建省厦门二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


福建省厦门二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)不等式 x ≥2x 的解集是() A.{x|x≥2} B.{x|x≤2} 2. (5 分)数列:
2

C.{x|0≤x≤2}

D.{x|x≤0 或 x≥2}

的一个通项公式为()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)在△ ABC 中,a=1,b= A. B. 或

,∠A=

,则∠B 等于() C. 或 D.

4. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此类 推,那么第十五排的座位个数是() A.27 B.33 C.45 D.51 5. (5 分)不等式 x﹣2y+6>0 表示的区域是在直线 x﹣2y+6=0 的() A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方 6. (5 分)若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是() A. C. B. a >b
2 2

D.a|c|>b|c|

7. (5 分)在△ ABC 中,若(a+c) (a﹣c)=b(b+c) ,则∠A=() A.90° B.60° C.120° D.150° 8. (5 分)不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R,则() A.a<0,△ <0 B.a<0,△ ≤0 C.a>0,△ ≥0 9. (5 分)已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11=() A.36 B.30 C.24 10. (5 分)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 的最小值为()
2

D.a>0,△ ≤0

D.18

A.6

B. 5

C.

D.

11. (5 分)已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为() A.15 B.17 C.19 D.21

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为()

A.10

B.﹣10

C. 6

D.﹣6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. (4 分)不等式 <0 的解集是.

14. (4 分)在△ ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ ABC 的形状是. 15. (4 分)数列 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,…,的前 n 项之和等于.

16. (4 分)观察如图的三角数阵,该数阵第 20 行的所有数字之和为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)解下列不等式: 2 (1)﹣x +x<4; (2) (3x﹣4)x+1<0. 18. (12 分)在△ ABC 中,已知 ,b=2,C 为锐角,△ ABC 的面积 S= ,求第三边 c.

19. (12 分)等比数列{an}中,已知 a2=2,a5=16 (1)求数列{an}的通项 an (2)若等差数列{bn},b1=a5,b8=a2,求数列{bn}前 n 项和 Sn,并求 Sn 最大值. 20. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC 1)求角 C 大小;

(2)求

sinA﹣cos(B+

)的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

21. (12 分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的 深度一定(平面图形如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单 2 价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池 的长与宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

22. (14 分)若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 整数 m. ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立的最大正
*

福建省厦门二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)不等式 x ≥2x 的解集是() A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}
2

C.{x|0≤x≤2}

D.{x|x≤0 或 x≥2}

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 解方程 x ﹣2x=0,得 x1=0,x2=2,由此能求出不等式 x >2x 的解集. 2 解答: 解:∵x ≥2x, 2 ∴x ﹣2x≥0. 2 解方程 x ﹣2x=0,得 x1=0,x2=2, 2 ∴不等式 x ≥2x 的解集是{x|x≤0 或 x≥2}. 故选:D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2. (5 分)数列:

的一个通项公式为()

A.

B.

C.

D.

考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 设 cn={1,﹣1,1,﹣1,…}={(﹣1)
n+1

},

={ },则

{

}={cn?bn}={
n+1

}. },

解答: 解:设 cn={1,﹣1,1,﹣1,…}={(﹣1) ={ },

∴{

}={cn?bn}={

},

故选 B. 点评: 本题考查数列的递推公式,解题时要认真审题,仔细解答. 3. (5 分)在△ ABC 中,a=1,b= A. B. 或

,∠A=

,则∠B 等于() C. 或 D.

考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 首先根据正弦定理解得 sinB= 解答: 解:已 a=1,b= 利用正弦定理知: 解得:sinB= 由于 a<b 所以:B= 故选:B 点评: 本题考查的知识要点:正弦定理的应用,特殊角的三角函数值. 4. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此类 推,那么第十五排的座位个数是() A.27 B.33 C.45 D.51 ,∠A= , ,进一步根据 a<b,解得 B 的值.

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 观察座位数的特征:5,7,9.它们的后一项与前一项的差为同一个常数,是等差数 列,从而依据等差数列的通项公式即可求出第 15 项即可. 解答: 解:由于第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位, ∴5,7,9,…构成一个等差数列, 第十五排的座位个数是它的第 15 项, ∴第十五排的座位个数是 5+(15﹣1)×2=33. 故选 B. 点评: 本小题主要类比推理、等差数列的应用、等差数列通项公式等基础知识,考查运算 求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 5. (5 分)不等式 x﹣2y+6>0 表示的区域是在直线 x﹣2y+6=0 的() A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题. 分析: 画出直线方程,通过特殊点(0,0)判断不等式表示的区域即可. 解答: 解:如图,因为(0,0)满足不等式 x﹣2y+6>0,所以不等式表示的区域是 直线 x﹣2y+6=0 的右下方. 故选 D.

点评: 本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,牢记直线定边界,特殊点定区域的方 法. 6. (5 分)若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是() A. C. B. a >b
2 2

D.a|c|>b|c|

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题.

分析: 本选择题利用取特殊值法解决,即取符合条件的特殊的 a,b 的值,可一一验证 A, B,D 不成立,而由不等式的基本性质知 C 成立,从而解决问题. 解答: 解:对于 A,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 B,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 D,取 c=0,即知不成立,故错; 2 对于 C,由于 c +1>0,由不等式基本性质即知成立,故对; 故选 C. 点评: 本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质 等基础知识,属于基础题. 7. (5 分)在△ ABC 中,若(a+c) (a﹣c)=b(b+c) ,则∠A=() A.90° B.60° C.120° D.150° 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 把已知的等式左边利用平方差公式化简,右边去括号化简,变形后得到 a,b 及 c 的 关系式,然后利用余弦定理表示出 cosA,把表示出的关系式代入即可求出 cosA 的值,由 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 解答: 解:由(a+c) (a﹣c)=b(b+c)变形得: 2 2 2 2 2 2 a ﹣c =b +bc,即 a =c +b +bc 根据余弦定理得 cosA= = =﹣ ,

因为 A 为三角形的内角,所以∠A=120°. 故选 C 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理的结构特点是 解本题的关键. 8. (5 分)不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R,则() A.a<0,△ <0 B.a<0,△ ≤0 C.a>0,△ ≥0
2

D.a>0,△ ≤0

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R,可得 a<0,△ <0. 2 解答: 解:∵不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R, ∴a<0,△ <0. 故选:A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与判别式的关系,属于基础题. 9. (5 分)已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11=() A.36 B.30 C.24 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

D.18

分析: 由条件利用等差数列的性质求得 a10=10,再根据 a9+a10+a11 =3a10 求得结果. 解答: 解:由条件利用等差数列的性质可得 a7+a13=20=2a10,∴a10=10, ∴a9+a10+a11 =3a10=30, 故选 B. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质应用,求得 a10=10 是解题的关键,属于中档题. 10. (5 分)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 A.6 B. 5 的最小值为() C. D.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 将原式子变形为 = + =1+ = + +2,使用基本不等式,求得最小值. + =1+ + +2

解答: 解:∵正数 x,y 满足 x+2y=1,∴ ≥3+2 =3+2 ,当且仅当

时,等号成立,

故选 C. 点评: 本题考查基本不等式的应用,变形是解题的关键和难点. 11. (5 分)已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为() A.15 B.17 C.19 D.21 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 4 分析: 由已知 q=2,a1+a2+a3+a4=1 可得 a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q ,从而可求等比数列 的前 8 项和 解答: 解:由题意可得,q=2,a1+a2+a3+a4=1 4 由等比数列的通项公式可得,a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q =16 所以,S8=1+16=17 故选:B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质:an=amq 运算.
n﹣m

,解决本题时利用该性质可以简化基本

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为()

A.10

B.﹣10

C. 6

D.﹣6

考点: 简单线性规划. 专题: 解题思想.

分析: 根据约束条件,作出平面区域,平移直线 2x+4y=0,推出表达式取得最小值时的点的 坐标,求出最小值.

解答: 解:作出不等式组

,所表示的平面区域

作出直线 2x+4y=0,对该直线进行平移, 可以发现经过点 C(3,﹣3)时 z 取得最小值﹣6; 故选 D.

点评: 本题主要考查线性规划中的最值问题,属于中档题,考查学生的作图能力,计算能 力, 在解决线性规划的小题时, 我们常用“角点法”, 其步骤为: ①由约束条件画出可行域?② 求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. (4 分)不等式 <0 的解集是{x|﹣4<x<2}.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 原不等式等价于(x﹣2) (x+4)<0,解此一元二次不等式可得. 解答: 解:不等式 <0 等价于(x﹣2) (x+4)<0,

解得﹣4<x<2,故解集为{x|﹣4<x<2} 故答案为:{x|﹣4<x<2} 点评: 本题考查分式不等式的解集,属基础题. 14. (4 分)在△ ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ ABC 的形状是锐角三角形. 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形.

分析: 因为 c 是最大边,所以 C 是最大角.根据余弦定理算出 cosC 是正数,得到角 C 是锐 角,所以其它两角均为锐角,由此得到此三角形为锐角三角形. 解答: 解:∵c=12 是最大边,∴角 C 是最大角 根据余弦定理,得 cosC= = >0

∵C∈(0,π) ,∴角 C 是锐角, 由此可得 A、B 也是锐角,所以△ ABC 是锐角三角形 故答案为:锐角三角形 点评: 本题给出三角形的三条边长,判断三角形的形状,着重考查了用余弦定理解三角形 和知识,属于基础题.

15. (4 分)数列 1 ,2 ,3 ,4

,5

,…,的前 n 项之和等于

+1﹣



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意得到数列的通项公式为:an=n+ ( ) ,分别求和即可. ,然后把和表示为=(1+2+3+…+n)+

解答: 解:由题意可知数列的通项公式为:an=n+ 故前 n 项之和为: (1 =(1+2+3+…+n)+( )+(2 )+(3 ) )+…+(n )

=

+

= 故答案为:

+1﹣ +1﹣

点评: 本题为数列的求和问题,得出数列的通项并正确用公式是解决问题的关键,属中档 题. 16. (4 分)观察如图的三角数阵,该数阵第 20 行的所有数字之和为 4010.

考点: 归纳推理;等差数列的前 n 项和. 专题: 推理和证明. 分析: 通过列举方法求解,类比推出第 20 行,首个数为 1+1+2+3+…+19,共有 20 个数,再 运用等差数列求解即可. 解答: 解:第 1 行,1 个数,首个为 1, 第 2 行,2 个数,首个为 1+1, 第 3 行,3 个数,首个为 1+1+2, 第 4 行,4 个数,首个为 1+1+2+3, 第 5 行,5 个数,首个为 1+1+2+3+4, … 归纳得出:第 20 行,20 个数,首个为 1+1+2+3+4+5+..+19=191, 第 20 行所有数之和为: =4010,

故答案为:4010. 点评: 本题考查了数列在数阵中的应用,观察推理能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)解下列不等式: (1)﹣x +x<4; (2) (3x﹣4)x+1<0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用一元二次不等式的解法求解(1)﹣x +x<4; (2) (3x﹣4)x+1<0.即可. 2 解答: 解: (1)原不等式可转化为 x ﹣x+4>0,…(2 分) 2 2 由方程 x ﹣x+4=0 的判别式△ <0 知方程 x ﹣x+4=0 无实数根,…(4 分) 2 2 由二次函数 y=x ﹣x+4 的图象知﹣x +x<4 的解集为 R.…(6 分) 2 (2)原不等式可转化为 3x ﹣4x+1<0,…(8 分) 即(x﹣1) (3x﹣1)<0,∴ ∴不等式的解集为 ,…(11 分) …(12 分)
2 2

点评: 本题考查二次不等式的解法,基本知识的考查. 18. (12 分)在△ ABC 中,已知 考点: 解三角形;正弦定理. ,b=2,C 为锐角,△ ABC 的面积 S= ,求第三边 c.

专题: 计算题. 分析: 根据三角形的面积公式, 再由由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 可求 解答: 解:根据三角形的面积公式可得, ∴ ∴ ∵C 为锐角∴C=30° 由余弦定理可得,c =a +b ﹣2abcosC= ∴c=2 点评: 本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理、余弦定理等公式在解题中的应用, 属于基础试题. 19. (12 分)等比数列{an}中,已知 a2=2,a5=16 (1)求数列{an}的通项 an (2)若等差数列{bn},b1=a5,b8=a2,求数列{bn}前 n 项和 Sn,并求 Sn 最大值. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: (1)由 a2=2,a5=16,得 q=2,解得 a1=1,从而得到通项公式. 2 (2)根据 b8﹣b1=7d 求出 d=﹣2,再求出数列{bn}前 n 项和 Sn =17n﹣n .利用二次函数的性 质可得当 n=8 或 9 时,Sn 有最大值. n﹣1 解答: 解: (1)由 a2=2,a5=16,得 q=2,解得 a1=1,从而 an=2 .…(6 分) (2)由已知得等差数列{bn},b1=a5 =16,b8=a2=2,设公差为 d,则有 b8﹣b1=7d, 即 2﹣16=7d,解得 d=﹣2. 故数列{bn}前 n 项和 Sn =n×16+ 由于二次函数 Sn 的对称轴为 n= =17n﹣n . …(10 分) ,n∈z,且对应的图象开口向下,…(12 分)
2 2 2 2 2 2 2

可求

,结合 C 为锐角可求 C,

∴当 n=8 或 9 时,Sn 有最大值为 72. …(14 分) 点评: 本题主要考查等等比数列的通项公式,等差数列的定义和性质,等差数列的通项公 式,前 n 项和公式的应用,二次函数的性质的应用,属于基础题. 20. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC 1)求角 C 大小; (2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

考点: 正弦定理的应用;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: (1)利用正弦定理化简 csinA=acosC.求出 tanC=1,得到 C= (2)B= ﹣A,化简 sinA﹣cos(B+ ) ,通过 0<A< ,推出

. <A+ < ,

求出 2sin(A+

)取得最大值 2.得到 A,B.

解答: 解: (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC, 因为 0<A<π,所以 sinA>0.从而 sinC=cosC, 又 cosC≠0,所以 tanC=1,C= (2)有(1)知,B= sinA﹣cos(B+ =2sin(A+ 因为 0<A< 从而当 A+ 2sin(A+ 综上所述 = ) . ,所以 ,即 A= <A+ 时 < , )= .

﹣A,于是 sinA+cosA

)取得最大值 2. sinA﹣cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B= .

点评: 本题是中档题,考查三角形的有关知识,正弦定理的应用,三角函数的最值,常考 题型. 21. (12 分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的 深度一定(平面图形如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单 2 价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池 的长与宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题: 应用题. 分析: 污水处理池的底面积一定,设宽为 x 米,可表示出长,从而得出总造价 f(x) ,利用 基本不等式求出最小值即可. 解答: 解:设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400×(2x+ 米. +12960

)+248×2x+80×162=1296x+

=1296(x+ 当且仅当 x=

)+12960≥1296×2×

+12960=38880(元) ,

(x>0) ,即 x=10 时,取等号.

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38880 元. 点评: 本题主要考查了建立函数解析式,利用基本不等式求函数最值的能力,同时考查了 运算求解能力,属于中档题. 22. (14 分)若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 整数 m. 考点: 数列的应用;等差数列的通项公式;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 S1,S2,S4 成等比数列,建立等式,从而 d=2a1,即可求等比数列 S1,S2, S4 的公比; (2)利用 S2=4,确定首项与公差,即可求{an}的通项公式; (3)利用裂项法求和,求出 Tn 的最小值,从而使得 Tn> ,即可求得最大正整数 m. 解答: 解: (1)∵数列{an}为等差数列,∴S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, ∵S1,S2,S4 成等比数列,∴ ∴ ∵公差为 d 不等于 0,∴d=2a1, ∴q= , ,∴ 对所有 n∈N 都成立,等价于 1>
*

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn>

对所有 n∈N 都成立的最大正

*

(2)∵S2=4,∴2a1+d=4, ∵d=2a1,∴a1=1,d=2, ∴an=2n﹣1 (3)∵ ∴ ∴(Tn)min=1 使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立,等价于 1>
*

+…+

=

,∴m<20

∴m 的最大值为 19.

点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查数列与不等式 的联系,属于中档题.


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