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江苏省扬州中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷


2015-2016 学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) x 1.已知命题 p:?x∈R,e <0,则?p 是__________. 2.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为__________命题. (填“真”、“假”)

3.若椭圆

+

=1 的一个焦点坐标为(1,0) ,则实数 m 的值等于__________.

4.“x2<1”是“0<x<1”成立的__________条件. (从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中 选择一个正确的填写) 5.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若过 A、C、B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l, 则 l 与 A1C1 的位置关系是__________.

6.与双曲线

有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程为__________.

7.设 l,m 是不同的直线,α,β,γ 是不同的平面,则下列命题正确的是__________. ①若 l⊥m,m⊥α,则 l⊥α 或 l∥α ②若 l⊥γ,α⊥γ,则 l∥α 或 l?α ③若 l∥α,m∥α,则 l∥m 或 l 与 m 相交 ④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l?β 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的高为__________.

9.已知点 A 是椭圆

+

=1(a>b>0)上一点,F 为椭圆的一个焦点,且 AF⊥x 轴,|AF|=c

(c 为椭圆的半焦距) ,则椭圆的离心率是__________.

10.若 F1,F2 是双曲线 ∠F1PF2=__________. 11.点 P(x,y)为椭圆

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且|PF1|?|PF2|=64,则

+y2=1 上的任意一点,则 x+3y 的最大值为__________.

12.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下 球状液体, 其中球状液体的半径 毫米, 滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好 156

分钟滴完,则每分钟应滴下__________滴.

13.在正三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM,SA=2 此三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积为__________.

,则

14.如图所示,A,B,C 是双曲线



=1(a>0,b>0)上的三个点,AB 经过原点 O,

AC 经过右焦点 F,若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是__________.

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)设命题 ,命题 q:关于 x 的方程 x2+x﹣a=0

有实根. (1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,求 a 的取值范围. 16. (14 分)如图:已知正方形 ABCD 的边长为 2,且 AE⊥平面 CDE,AD 与平面 CDE 所成 角为 30°. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求三棱锥 D﹣ACE 的体积.

17. (14 分)已知命题 p:点 M(1,3)不在圆(x+m)2+(y﹣m)2=16 的内部,命题 q:“曲 线 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s:“曲线 表

示双曲线”. (1)若“p 且 q”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

18. (16 分) 已知椭圆 C:

两个焦点之间的距离为 2, 且其离心率为



(Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若 F 为椭圆 C 的右焦点,经过椭圆的上顶点 B 的直线与椭圆另一个交点为 A,且满 足 ,求△ ABF 外接圆的方程. 19. (16 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 M 在 AB 上,且 AM:MB=1:2,E 为 PB 的中点. (1)求证:CE∥平面 ADP; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; (3)棱 AP 上是否存在一点 N,使得平面 DMN⊥平面 ABCD,若存在,求出 存在,请说明理由. 的值;若不

20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 l:y= x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB=

,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且

直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. (1)求 a,b 的值; (2)求证:直线 MN 的斜率为定值.

2015-2016 学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) x x 1.已知命题 p:?x∈R,e <0,则?p 是?x∈R,e ≥0. 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】解:∵命题 p:?x∈R,ex<0 是特称命题, ∴¬p:?x∈R,ex≥0, 故答案为:?x∈R,ex≥0 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 2.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为假命题. (填“真”、“假”) 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】不等式的解法及应用;简易逻辑;推理和证明. 【分析】写出原命题的逆命题,再由不等式的基本性质,判断真假,可得答案. 【解答】解:命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为:“若 a<bam2<bm2,则 am2<bm2”, 当 m=0 时,显然不成立,故为假命题; 故答案为:假 【点评】本题考查的知识点是四种命题,不等式的基本性质,难度不大,属于基础题.

3.若椭圆

+

=1 的一个焦点坐标为(1,0) ,则实数 m 的值等于 4.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;规律型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的焦点坐标,列出方程即可求出 m 的值. 【解答】解:椭圆 + =1 的一个焦点坐标为(1,0) ,

可得

,解得 m=4.

故答案为:4. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力. 4.“x2<1”是“0<x<1”成立的必要不充分条件. (从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中 选择一个正确的填写) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】应用题;转化思想;分析法;简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义,分别证明充分性,必要性,从而得出答案. 【解答】解:由 x2<1?﹣1<x<1 推不出 0<x<1,由 0<x<1?x2<1,

∴“x2<1”是“x<1”的必要不充分, 故答案为:必要不充分. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 5.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若过 A、C、B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l, 则 l 与 A1C1 的位置关系是 l∥A1C1. 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由 A1C1∥AC,得 A1C1∥平面 AB1C,平面 AB1C∩底面 A1B1C1D1=直线 l,由线面平 行的性质定理,得 l∥A1C1. 【解答】解:因为 A1C1∥AC, A1C1 不包含于平面 AB1C,AC?平面 AB1C, 所以 A1C1∥平面 AB1C, 又因为 A1C1 在底面 A1B1C1D1 内, 平面 AB1C∩底面 A1B1C1D1=直线 l, 根据线面平行的性质定理, 得 l∥A1C1. 故答案为:l∥A1C1. 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养.

6.与双曲线

有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程为



【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】由于与双曲线 过点(2,2)即可求 【解答】解:设双曲线方程为 ∵过点(2,2) ,∴λ=3 ∴所求双曲线方程为 有共同的渐近线,故方程可假设为 ,再利用

故答案为 【点评】本题的考点是双曲线的标准方程,主要考查待定系数法求双曲线的标准方程,关键 是方程的假设方法. 7.设 l,m 是不同的直线,α,β,γ 是不同的平面,则下列命题正确的是②.

①若 l⊥m,m⊥α,则 l⊥α 或 l∥α ②若 l⊥γ,α⊥γ,则 l∥α 或 l?α ③若 l∥α,m∥α,则 l∥m 或 l 与 m 相交 ④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l?β 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】应用题;数形结合;分析法;空间位置关系与距离. 【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理,公理逐个进行判断 即可. 【解答】解:①.若 l⊥m,m⊥α,则 l?α 或 l∥α,故①错; ②由面面垂直的性质定理知,若 l⊥γ,α⊥γ,则 l∥α 或 l?α,故②对; ③若 l∥α,m∥α,则 l∥m 或 l 与 m 相交,或 l 与 m 异面,故③错; ④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l?β 或 l∥β 或 l?β,或 l 与 β 相交.故④错. 故答案为:② 【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系.是对课本定理,公理 以及推论的考查,是基础题. 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的高为 .

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】转化思想;转化法;空间位置关系与距离. 【分析】通过侧面展开图的面积,求出圆锥的母线长与底面圆的半径,即可求出圆锥的高. 【解答】解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面, 因为 4π=πl2,所以母线长为 l=2, 又半圆的弧长为 2π, 圆锥的底面的周长为 2πr=2π, 所以底面圆半径为 r=1, 所以该圆锥的高为 h= = = .

故答案为: . 【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的 应用问题,是基础题目.

9.已知点 A 是椭圆

+

=1(a>b>0)上一点,F 为椭圆的一个焦点,且 AF⊥x 轴,|AF|=c

(c 为椭圆的半焦距) ,则椭圆的离心率是



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意把|AF|用含有 a,b 的代数式表示,结合|AF|=c 列式得到关于 a,c 的方程,转 化为关于 e 的方程得答案. 【解答】解:如图, 由 + =1(a>b>0) ,得 ,



,取 x=c,可得



∵|AF|=c,∴|AF|2= 整理得:c4﹣3a2c2+a4=0,即 e4﹣3e2+1=0, 解得 ∴ 故答案为: . . (舍)或 ,



【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆通径的应用,是基础的计算题.

10.若 F1,F2 是双曲线 ∠F1PF2= .

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且|PF1|?|PF2|=64,则

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由双曲线方程求出焦距,利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2. 【解答】解:由 ∴|F1F2|=2c=10, 设|PF1|>|PF2|, 则|PF1|﹣|PF2|=6, ∴ ∵|PF1||PF2|=64, ∴ , , ,得 a2=9,b2=16,∴c=5,

∴cos∠F1PF2=

=



∴∠F1PF2= 故答案为:

. .

【点评】本题考查双曲线是几何性质,考查双曲线的定义,注意余弦定理的合理运用,是中 档题. +y2=1 上的任意一点,则 x+3y 的最大值为 3

11.点 P(x,y)为椭圆



【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据椭圆方程设出 x=3cosθ,y=sinθ,表示出 S 利用两角和公式化简整理后,根据 正弦函数的性质求得 S 的最大值. 【解答】解:椭圆 +y2=1,设 x=3cosx,y=sinx sin(x+ )≤3 .

∴x+3y=3cosx+3sinx=3 ∴最大值为 3

. 故答案为: . 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题.考查了学生综合分析问题和解 决问题的能力. 12.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下 球状液体, 其中球状液体的半径 分钟滴完,则每分钟应滴下 75 滴. 毫米, 滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好 156

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;方程思想;等体积法;空间位置关系与距离. 【分析】设每分钟滴下 k(k∈N*)滴,由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积,再求出 k 滴球 状液体的体积,得到 156 分钟所滴液体体积,由体积相等得到 k 的值. 【解答】解:设每分钟滴下 k(k∈N*)滴, 则瓶内液体的体积 =156πcm3,

k 滴球状液体的体积 ∴156π= ×156,解得 k=75,

=

mm3=

cm3,

故每分钟应滴下 75 滴. 故答案为:75. 【点评】本题考查简单的数学建模思想方法,解答的关键是对题意的理解,然后正确列出体 积相等的关系式,属中档题. 13.在正三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM,SA=2 此三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积为 36π. ,则

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】由题意推出 MN⊥平面 SAC,即 SB⊥平面 SAC,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此 三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可 求出球的表面积. 【解答】解:∵三棱锥 S﹣ABC 正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴MN⊥AC, 又∵MN⊥AM 而 AM∩AC=A,∴MN⊥平面 SAC 即 SB⊥平面 SAC, ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球, ∴2R=2 ,∴R=3,∴S=4πR2=4π?(3)2=36π, 故答案为:36π.

【点评】本题是中档题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力;三棱锥扩展为 正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.

14.如图所示,A,B,C 是双曲线



=1(a>0,b>0)上的三个点,AB 经过原点 O,

AC 经过右焦点 F,若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,求得 A 的坐标,由对称得 B 的坐标, 由于 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 求得 C 的坐标,代入双曲线方程,结合 a,b,c 的关系和离心率公式,化简整理成离心率 e 的方程,代入选项即可得到答案. 【解答】解:由题意可得在直角三角形 ABF 中, OF 为斜边 AB 上的中线,即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c, 设 A(m,n) ,则 m2+n2=c2, 又 =1,解得 m= ,n= ,

即有 A(



) ,B(﹣

,﹣

) ,

又 F(c,0) , 由于 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 可设 C(x,y) ,即有 =﹣1,

又(c+

)2+(

)2=(x﹣c)2+y2,

可得 x=

,y=﹣



将 C(

,﹣

)代入双曲线方程,化简可得

(b2﹣a2)=a3,

由 b2=c2﹣a2,e= ,得(2e2﹣1) (e2﹣2)2=1, 可得 e= 故答案为: . .

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的 a,b,c 的关系和离心率的求法, 注意运用点在双曲线上满足方程,属于难题. 二、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)设命题 ,命题 q:关于 x 的方程 x2+x﹣a=0

有实根. (1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,求 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】函数思想;定义法;简易逻辑. 【分析】 (1)若 p 为真命题,根据根式成立的条件进行求解即可求 a 的取值范围; (2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,得到 p 与 q 一真一假,即可求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意得, 故 p 为真命题时 a 的取值范围为[0,3]. (2)故 q 为真命题时 a 的取值范围为 由题意得,p 与 q 一真一假,从而 当 p 真 q 假时有 a 无解;

当 p 假 q 真时有





∴实数 a 的取值范围是



【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用,求出命题成立的等价条件 是解决本题的关键. 16. (14 分)如图:已知正方形 ABCD 的边长为 2,且 AE⊥平面 CDE,AD 与平面 CDE 所成 角为 30°. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求三棱锥 D﹣ACE 的体积.

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】综合题;规律型;数形结合;转化思想;空间位置关系与距离.

【分析】 (1)通过 AB∥CD,利用直线与平面平行的判定定理证明 AB∥平面 CDE. (2)证明 CD⊥平面 ADE,CD⊥DE.通过体积转化 VD﹣ACE=VA﹣CDE.求解即可. 【解答】证明: (1)正方形 ABCD 中,AB∥CD,又 AB?平面 CDE,CD?平面 CDE, 所以 AB∥平面 CDE. (2)因为 AE⊥平面 CDE,AD 与平面 CDE 所成角为 30°∴∠ADE=30°∴AE=1 因为 AE⊥平面 CDE,且 CD?平面 CDE,所以 AE⊥CD, 又正方形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 ADE, 所以 CD⊥平面 ADE,又 DE?平面 ADE, 所以 CD⊥DE. ∵ . ∴ .

【点评】本题考查几何体的体积的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象 能力以及计算能力. 17. (14 分)已知命题 p:点 M(1,3)不在圆(x+m)2+(y﹣m)2=16 的内部,命题 q:“曲 线 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s:“曲线 表

示双曲线”. (1)若“p 且 q”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 【专题】计算题;对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】 (1)分别求出 p,q 为真时的 m 的范围,根据“p 且 q”是真命题,得到关于 m 的不等 式组,解出即可; (2)先求出 s 为真时的 m 的范围,结合 q 是 s 的必要不充分条件,得到关于 t 的不等式组, 解出即可. 【解答】解: (1)若 p 为真: (1+m)2+(3﹣m)2≥16 解得 m≤﹣1 或 m≥3, 若 q 为真:则 解得﹣4<m<﹣2 或 m>4 若“p 且 q”是真命题, 则 ,

解得﹣4<m<﹣2 或 m>4; (2)若 s 为真,则(m﹣t) (m﹣t﹣1)<0, 即 t<m<t+1, 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得{m|t<m<t+1} {m|﹣4<m<﹣2 或 m>4},



或 t≥4,

解得﹣4≤t≤﹣3 或 t≥4. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查复合命题的判断,考查集合的包含关系,是一道中 档题.

18. (16 分) 已知椭圆 C:

两个焦点之间的距离为 2, 且其离心率为



(Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若 F 为椭圆 C 的右焦点,经过椭圆的上顶点 B 的直线与椭圆另一个交点为 A,且满 足 ,求△ ABF 外接圆的方程. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得: ,∴ ,进而求出椭圆的方程.

(Ⅱ)由已知可得 B(0,1) ,F(1,0) ,设 A(x0,y0) ,则根据题意可得:x0﹣(y0﹣1) =2,即 x0=1+y0,再联立椭圆的方程可得:A(0,﹣1)或 性质求出元得方程. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得: ∴ ∴ , ,… .… ,… ,进而根据圆的有关

所以椭圆 C 的标准方程是

(Ⅱ)由已知可得 B(0,1) ,F(1,0) ,… 设 A(x0,y0) ,则 ∵ , ∴x0﹣(y0﹣1)=2,即 x0=1+y0,… 代入 , ,

得:





即 A(0,﹣1)或

.…

当 A 为(0,﹣1)时,|OA|=|OB|=|OF|=1,

△ ABF 的外接圆是以 O 为圆心,以 1 为半径的圆,该外接圆的方程为 x2+y2=1; … 当A为 时,kBF=﹣1,kAF=1,

所以△ ABF 是直角三角形,其外接圆是以线段 BA 为直径的圆. 由线段 BA 的中点 以及 .…(14 分) 综上所述,△ ABF 的外接圆的方程为 x2+y2=1 或 . 可得△ ABF 的外接圆的方程为

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中 a,b,c 之间的关系,以及圆的有关性 质与向量的数量积表示. 19. (16 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 M 在 AB 上,且 AM:MB=1:2,E 为 PB 的中点. (1)求证:CE∥平面 ADP; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; (3)棱 AP 上是否存在一点 N,使得平面 DMN⊥平面 ABCD,若存在,求出 存在,请说明理由. 的值;若不

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1) 取棱 AP 中点 F,连接 DF,EF,证明四边形 EFDC 为平行四边形, 可得 CE∥DF, 即可证明 CE∥平面 ADP; (2)证明 CE⊥平面 PAB,利用 CN∥DF,可得 DF⊥平面 PAB,即可证明平面 PAD⊥平面 PAB; (3)存在, .取 BC 中点 O,连结 AO 交 MD 于 Q,连结 NQ,证明 NQ⊥平面 ABCD,

即可得出结论. 【解答】 (1)证明:取棱 AP 中点 F,连接 DF,EF. ∵EF 为△ PAB 的中位线,∴EF∥AB,且 ∵CD∥AB,且 ,∴EF∥CD,且 EF=CD,

∴四边形 EFDC 为平行四边形,∴CE∥DF ∵DF?平面 ADP,CE?平面 ADP, ∴CE∥平面 ADP (2)证明:由(1)可得 CE∥DF ∵PC=BC,E 为 PB 的中点,∴CE⊥PB ∵AB⊥BC,平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB?平面 ABCD ∴AB⊥平面 PBC 又∵CE?平面 PBC, ∴AB⊥CE 又∵CE⊥PB,AB∩PB=B,AB,PB?平面 PBC, ∴CE⊥平面 PAB ∵CN∥DF, ∴DF⊥平面 PAB 又∵DF?平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 PAB; (3)解:存在, .

证明:取 BC 中点 O,连结 AO 交 MD 于 Q,连结 NQ, 在平面 ABCD 中由平几得 ,∴ ∥OP.

∵O 为等腰△ PBC 底边上的中点,∴PO⊥BC, ∵PBC⊥底面 ABCD,PO?平面 PBC,平面 PBC∩平面 ABCD=BC, ∴PO⊥平面 ABCD,∴NQ⊥平面 ABCD, ∵NQ?平面 DMN,∴平面 DMN⊥平面 ABC.

【点评】本题考查线面垂直、线面平行,面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.

20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为



直线 l:y= x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB=

,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且

直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. (1)求 a,b 的值; (2)求证:直线 MN 的斜率为定值.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】方程思想;分类法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程,求得 A 的坐标,解方程可得 a,b; (2)求出椭圆方程,求得 A,B 的坐标,①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设出直线 AD 的方程为 y﹣2=k2(x﹣4) ,直线 BC 的方程为 y+2=﹣ (x+4) ,联立直线方程求出 M,

N 的坐标,可得直线 MN 的斜率;②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时,同 理求得 M,N 的坐标,可得直线 MN 的斜率. 【解答】解: (1)因为 e= = ,即 c2= a2,即 a2﹣b2= a2,则 a2=2b2;

故椭圆方程为

+

=1.

由题意,不妨设点 A 在第一象限,点 B 在第三象限,



解得 A(

b,

b) ;

又 AB=4 故 a=2

,所以 OA=2 ,b=2 ;

,即 b2+ b2=20,解得 b2=12;

(2)证明:由(1)知,椭圆 E 的方程为



从而 A(4,2) ,B(﹣4,﹣2) ; ①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时, 设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0,y0) , 显然 k1≠k2; ,

所以 kCB=﹣

; 同理 kDB=﹣

, (x+4) ;

于是直线 AD 的方程为 y﹣2=k2(x﹣4) ,直线 BC 的方程为 y+2=﹣





从而点 N 的坐标为



用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为







即直线 MN 的斜率为定值﹣1; ②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(4,﹣2) ; 仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=﹣ 此时 CA:x=4,DB:y+2=﹣=﹣ ; ) ;

(x+4) ,它们交点 M(4, ,﹣2) ,

BC:y=﹣2,AD:y﹣2=k2(x﹣4) ,它们交点 N(

从而 kMN=﹣1 也成立; 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值﹣1. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆方程联立,求出交点,考查分类讨论 的思想方法,注意直线的斜率和直线方程的运用,考查运算能力,属于难题.


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