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平面向量经典习题-提高篇


平面向量:
1. 已知向量 a=(1,2),b=(2,0),若向量 λa+b 与向量 c=(1,-2) 共线,则实数 λ 等于( A.-2 C.-1 [答案] C [解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa+b 与 c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3)

,若 a+2b 与 c 垂直,则 k=( A.-1 C.-3 [答案] C [解析] a+2b=( 3,1)+(0,2)=( 3,3), ∵a+2b 与 c 垂直,∴(a+2b)· c= 3k+3 3=0, ∴k=-3. (理)已知 a=(1,2),b=(3,-1),且 a+b 与 a-λb 互相垂直,则 实数 λ 的值为( 6 A.-11 6 C.11 [答案] C [解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),
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) 1 B.-3 2 D.-3

) B.- 3 D.1

) 11 B.- 6 11 D. 6

∵a+b 与 a-λb 垂直, 6 ∴(a+b)· (a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=11. 3. 设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量 a、b 间的 夹角为( A.150° C.60° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD 为正三角形, ∴∠BAD=60° ,∴〈a,b〉=120° ,故选 B. ) B.120° D.30°

3 (理)向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 60° ,则 |b|=( 1 A.2 1 C.4 [答案] A 3 3 [解析] ∵|a-b|= 2 ,∴|a|2+|b|2-2a· b=4,
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) 1 B.3 1 D.5

∵|a|=1, 〈a,b〉=60° , 3 1 设|b|=x,则 1+x2-x=4,∵x>0,∴x=2. →· → +AB → 2=0,则△ABC 必定是( 4. 若AB BC A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B →· → +AB → 2=AB →· → +AB → )=AB →· → =0,∴AB → ⊥AC →, [解析] AB BC (BC AC ∴AB⊥AC,∴△ABC 为直角三角形. 5. (文)若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则用 a,b 表示 c 为( ) B.a-3b D.-3a+b )

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.-a+3b C.3a-b [答案] B

[解析] 设 c=λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),
? ? ?λ+μ=-2 ?λ=1 ? ∴ ,∴? ,∴c=a-3b,故选 B. ? ? ?λ-μ=4 ?μ=-3

(理)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O,E 是线段 OD 的 → =a, → =b, → 等于( 中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若AC BD 则AF 1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b [答案] B → =3ED →, [解析] ∵E 为 OD 的中点,∴BE 2 1 B.3a+3b 1 2 D.3a+3b )

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|AB| |EB| ∵DF∥AB,∴|DF|=|DE|,

1 2 2 ∴|DF|=3|AB|,∴|CF|=3|AB|=3|CD|, → =AC → +CF → =AC → +2CD → =a+2(OD → -OC →) ∴AF 3 3 21 1 2 1 =a+3(2b-2a)=3a+3b. →· → 的值 6. 若△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB BC 为( A.19 C.-18 [答案] D [解析] 72+52-62 19 →· → =|AB → |×|BC → 据已知得 cosB= = ,故AB BC 2×7×5 35
? ?

) B.14 D.-19

? 19? |×(-cosB)=7×5×?-35?=-19.

7. 若向量 a=(x-1,2), b=(4, y)相互垂直, 则 9x+3y 的最小值为( A.12 C.3 2 [答案] D [ 解析 ] B.2 3 D.6

)

a· b = 4(x - 1) + 2y = 0 ,∴ 2x + y = 2 ,∴ 9x + 3y = 32x +

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1 3y≥2 32x+y=6,等号在 x=2,y=1 时成立. 8. 若 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,若 O 不在 l 上,存在实数 → +xOB → +BC → =0,实数 x 为( x 使得 x2OA A.-1 -1+ 5 C. 2 [答案] A [解析] → +xOB → +OC → -OB → =0,∴x2OA → +(x-1)OB → +OC →= x2OA B.0 1+ 5 D. 2 )

0,由向量共线的充要条件及 A、B、C 共线知,1-x-x2=1,∴x=0 → =0,与条件矛盾,∴x=-1. 或-1,当 x=0 时,BC →· →+ 9. (文)已知 P 是边长为 2 的正△ABC 边 BC 上的动点,则AP (AB → )( AC ) B.最小值为 2 D.与 P 的位置有关

A.最大值为 8 C.是定值 6 [答案] C

[解析] 以 BC 的中点 O 为原点,直线 BC 为 x 轴建立如图坐标 → +AC → =(-1,- 3)+(1,- 系,则 B(-1,0),C(1,0),A(0, 3),AB 3)=(0,-2 3), → =(x,- 3), 设 P(x,0),-1≤x≤1,则AP →· → +AC → )=(x,- 3)· ∴AP (AB (0,-2 3)=6,故选 C.

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→· → =-1, (理)在△ABC 中,D 为 BC 边中点,若∠A=120° ,AB AC → |的最小值是( 则|AD 1 A.2 C. 2 [答案] D →· → =-1, [解析] ∵∠A=120° ,AB AC → |· → |· ∴|AB |AC cos120° =-1, → |· → |=2, ∴|AB |AC → |2+|AC → |2≥2|AB → |· → |=4, ∴|AB |AC → =1(AB → +AC → ),∴|AD → |2=1(|AB → |2+|AC → ∵D 为 BC 边的中点,∴AD 2 4 →· → )=1(|AB → |2+|AC → |2-2)≥1(4-2)=1, |2+2AB AC 4 4 2 → |≥ 2. ∴|AD 2 10. 如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的图象的最高 ) 3 B.2 2 D. 2

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→· → =0, 点, M, N 是该图象与 x 轴的交点, 若PM PN 则 ω 的值为(

)

π A.8 C.4 [答案] B

π B.4 D.8

→· → =0,∴PM⊥PN,又 P 为函数图象的最高点, [解析] ∵PM PN M、N 是该图象与 x 轴的交点,∴PM=PN,yP=2,∴MN=4,∴T 2π π = ω =8,∴ω=4. 11. 如图, 一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB, AD 分别交于 E、 → =1AB →, → =1AD → AK → =λAC →, F 两点, 且交其对角线于 K, 其中AE AF 3 2 , 则 λ 的值为( )

1 A.5 1 C.3 [答案] A

1 B.4 1 D.2

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[解析] 如图,取 CD 的三等分点 M、N,BC 的中点 Q,则 EF → = AC → ,∴λ= . ∥DG∥BM∥NQ,易知AK 5 5 1 1

12. 已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+4b 与 a-2b 共线,则 m 的值为( 1 A.2 C.-2 [答案] C [解析] ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 由条件知(2m-4)· (-1)-(3m+8)×4=0, ∴m=-2,故选 C. → =2MA → ,则 13. 在△ABC 中,C=90° ,且 CA=CB=3,点 M 满足BM →· → 等于( CM CB A.2 C.4 [答案] B ) B.3 D.6 ) B.2 1 D.-2

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→· → [解析] CM CB → +AM → )· → =(CA CB → +1AB → CB → =(CA 3 )· →· → +1AB → CB → =CA CB 3 · 1→ → =3|AB |· |CB|· cos45° 1 2 =3×3 2×3× 2 =3. →· → 14. 在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则AB AD =________. [答案] 15 2

→ |=|AC → |=|BC → |=3, →, →〉 →, [解析] 由条件知, |AB 〈AB AC =60° , 〈AB → 〉=60° → =2CB → CB ,CD 3 , 2→ 2 →· → =AB →· → +CD → )=AB →· → +AB →· ∴AB AD (AC AC CB = 3 × 3 × cos60° + 3 3 15 ×3×3×cos60° =2.

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15. 已知向量 a = (3,4), b= (-2,1),则 a 在 b 方向上的投影等于 ________. 2 5 [答案] - 5 a· b -2 2 5 [解析] a 在 b 方向上的投影为 = =- 5 . |b| 5 2π 16. 已知向量 a 与 b 的夹角为 3 ,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a, 则实数 λ=________. [答案] 1 2π [解析] ∵〈a,b〉= 3 ,|a|=1,|b|=4,∴a· b=|a|· |b|· cos〈a, 2π b〉=1×4×cos 3 =-2,∵(2a+λb)⊥a,∴a· (2a+λb)=2|a|2+λa· b =2-2λ=0,∴λ=1. → |=1,|OB → |= 3,OA →· → =0,点 C 在∠AOB 内,且∠ 17. 已知:|OA OB → =mOA → +nOB → (m,n∈R+),则m=________. AOC=30° ,设OC n [答案] 3 → =OF → ,nOB → =OE → ,则OC → =OF → +OE →, [解析] 设 mOA

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→ |· → |=m|OA → |=m, ∵∠AOC=30° ,∴|OC cos30° =|OF → |· → |=n|OB → |= 3n, |OC sin30° =|OE → |cos30° m |OC 1 m 两式相除得: = =tan30° = 3,∴ n =3. → |sin30° 3n |OC 18. (文)设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴 → =-2i+j,OB → =4i+3j,则△ 正方向相同的两个单位向量,且OA OAB 的面积等于________. [答案] 5 →· → =(-2i+j)· [解析] 由条件知,i2=1,j2=1,i· j=0,∴OA OB (4i →· → =|OA → |· → |· → ,OB → 〉=5 5cos +3j)=-8+3=-5,又OA OB |OB cos〈OA → ,OB →〉 〈OA , → ,OB → 〉=- 5,∴sin〈OA → ,OB → 〉=2 5, ∴cos〈OA 5 5 1→ → → ,OB → 〉=1× 5×5×2 5=5. ∴S△OAB=2|OA |· |OB|· sin〈OA 2 5 19. 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x). (1)若 a⊥b,求 x 的值. (2)若 a∥b,求|a-b|.
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[解析] (1)若 a⊥b, 则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0, 整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 则 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2, 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)| = ?-2?2+02=2, 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), ∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)| = 22+?-4?2=2 5.

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