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广东省广雅中学2015届高三10月月考试题 数学理


广东广雅中学 2014—2015 学年度上学期高三 10 月月考

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题的答案一律做在答题卡上,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 2 1.设集合 M ? x ? Z | x ? 2 x ? 0 , N ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M

?

?

?

?

N?

A.

?0?

B. ?0, 2?

C. ??2,0?

D. ??2,0, 2?

2.若复数 z1 ? 5 ? 5i , z2 ? 3 ? i ,则

z1 ? z2
D. 3

A. 4 ? 2i B. 2 ? i C. 1 ? 2i 3.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是 A. y ? ln( x ? 1) 4. 已知 sin(? ? B. y ? ? x ? 1 C. y ? ( )

3? 1 ) ? ,则 cos 2? ? 2 3 7 7 1 1 A. ? B. C. ? D. 9 9 3 3 5.设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下列命题中错误的是 A. 若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n
6.巳知双曲线 G 的中心在坐标原点,实轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之差为 12,则双曲线 G 的方程为 A.

1 2

x

D. y ? x ?

1 x

5 ,且 G 上一点到 G 的 2
D.

x2 y2 ? ?1 25 9

B.

x2 y2 ? ?1 36 9

C.

x2 y2 ? ? ?1 36 9

x2 y2 ? ?1 36 8

?0 ? x ? 2 ? 7. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的 ? ?x ? 2 y 动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 | AM | 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C. 3 D.3 8.若 X 是一个集合,? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:① X 属于 ? ,? 属
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于 ? ;② ? 中任意多个元素的并集属于 ? ;③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? .则称 ? 是 b, c? ,对于下面给出的四个集合 ? : 集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X ? ?a , {a}, {c}, {a,, b c}} ; ① ? ? {?, ? ? { ? , { b } , { c } , { b , c }, {a,, b c}} ; ② {a}, {a, b}, {a, c}} ; ③ ? ? {?, {a, c}, {b, c}, {c}, {a,, b c}} . ④ ? ? {?, 其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是 A. ① B. ② C. ②③ D. ②④ 开始 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 计算

?

?
0

(cos x ? 1)dx ?

输入 n



ln x ( x ? 0) 的单调递增区间是 . x 11.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为
10.函数 f ( x) ? ______. 12.曲线 y ? e x 过点 (0, 0) 的切线方程为 .

i ? 1, s ? 1
i?n
是 否 输出 s

s ? s ? (i ? 1)

结束

i ? i ?1
13.某同学为研究函数 f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 0# ? x ? 1) 的性质, 构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP = x , 则 AP + PF = f ( x ) . 请 你参考这些信息,推知函数 f ( x ) 的值域是 .

第 11 题

第 13 题图 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程

?x ? t2, (t 为参数) 为? ,以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极 ? y ? t,
坐标系,曲线 C2 的方程为 ? sin ? ? 1 ,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为_________ . 15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的 垂线 AD ,垂足为 D ,则线段 CD 的长为 .

第15题图
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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图象与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为

( x0 ,2) 和 ( x0 ? 2? ,?2) . (1)求函数 f ( x) 的解析式; 2? 2 ) ? ,求 f (2? ) 的值. (2)若锐角 ? 满足 f (2? ? 3 3

第 16 题图 17.(本小题满分 12 分) 每年 5 月 17 日为国际电信日, 某市电信公司每年在电信日 当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套 餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元, 选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 根据以往的统计 结果绘出电信日当天参与活动的统计图,现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率; (2) 若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

频率

1/2
3/8

1/8

套餐1

套餐2

套餐3

套餐种类

18.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A , 1B 1C1D 1 中 , 侧 面 ADD 1A 1 ⊥ 底 面 A B C D

AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , O 为 AD 中点. (1)求证: AO / / 平面 AB1C ; 1

// AD, A ?B 为 直 角 梯 形 , 其 中 BC D1 A ? D1D ? 2 , 底 面 A B C D

A ,D

A1 B1 C1 A

D1

(2)求锐二面角 A ? C1 D1 ? C 的余弦值.

O D

B

C

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19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a0 ? R , an?1 ? 2n ? 3an ,(n ? 0,1, 2, (1)设 bn ?

)

an , 试用 a0 , n 表示 bn (即求数列 {bn } 的通项公式) ; 2n (2)求使得数列 {an } 递增的所有 ao 的值.

20.(本题满分 14 分) 已知椭圆

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 ( 3, ? ) ,且椭圆的离心率 e ? . 2 2 a b 2

(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A, C 及 B, D ,设线段

AC , BD 的中点分别为 P, Q .求证:直线 PQ 恒过一个定点.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 . (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;
3x x (2)在(1)的条件下,且 a ? 1 , h( x) ? e ? 3ae , x ?[0,ln 2] ,求 h( x) 的极小值;

(3)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x ? k( k ? R ) , 若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n (0 ? m ? n) ,
2

且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出 该切线方程,若不能,请说明理由.

数学(理科)试题

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广东广雅中学 2014—2015 学年度上学期高三 10 月月考

数学(理科)试题参考答案及评分标准
命题:杨志明 统审:赖淑明
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.

?

10. (0, e] (或 (0,e )) 15.

11. 15

12. y ? ex

13. [ 5, 2 + 1]

14. ?1,1?

3 3 2
N ? ?0? ,故选 A.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.A.【解析】易得 M ? ??2, ?1,0? , N ? ?0, 2? ,所以 M 2.C. 【解析】

z1 5 ? 5i 5(1 ? i)(3 ? i) 5(2 ? 4i) ? ? ? 2 2 ? 1 ? 2i z2 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 3 ?1 3.A. 【解析】B、C 为减函数,D 为双钩函数,双钩函数在 (0, ??) 上先减后增. 3? 1 1 7 ) ? ? cos ? ? ,即 cos ? ? ? , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? 4.A.解析: sin(? ? 2 3 3 9
5.D.解析】ABC 是正确命题,选 D.

x2 y2 5 , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求双曲线方程为 ? ? 1. 36 9 2 7. C. 作出可行域 D , 由图像知, 当点 M 的坐标为 (0, 0) 或 (0, 2) 时, | AM | 的最大值为 3 .
6.B. 【解析】 e ? 8.D. 解析:①不是拓扑,因为 {a} ?? , {c} ?? ,但 {a} {c}?? ;②是拓扑,可以逐一验 证三条性质都满足;③不是拓扑,因为全集 X ? {a, b, c} ?? ;④是拓扑,可以逐一验证 三条性质也都满足. 二、填空题: 9.

? .解:

?

?

0

(cos x ? 1)dx ?(sin x ? x) |? 0 ??

1 ? x ? ln x 1 ? ln x 10. 【解析】 (0, e] . ' ,即 1 ? ln x ? 0 , ln x ? 1 ? ln e ,即 x f ( x) ? ? ?0 2 2 x x 0? x ?e. 11. 15.解析:第一次循环后: s ? 3, i ? 2 ;第二次循环后: s ? 6, i ? 3 ; 第三次循环后: s ? 10, i ? 4 ;第四次循环后: s ? 15, i ? 5 ;故输出 15. x x x 12. y ? ex ,解析:设切点为 ( x0 , e 0 ) ,则切线为 y ? e 0 ? e 0 ( x ? x0 ) ,把 (0,0) 代入上式, 得 x0 ? 1 ,故切线方程为 y ? ex
13 . [ 5, 2 + 1] 解析:根据图形可知,当 x =

1 时 ( 点 P 在 BC 中 间 ) , 2

f ( x) min = AF =

22 + 12 =

, 5 ,当 x = 0 或 x = 1 时(点 P 在 B 点或 C 点)

f ( x)max =

2 + 1 ,∴ f ( x) 的值域是 [ 5, 2 + 1] .
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14. ?1,1? .考查极坐标方程. C1 : y 2 ? x, C2 : y ? 1 ,联立方程很快得出结果 15.

BC 1 3 3 n i ?BAC ? ? , .解: 在 Rt ?ABC 中,AB ? 6, BC ? 3 , 故s 故 ?BAC ? 30 , AB 2 2 AC ? AB2 ? BC 2 ? 62 ? 32 ? 3 3 . 由 l 是圆 O 的切线知, ?ABC ? ? ACD,故
Rt ? ACD ,

Rt? ABC

CD AC BC ? AC 3 ? 3 3 3 3 . ? , CD ? ? ? BC AB AB 6 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

2? T 1 ? 4? , ? ? …………3 分 ? 2? 即 T ? ? 2 2 1 1 ? ? f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ………5 分 2 3 2 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) . …………6 分 2 3 2? 2 2 2 1 ) ? ,即 cos ? ? 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? (2)由于 f (2? ? …………8 分 3 3 3 3
16. 解: (1)由题意可得 A ? 2 ,

f (2? ) ? 2 cos(? ?

?

3

) ? 2(cos ? cos

?

? sin ? sin ) 3 3

?

…………10 分 …………12 分

1 1 2 2 3 1? 2 6 1? 2 6 .即 f (2? ) 的值为 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3 3
17.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,通过分布列的计算,考查学生的 数据处理能力. 解:(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

1 1 1 1 3 3 13 P? ? ? ? ? ? ? . 8 8 2 2 8 8 32 1 1 1 6 1 1 3 P( X ? 400) ? ? ? , P ( X ? 500) ? C2 ? ? ? 8 8 64 8 8 64 3 3 9 8 1 1 1 P( X ? 600) ? ? ? , P ( X ? 700) ? C2 ? ? ? 8 8 64 8 2 64 1 3 24 1 1 16 1 P( X ? 800) ? C2 ? ? ? , P( X ? 1000) ? ? ? 2 8 64 2 2 64 综上可得 X 的分布列为: 400 500 600 700 800 1000 X 1 6 9 8 24 16 P 64 64 64 64 64 64 EX ? 400 ?

…………4 分

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800,1000.

…………8 分

…………10 分

1 6 9 8 24 16 ? 500 ? ? 600 ? ? 700 ? ? 800 ? ? 1000 ? ? 775 . 64 64 64 64 64 64
…………12 分

即 X 的数学期望为 775.

数学(理科)试题

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18.(1)证明:如图,连接 CO , AC ,则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC ? AB ? A 1B 1, 且 OC // AB // A 1B 1 ,…………2 分 故四边形 A 1B 1CO 为平行四边形,所以 AO 1 // B 1C .…4 分 又 AO ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C , 1 所以 AO 1C . 1 // 平面 AB

A1 B1 C1 A

D1

……………6 分

(2)因为 D1 A ? D1D , O 为 AD 的中点,所以 D1O ? AD ,又侧

O

D

面 ADD1 A , 交 线 为 AD , 故 D1O ⊥ 底 面 1 ⊥ 底 面 A B C D ABCD 。 …………7 分 B O 以 为原点,所 OC , OD , OD1 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的坐标 系, 则 C ?1,0,0? , D ? 0,1,0? , D1 ? 0,0,1? , A ? 0, ?1,0? ,

C

? DC ?1, ?1,0? , DD1 ? 0, ?1,1? , D1 A ? 0, ?1, ?1? , D1C1 ? DC ? ?1, ?1,0 ? ,……8 分
设 m ? ? x, y, z ? 为 平 面 CDD1C1 的 一 个 法 向 量 , 由

? x? y ?0 , m ? DC , m ? DD1 ,得 ? ?? y ? z ? 0 令 z ? 1 ,则 y ? 1, x ? 1 , ? m ? 1,1,1 ? ? . ……10 分
又 设 n ? ? x1 , y 1, z 1? 为 平 面 AC1D1 的 一 个 法 向 量 , 由

z A1 B1 C1 A O C x D y D1

?? y1 ? z1 ? 0 ,令 z1 ? 1, n? D ? D 1 A, n 1 C 1,得 ? ? x1 ? y1 ? 0
则 y1 ? ?1, x1 ? ?1 , ? n ? ? ?1, ?1,1? , 则 cos ? m, n ?? …………12 分

B

?1 ? 1 ? 1 1 ?? , 3 3? 3
1 . 3
…………14 分

故所求锐二面角 A ? C1 D1 ? C 的余弦值为 注:第 2 问用几何法做的酌情给分.

an ?1 3 an 1 ?? ? , …………1 分 n ?1 2 2 2n 2 3 1 1 3 1 即 bn ?1 ? ? bn ? , 变形得, bn ?1 ? ? ? (bn ? ), …………3 分 2 2 5 2 5 1 1 若 a0 ? ? 0 ,则 bn ? …………4 分 5 5 1 1 1 若 a0 ? ? 0 ,则数列 {bn ? } 是以 a0 ? 为首项的, 5 5 5 3 ? 为公比的等比数列…………5 分 2 1 1 3 n 1 1 3 n 故 bn ? ? (a0 ? )(? ) ,因而, bn ? ? ( a0 ? )( ? ) ; ……6 分 5 5 2 5 5 2 1 n ?1 1 n ?1 (2)法一: an ? an ?1 ? ? 2 ? 4( a0 ? )( ?3) ……7 分 5 5 1 1 n 为奇数时, an ? an ?1 ? ? 2n ?1 ? 4(a0 ? ) ? 3n ?1 ,令 an ? an?1 ? 0 , ……8 分 5 5
19.解: (1)
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1 n ?1 1 1 1 2 ? 2 ? 4( ? a0 ) ? 3n ?1 ,即 4( ? a0 ) ? ? ( ) n ?1 对所有的正奇数恒成立,…9 分 5 5 5 5 3 1 2 n ?1 1 1 ? 因为 y ? ? ( ) 对 n ? N 单调递减,所以 4( ? a0 ) ? 0 ,即 a0 ? 。………10 分 5 3 5 5 1 1 ……11 分 n 为偶数时, an ? an ?1 ? ? 2n ?1 ? 4(a0 ? ) ? 3n ?1 ,令 an ? an?1 ? 0 , 5 5 1 n ?1 1 1 1 2 n ?1 n ?1 得 ? 2 ? 4( a0 ? ) ? 3 ,即 4( a0 ? ) ? ?( ) 对所有的正偶数恒成立,…12 分 5 5 5 5 3 1 2 n ?1 1 1 ? 因为 y ? ? ( ) 对 n ? N 单调递减,所以 4(a0 ? ) ? 0 ,即 a0 ? 。………13 分 5 3 5 5 1 综上, a0 ? 时,数列 {an } 递增。 …………14 分 5


an 1 1 3 ? ? (a0 ? )(? ) n , n 2 5 5 2 1 n 1 3 n 1 n 1 n n 从而 an ? ? 2 ? 2 ( a0 ? )( ? ) ? ? 2 ? (a0 ? )(?3) ,……7 分 5 5 2 5 5 n 2 40 1 3 [ ? (a0 ? )(? )n ? 1] , 故 an ? an ?1 ? …………8 分 10 3 5 2 40 1 1 2n 3 ? ( a0 ? ) ,则 an ? an ?1 ? [ A(? ) n ? 1] ,下面说明 a0 ? ,……9 分 设A? 3 5 5 10 2
法二:由(1)知 讨论: 若 a0 ?

1 3 n ,则 A<0,此时对充分大的偶数 n,[ A(? ) ? 1] ? 0 ,有 an ? an?1 ,这与 {an } 5 2
…………11 分

递增的要求不符;

1 3 [ A(? ) n ? 1] ? 0 , 若 a0 ? , 则 A>0,此时对充分大的奇数 n, 有 an ? an?1 , 这与 {an } , 5 2
递增的要求不符; 若 a0 ?
n

…………13 分

1 1 2 ? 0 ,始终有 an ? an?1 。综上, a0 ? 。…14 分 ,则 A=0, an ? an ?1 ? 5 5 10

注意:直接研究通项,只要言之成理也相应给分。 20.解:(1)由 e ?

c 1 c2 1 ? ,得 2 ? , a 2 a 4 2 2 2 2 2 2 即 a ? 4c ? 4(a ? b ) ,即 3a ? 4b . …1 分

3 3 3 ) 知, 2 ? 2 ? 1. ……2 分 a 4b 2 2 2 联立(1) 、 (2)式解得 a ? 4, b ? 3 。 ……3 分
由椭圆过点 ( 3, ?

x2 y 2 ? ? 1. ……4 分 4 3 4 (2)直线 PQ 恒过一个定点 ( , 0) . ……5 分 7 证明 椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,分两种情况. 1 ° 当 直 线 AC 的 斜 率 不 存 在 时 , AC : x ? 1 , 则
故椭圆的方程是
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BD : y ? 0 . 由 椭 圆 的 通 径 易 得 P(1, 0) , 又 Q( 0 , 0 ) , 此 时 直 线 PQ 恒 过 一 个 定 点 4 ( , 0) ; ……6 分 7
2°当直线 AC 的斜率存在时, 设 AC : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 则 BD :y ? ? 又设点 A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) . 联立方程组

1 ( x ? 1) . k

? y ? k ( x ? 1), 消去 y 并化简得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ………8 分 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12, 8k 2 所以 x1 ? x2 ? . 4k 2 ? 3 8k 2 6k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? k ( 2 ? 2) ? ? 2 . 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 3k P( 2 ,? 2 ). …………10 分 4k ? 3 4k ? 3 4 3k 1 , ) .…………11 分 由题知,直线 BD 的斜率为 ? ,同理可得点 Q ( 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2 k 3k 3k ? 2 2 4k ? 3 ? ? 7 k . kPQ ? 4 ? 3k 4 4k 2 4(k 2 ? 1) ? 4 ? 3k 2 4k 2 ? 3 3k 7k 4 y? ?? (x ? ), …………12 分 2 2 4 ? 3k 4(k ? 1) 4 ? 3k 2
即 4 yk ? (7 x ? 4)k ? 4 y ? 0 .
2

令 4 y ? 0,7 x ? 4 ? 0, ?4 y ? 0 ,解得 x ? 故直线 PQ 恒过一个定点 ( , 0) ;

4 , y ? 0. 7
…………13 分

4 7

综上可知,直线 PQ 恒过一个定点 ( , 0) . 21. (本题满分 14 分)

4 7

…………14 分

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min . …………2 分 x 2 1 又 x ? 0, 2 x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 2 x 1 故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . …………4 分 x 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1 ? a ? 2 2. 令 e x ? t ,则 t ? [1, 2] ,则 h( x) ? H (t ) ? t ? 3at.
解:(1) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x 2 ? ax, g ?( x) ?

H ?(t ) ? 3t 2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ).
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…………5 分

由 H ?(t ) ? 0 ,得 t ? ①若 1 ? t ?

a 或 t ? ? a (舍去) , a ? (1, 2 2],? a ? [1, 2 ] ,

3 4

a ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递减; h( x) 在 (0, ln a ] 也单调递减;
…………8 分

②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递增. h( x) 在 [ln a , ln 2] 也单调递增; 故 h( x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a .

(3)法一: 设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴, 其中 F ( x) ? 2ln x ? x2 ? k 结合题

( ?n ) m (? n ? ),0 意 , 2ln m ? m2 ? k ? 0;2ln n ? n2 ? k ? 0 , 相 减 得 2 l n ? m 即 m m? n 2 ln ? m ( ? n 2 ?) . n m?n
…………9 分

m n

F ( x0 ) ?

2 ? 2 x0 ? 0,? x0 ? 1( x0 ? 0) ,又 m ? n ? 2x0 ? 2 , x0

m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln ? ? n . m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) 设 u ? ? (0,1) , ln u ? ? 0(u ? (0,1)). n u ?1 2(u ? 1) 设 y ? ln u ? (u ? (0,1)) , u ?1 1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 y? ? ? ? ? ? 0, u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 2(u ? 1) 所以函数 y ? ln u ? 在 (0,1) 上单调递增, u ?1
2(

…………11 分

m ? 1) m 2(u ? 1) n 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? , ……13 分 ? 0. 也就是, ln ? m u ?1 n ?1 n m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln ? ? n . 无解. m n m?n ?1 n 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴. ……14 分
法二:

m?n 使 F '( x0 ) ? 0 ,因为 x ? 0 时 y ? F '( x) 单调递减,且 2 m?n F '(1) ? 0 ,所以即证是否存在 x0 ? 使 x0 ? 1 。即证否存在 m, n 使 m ? 2 ? n 。 2 2 ?( x ? 1)( x ? 1) 2 证明: F ( x) ? 2ln x ? x ? k . F '( x) ? ? 2 x ? 2 ? x x x、F '( x)、F ( x) 的变化如下:
分析:即证是否存在 x0 ?
数学(理科)试题 第 10 页 (共 11 页)

x

0 F '( x) ↗ ↘ F ( x) 即 y ? F ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减。又 F (m) ? F (n) ? 0 且 0 ? m ? n 所以 0 ? m ? 1 ? n 。 …………10 分 构造函数 G( x) ? F ( x) ? F (2 ? x) ,其中 0 ? x ? 1 即 G( x) ? (2ln x ? x2 ) ? [2ln(2 ? x) ? (2 ? x)2 ] ? 2ln x ? 2ln(2 ? x) ? 4 x ? 4

(0,1) ?

1

(1, ??) ?

2 2 ( x ? 1)2 ? ? 4 ? 4? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时 G '( x) ? 0 , x 2? x x(2 ? x) 故 y ? G ( x) 在 (0,1) 单调增,所以 G( x) ? G(1) ? 0 。 …………12 分 所以 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? F (2 ? x) 。又 0 ? m ? 1 ? n ,所以 F (m) ? F (2 ? m) , 所以 F (n) ? F (m) ? F (2 ? m) 。 …………13 分 m?n ?1。 2 ? m ? (1, ??) ,所以根据 y ? F ( x) 的单调性知 n ? 2 ? m ,即 因为 n、 2 2 m?n ) ? F '(1) ? 0 . 又 F '( x) ? ? 2 x 在 (0, ??) 单调递减,所以 F '( x0 ) ? F '( x 2 即函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴。 …………14 分 G '( x) ?

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