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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》评估训练


双基达标
1.下列量不是向量的是( A.力 B.速度 C.质量 ).

?限时 20 分钟?

D.加速度

解析 质量只有大小,没有方向,不是向量. 答案 C 2.下列说法错误的是( ).

→ → A.向量AB与BA的长度相等 B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同 C.只有零向量的模等于 0 D.零向量没有方向 解析 零向量的方向是任意的,不能理解为没有方向. 答案 D → 3.设 O 为坐标原点,且|OM|=1,则动点 M 的集合是( A.一条线段 C.一个圆 ).

B.一个圆面 D.一个圆弧

解析 动点 M 到原点 O 的距离等于定长 1,故动点 M 的轨迹是以 O 为圆心,1 为半径的圆. 答案 C 4.若对任意向量 b,均有 a∥b,则 a 为________. 解析 0 与任意向量平行,故 a=0. 答案 0 5.如图所示,四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形.

→ (1)与向量ED相等的向量有________;

→ → (2)若|AB|=3,则向量EC的模等于________. → → → 解析 由题意知 AB∥EC,且 D 是 EC 的中点.与向量ED相等的向量有AB,DC. → → 由于|AB|=3,所以|EC|=6. → → 答案 (1)AB,DC (2)6

→ → 6.在四边形 ABCD 中,AB=DC,N,M 是 AD,BC 上的点,且 DN=MB. → → 求证:CN=MA. → → → → 证明 ∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且 AB∥DC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形∴CB=DA, ∵DN=MB,∴CM=NA, 又∵CM∥NA,∴四边形 CNAM 是平行四边形,∴CN 綉 MA, → → → → 又CN与MA方向相同,∴CN=MA.

综合提高
7.下列命题:

?限时 25 分钟?

(1)若 a 是单位向量,b 也是单位向量,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → (2)若向量AB是单位向量,则向量BA也是单位向量; (3)以坐标平面上的定点 A 为起点,所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心 的单位圆. 其中正确的个数为( A.0 ). B.1 C.2 D.3

解析 由单位向量的定义知, 凡长度为 1 的向量均称为单位向量,对方向没有任 → → → → 何要求,故(1)不正确;因为|AB|=|BA|, 所以当AB是单位向量时,BA也是单位向 → → 量,故(2)正确;由于向量AP是单位向量,故|AP|=1,所以点 P 是以 A 为圆心的 单位圆上的一点.反过来,若点 P 是以 A 为圆心的单位圆上的任意一点,则由

→ → 于|AP|=1,所以向量AP是单位向量,故(3)正确. 答案 C 8.下列命题不正确的是( A.零向量没有方向 C.零向量的模为 0 ). B.零向量只与零向量相等 D.零向量与任何向量共线

解析 零向量是有方向的,它的方向可以是任意的,故选 A. 答案 A 9.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0 或|b|= 0.其中能使 a∥b 成立的条件是________. 解析 因为 a=b?a∥b,即①能够使 a∥b 成立;由于|a|=|b|并没有确定 a 与 b 的方向,即②不能够使 a∥b 成立;因为 a 与 b 方向相反时,a∥b,即③能够使 a∥b 成立; 因为零向量与任意向量共线, 所以|a|=0 或|b|=0 时,∥b 能够成立. a 故 使 a∥b 成立的条件是①③④. 答案 ①③④ 10.给出下列命题: → → ①|AB|=|BA|; ②若 a 与 b 方向相反,则 a∥b; → → ③若AB、CD是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线; ④有向线段是向量,向量就是有向线段; 基中所有真命题的序号是________. → → 解析 共线向量指方向相同或相反的向量,向量AB、CD是共线向量,也可能有 AB∥CD,故③是假命题,向量可以用有向线段表示,不能说“有向线段是向量, 向量就是有向线段”,比如 0 不能用有向线段表示,另外,向量有大小、方向两 个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素,故④是假命题. 答案 ①② 2 ? 2? 11.已知直线 l:y=x- 2 ,点 A?0,- ?,B(x,y)是直线 l 上的两点. 2? ?

→ (1)若AB为零向量,求 x,y 的值; → (2)若AB为单位向量,求 x,y 的值. → 2 解 (1)当AB为零向量时,点 B 到点 A 重合,此时 x=0,y=- 2 . → → (2)当AB为单位向量时,|AB|=1,即 A 与 B 两点的距离为 1, 所以 ? ? 2? 2? ?x-0?2+?y+ ?2=1,即 x2+?y+ ?2=1, 2? 2? ? ?

2 将 y=x- 2 代入得,2x2=1, 2 2 所以 x= 2 ,y=0 或 x=- 2 ,y=- 2. 12. (创新拓展)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了 30 n mile, 这时接到求救信号, 在巡逻艇的正东方向 40 n mile 有一艘渔船抛锚需救助.试求:

(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程; (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移. 解 (1)如图由于路程不是向量,与方向无关,所以其总的路程为巡逻艇两次路

程的和,即为 AB+BC=70(n mile). (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量,不仅有大小而且有方向, → 因而大小为|AC|= 东 53° . 4 → → 2 2 =50(n mile),由于 sin∠BAC= ,故方向为北偏 |AB| +|BC| 5


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