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【步步高】届高三数学大一轮复习 直线及其方程学案 理 新人教A版


第九章 解析几何 学案 47 直线及其方程
导学目标: 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解 直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几 何要素,掌握直线方程的几种形式,了解斜截式与一次函数的关系.

自主梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义: 当直线 l 与 x 轴相交时, 我们取 x 轴作为基准, x 轴________与直线 l________ 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜 角为________. ②倾斜角的范围为______________. (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k=________,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式: 经 过 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) (x1≠x2) 的 直 线 的 斜 率 公 式 为 k = ______________________. 2.直线的方向向量 → 经 过 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 的 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 P1P2 , 其 坐 标 为 ________________,当斜率 k 存在时,方向向量的坐标可记为(1,k). 3.直线的方程和方程的直线 2 2 已知二元一次方程 Ax+By+C=0 (A +B ≠0)和坐标平面上的直线 l,如果直线 l 上任 意一点的坐标都是方程____________的解,并且以方程 Ax+By+C=0 的任意一个解作为点 的坐标都在__________,就称直线 l 是方程 Ax+By+C=0 的直线,称方程 Ax+By+C=0 是直线 l 的方程. 4.直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x=x0 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 5.线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 ?x= , ? ? 此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. ?y= , ? 自我检测 ?1 ? 1.(2011·银川调研)若 A(-2,3),B(3,-2),C? ,m?三点共线,则 m 的值为( ) ?2 ? 1 1 A. B.- C.-2 D.2 2 2 2.直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,- 1),则直线 l 的斜率为( )

1

3 3 2 2 B. C. D.- 2 2 3 3 3.下列四个命题中,假命题是( ) A.经过定点 P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x -x1)(y2-y1)来表示 x y C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 + =1 表示 a b D.经过点 Q(0,b)的直线都可以表示为 y=kx+b 4.(2011·商丘期末)如果 A·C<0,且 B·C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知直线 l 的方向向量与向量 a=(1,2)垂直,且直线 l 过点 A(1,1),则直线 l 的方 程为( ) A.x-2y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-3=0

A.-

探究点一 倾斜角与斜率 例 1 已知两点 A(-1,-5)、B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, 求 l 的斜率.

变式迁移 1 直线 xsin α -y+1=0 的倾斜角的变化范围是( ) π ? ? A.?0, ? B.(0,π ) 2? ? ? π π? ? π ? ?3π ,π ? C.?- , ? D.?0, ?∪? ? 4? ? 4 ? 4 4? ? ? 探究点二 直线的方程 例 2 (2011·武汉模拟)过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1:x-3y+10=0,l2: 2x+y-8=0 所截得的线段恰好被 M 所平分,求此直线方程.

2

变式迁移 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.

探究点三 直线方程的应用

例 3 过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|PA|·|PB|最小时 l 的方程.

变式迁移 3 为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用,经测量|AB|=100 m,|BC|=80 m,|AE|=30 m,|AF|=20 m, 应如何设计才能使草坪面积最大?

3

探究点四 数形结合思想 2 例 4 已知实数 x,y 满足 y=x -2x+2(-1≤x≤1). y+3 试求 的最大值与最小值. x+2

变式迁移 4 直线 l 过点 M(-1,2)且与以点 P(-2, -3)、 Q(4,0)为端点的线段恒相交, 则 l 的斜率范围是( ) 2 2 A.[- ,5] B.[- ,0)∪(0,5] 5 5 2 2 π π C.(-∞,- ]∪[5,+∞) D.[- , )∪( ,5] 5 5 2 2 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的范围为 0°≤α <180°,熟记斜率公式 k y2-y1 = ,该公式与两点顺序无关.已知两点坐标(x1≠x2),根据该公式可以求出经过两 x2-x1 点的直线斜率,而 x1=x2,y1≠y2 时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90°. y-y1 x-x1 2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式 = 求直线 y2-y1 x2-x1 方程,但都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.直线方程的点斜式、斜 截式、 两点式、 截距式都可以化成一般式, 但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、 斜截式、两点式或截距式. 3.使用直线方程时,一定要注意限制条件以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件 是直线必须有斜率, 截距式的使用条件是截距存在且不为零, 两点式的使用条件是直线 不与坐标轴垂直.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 2 1.(2011·临沂月考)已知直线 l 经过 A(2,1)、B(1,m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾 斜角的取值范围是( ) ? π ? ?π ? A.(0,π ) B.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ? π π π π ? ? ? ? ? ? C.?0, ? D.? , ?∪? ,π ? 4? ? ?4 2? ?2 ?
4

2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜 角的取值范围是( ) π π ? ? ?π π ? A.? , ? B.? , ? ?6 3? ?6 2? π π ? ? ?π π ? C.? , ? D.? , ? ?3 2? ?6 2? x y 3.点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么 2 +4 的最小值是( ) A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在 4.(2011·宜昌调研)点 A(a+b,ab)在第一象限内,则直线 bx+ay-ab=0 不经过的 象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2011·包头期末)经过点 P(2,-1),且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程为( ) A.2x+y=2 B.2x+y=4 C.2x+y=3 D.2x+y=3 或 x+2y=0 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 2 6. 过两点 A(m +2, m2-3), B(3-m-m2,2m)的直线 l 的倾斜角为 45°, 则 m=________. 2 7.直线 x+(a +1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________. 8.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x -y+1=0,则直线 PB 的方程是________________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知两点 A(-1,2),B(m,3),求: (1)直线 AB 的斜率 k; (2)求直线 AB 的方程; 3 ? ? (3)已知实数 m∈?- -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的范围. ? 3 ?

10.(12 分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若 直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的范围.

5

11.(14 分)已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程.

学案 47 自主梳理 1. (1)①正向 向上 -x1,y2-y1)

直线及其方程 y2-y1 ② 2.(x2 x2-x1

0° ②0°≤α <180° (2)①正切值 tan α

3.Ax+By+C=0 y-y1 x-x1 x y = + =1(a≠0,b≠0) Ax y2-y1 x2-x1 a b

直线 l 上 4.y-y0=k(x-x0) y=kx+b

x1+x2 y1+y2 +By+C=0(A、B 不同时为 0) 5. 2 2 自我检测 1.A 2.D 3.D 4.C 5.D 课堂活动区 例 1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系,本题需要挖掘隐含条件,判断角 的范围.关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型. 解 设直线 l 的倾斜角为 α ,则直线 AB 的倾斜角为 2α , -2-? -5? 3 2tan α 3 由题意可知:tan 2α = = ,∴ = . 2 3-? -1? 4 1-tan α 4 2 整理得 3tan α +8tan α -3=0. 1 3 解得 tan α = 或 tan α =-3,∵tan 2α = >0, 3 4 ∴0°<2α <90°,∴0°<α <45°,∴tan α >0, 1 故直线 l 的斜率为 . 3 变式迁移 1 D [直线 xsin α -y+1=0 的斜率是 k=sin α , 又∵-1≤sin α ≤1,∴-1≤k≤1. ? π? 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是?0, ?, 4? ? ? 3π ? 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是? ,π ?.] ? 4 ? 例 2 解题导引 (1)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况. (2)求直线方程常用方法——待定系数法. 待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数.
6

? 10? 过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴, 它和两已知直线的交点分别是?0, ?和(0,8), 3? ? 显然不满足中点是点 M(0,1)的条件. 故可设所求直线方程为 y=kx+1,与两已知直线 l1、l2 分别交于 A、B 两点,联立方程 ? ?y=kx+1, 组? ① ?x-3y+10=0, ?

? ?y=kx+1, ? ?2x+y-8=0, ?



7 7 由①解得 xA= ,由②解得 xB= . 3k-1 k+2 ∵点 M 平分线段 AB,∴xA+xB=2xM, 7 7 1 即 + =0,解得 k=- . 3k-1 k+2 4 故所求直线方程为 x+4y-4=0. 变式迁移 2 解 (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α , 则所求直线的倾斜角为 2α . 2tan α 3 ∵tan α =3,∴tan 2α = =- . 2 1-tan α 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. 例 3 解题导引 先设出 A、 B 所在的直线方程, 再求出 A、 B 两点的坐标, 表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. 确定直线方程可分为两个类型: 一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点, 进而套用 直线方程的几种形式,写出方程,此法称直接法;二是利用直线在题目中具有的某些性质, 先设出方程(含参数或待定系数),再确定参数值,然后写出方程,这种方法称为间接法. x y 解 设直线的方程为 + =1 (a>2,b>1), a b 2 1 由已知可得 + =1. a b (1)∵2 2 1 2 1 · ≤ + =1,∴ab≥8. a b a b

1 ∴S△AOB= ab≥4. 2 2 1 1 当且仅当 = = , a b 2 即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4,

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x y 此时直线 l 的方程为 + =1, 4 2 即 x+2y-4=0. 2 1 (2)由 + =1,得 ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2, a b |PA|·|PB| 2 2 2 2 = ? 2-a? +? 1-0? · ? 2-0? +? 1-b? 2 2 = [? 2-a? +1]·[? 1-b? +4] ≥ 2? a-2? ·4? b-1? . 当且仅当 a-2=1,b-1=2, 即 a=3,b=3 时,|PA|·|PB|取最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 变式迁移 3 解 如图所示建立直角坐标系,则 E(30,0),F(0,20),

x y ∴线段 EF 的方程为 + =1(0≤x≤30). 30 20 在线段 EF 上取点 P(m,n), 作 PQ⊥BC 于点 Q, PR⊥CD 于点 R,设矩形 PQCR 的面积为 S, 则 S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n). m n 又 + =1(0≤m≤30), 30 20 m ∴n=20(1- ). 30 2 ∴S=(100-m)(80-20+ m) 3 2 18 050 2 =- (m-5) + (0≤m≤30). 3 3 |EP| 30-5 ∴当 m=5 时,S 有最大值,这时 = =5. |PF| 5 所以当矩形草坪的两边在 BC、CD 上,一个顶点在线段 EF 上,且这个顶点分 EF 成 5∶1 时,草坪面积最大. 例 4 解题导引 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义,借助数形结 合,将求最值问题转化为求斜率取值范围问题,简化了运算过程,收到事半功倍的效果.

y+3 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x, x+2 y)的直线的斜率 k,由图可知: kPA≤k≤kPB,由已知可得: A(1,1),B(-1,5), 解

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4 ∴ ≤k≤8, 3 y+3 4 故 的最大值为 8,最小值为 . x+2 3 变式迁移 4 C

[如图,过点 M 作 y 轴的平行线与线段 PQ 相交于点 N. 2 kMP=5,kMQ=- . 5 当直线 l 从 MP 开始绕 M 按逆时针方向旋转到 MN 时,倾斜角在增大,斜率也在增大,这 时,k≥5.当直线 l 从 MN 开始逆时针旋转到 MQ 时, π ∵正切函数在( ,π )上仍为增函数, 2 2 ∴斜率从-∞开始增加,增大到 kMQ=- , 5 2 故直线 l 的斜率范围是(-∞,- ]∪[5,+∞).] 5 课后练习区 1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 3 6.-2 7.[ π ,π ) 8.x+y-5=0 4 9.解 (1)当 m=-1 时, 直线 AB 的斜率不存在;(1 分) 1 当 m≠-1 时,k= .(3 分) m+1 (2)当 m=-1 时,AB 的方程为 x=-1,(5 分) 1 当 m≠-1 时,AB 的方程为 y-2= (x+1), m+1 x 2m+3 即 y= + .(7 分) m+1 m+1 x 2m+3 ∴直线 AB 的方程为 x=-1 或 y= + . m+1 m+1 (8 分) π (3)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时, 1 ? 3 ? ∵k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? π π π 2 π ? ? ? ? ∴α ∈? , ?∪? , ?.(10 分) 3 ? ?6 2? ?2 综合①②,知直线 AB 的倾斜角 ? π 2π ? α ∈? , ?.(12 分) 3 ? ?6 10.

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直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点.(2 分) -1-1 kAP= =-2, 0+1 -1-2 3 kAQ= = ,(5 分) 0-2 2 1 3 1 则- ≥ 或- ≤-2, m 2 m 2 1 ∴- ≤m≤ 且 m≠0.(9 分) 3 2 又 m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, 2 1 ∴所求 m 的范围是- ≤m≤ .(12 分) 3 2 11.(1)证明 直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
?x+2=0 ? 令? ? ?1-y=0 ?x=-2 ? ,解之得? ? ?y=1



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).(4 分) 1+2k (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+ k 1+2k ? ?- ≤-2 k 2k,要使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.(9 分) ? 1+2k,0?, (3)解 由 l 的方程,得 A?- ? k ? ? 1+2k ? ?- <0, k B(0,1+2k).依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0.(11 分) 1 ∵S= ·|OA|·|OB| 2 1 ?1+2k? = ·? ?·|1+2k| 2 ? k ? 2 1 ? 1 1 ? 1+2k? 1? = · = ?4k+ +4?≥ ×(2×2+4)=4, k ? 2 2 k 2? 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= , k 1 即 k= , 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0.(14 分) ,解之得 k>0;(7 分)

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