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高二数学周练试卷


高二数学周练试卷(4。27) 一、选择题; 1.设(5x- x)n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式中 x3 的系数 为( B )A.-150 B.150 C.-500 D.500

1 x+ ?n(x>0,且 n∈N+)的展开式中含有常数项,则指数 n 必为( C ) 2.若二项式? x? ? A.奇数 B.偶数 C.3 的倍数 D.5 的倍数
2

3. 如果 ( ? x 2 )3 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的面积为( C

1 x



A.

27 2

B. 9

C.

9 2

D.

27 4

4.在 1、2、3、4、5 的排列 a1、a2、a3、a4、a5 中,满足 a1>a2,a2<a3,a3>a4,a4<a5 的排列个数是 ( D ) A.10 B.12 C.14 D.16 a1 a2 a2009 2009 2009 5.若(1-2x) =a0+a1x+?+a2009x (x∈R),则 + 2+?+ 2009的值为( C ) 2 2 2 A.2 B.0 C.-1 D.-2 9 6.已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y) 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,那么 x 的取值范围 是 ( B ) 1? 4 4? ? A.? B.? C.(1,+∞) D.? ?-∞,5? ?5,+∞? ?-∞,-5? 7.某地为上海“世博会”招募了 20 名志愿者,他们的编号分别是 1 号、2 号、?、19 号、20 号.若要从中 任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作, 其中两个编号较小的人在一组, 两个编号较大的 在另一组.那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是( A ) A.21 B.16 C.24 D.90 1 2 2 3 3 4 4 2 8.(C4x+C4x +C4x +C4x ) 的展开式的所有项的系数和为( C ) A.64 B.224 C.225 D.256 9. 设 a 为函数 y=sin x+ 3cos x(x∈R)的最大值, 则二项式 ? a x ?

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中含 x 项的系数是( A ) x?

6

A.—192 B.182
n

C.192

D.-18 2

10. (1 ? ax ? by ) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项的系数绝对值的和为 32 ,则

a, b, n 的值可能为 (
A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 二、填空题

D ) B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5 .

11.在 (4 ? 2 ) 的展开式中,常数项为
x

?x 6

15

. 112 .
n

12. ( 3 x ? ) n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则它的常数项是
n 5

2 x

1 ? ? 3 3 ? ? ? 3 3 ? ? x ? 的展开式的各项系数之和等于 ? 4 3 x ? ? x ? 展开 13.已知 ? ? 展开式中的常数项,则 ? 5x ? ? x ? ? ? x ?
式中含 x 的项的二项式系数为
?1

35 .

14. 为落实素质教育, 山东省德州一中拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般研究性课题中各选 2 个课题作为本 年度该校启动的课题项目,若重点课题 A 和一般课题 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 k,那么二项式(1

+kx2)6 的展开式中 x4 的系数为_____54000_____. 15.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色,当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相 ... 邻 的 着色方案 如图 1-3 所示: .

图 1-3 由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻 的着色方案共有 ___21_____种,至少有两个黑色正方 形相邻 .... .. 的着色方案共有_____43___种.(结果用数值表示) 三、解答题: 16.在二项式 ( x ?
3

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中各项的系数和。 【答案】 (1)

35 1 (2)第五项 T5 (3) 256 8

17.已知二项式 ( x ? ) n 的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求 n 的值;(2)设 ( x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n . ①求 a5 的值; ②求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (? 1) n a n 的值. 【解析】
1 1 试题分析: (1)由题设,得 C0 , ? C2 ? C1 n ? n ? 2? n 4 2

1 2

1 2

即 n2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) . (2) ① Tr ?1 ? C x
r 8 8? r

7 ?1? ? ? ,令 8 ? r ? 5 ? r ? 3? a5 ? , 4 ?2? 1 . 256

r

②在等式的两边取 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a8 ?

18.有 9 名学生,其中 2 名会下象棋但不会下围棋,3 名会下围棋但不会下象棋,4 名既会下围棋又会下象棋; 现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生, 一名参加象棋比赛, 另一名参加围棋比赛, 共有多少种不同的选派方法?

第一类:A 中选 1 人参加象棋比赛,B 中选 1 人参加围棋比赛,方法数为 C 2 ? C 3 ? 6 种;
1 1

第二类:C 中选 1 人参加象棋比赛,B 中选 1 人参加围棋比赛,方法数为 C 4 ? C3 ? 12 种;
1 1

第三类:C 中选 1 人参加围棋比赛,A 中选 1 人参加象棋比赛,方法数为 C 4 ? C 2 ? 8 种;
1 1

第四类:C 中选 2 人分别参加两项比赛,方法数为 A4 ? 12 种;
2

由分类加法计数原理,选派方法数共有:6+12+8+12=38 种。

19.已知 ? x ?

? ?

2 ? ? (n ? N ? ) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1. x2 ?

n

(1)求展开式中各项的系数的和; (2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 【答案】解: (1)
n ?5 r 2 ? 2 r ? r n ?1 r r ? ? x ? 2 ? 的展开式中的通项为Tr ?1 ? C( x)(- 2 ) ? (?2) Cn x 2 , ---1 分 n x ? x ? n

4 2 ?T5 ? 24 Cn x

n

?10

2 2 , T3 ? 22 Cn x ,

n

?5

4 24 Cn 2 由题意得 2 2 ? 10,? n ? 5n ? 24 ? 0 2 Cn

解的n ? 8或n ? ?(舍去) 3 令 x=1 得各项系数之和为 1。--(2)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为
r ?1 r ?1 C8r ?1 ? 2r ?1 , C8r ? 2r , Cn 2 -----

r ?1 r ?1 r r ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ? ? 若第 r+1 项的系数绝对值最大,则 ? r ?1 r ?1 --r r? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ? ? ?

解得 5 ? n ? 6 --------8 分 1792 ?系数最大的项为T7 ? 11 x

--------9 分

由 n=8 知第 5 项的二项式系数最大,此时 T5 ?

11120 ---x6

20.若 (ax ? 2b) 的展开式中 x 与 x 的系数之比为 3: 4 ,其中 a ? 0, b ? 0
6
2 3

(1)当 a ? 1 时,求 (ax ? 2b) 的展开式中二项式系数最大的项 ; ....
6

(2)令 F (a, b) ?

b3 ? 16 ,求 F (a, b) 的最小值. a

(1)因为展开式中含 x 的项为: 240a b x ;展开式中含 x 的项为: 160a b x

2

2 4

2

3

3 3 3

得:

240a 2b 4 3b 3 ) 的展开式中二项式系数最大的项为 ? ? , a ? 2b 得 到 当 a ? 1 时 , (a x? 2 b6 3 3 160a b 2a 4

3 3 T4 ? C6 x ? 20 x3

(2)由 a ? 2b , F (b) ?
'

b3 ? 16 b 2 8 ? ? 2b 2 b

, F (b) ? b ?
'
'

8 b2

当 b ? (0, 2) 时, F (b) ? 0 ,当 b ? (2, ??) 时, F (b) ? 0 ,从而得到单调性,求解最值。 解: (1)展开式中含 x 的项为: 240a b x ;展开式中含 x 的项为: 160a b x
2
2 4 2

3

3 3 3

240a 2b 4 3b 3 得: ? ? , a ? 2b 160a 3b3 2a 4
当 a ? 1 时, (ax ? 2b) 的展开式中二项式系数最大的项为 T4 ? C6 x ? 20 x
6
3 3 3

(2)由 a ? 2b , F (b) ?
'

b3 ? 16 b 2 8 ? ? 2b 2 b

, F (b) ? b ?
'
'

8 b2

当 b ? (0, 2) 时, F (b) ? 0 ,当 b ? (2, ??) 时, F (b) ? 0 ,

所以

b3 ? 16 b 2 8 F (b) ? ? ? 在 (0, 2) 递减,在 (2, ??) 递增, 2b 2 b

得 F (a, b) 的最小值为 Fmin ? F (2) ? 6 , 此时 a ? 4, b ? 2

21.请先阅读:

(Ⅰ)利用上述想法(或其他方法) ,结合等式 (1+x) =Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ( x ? R ,整数 n ≥ 2 ) ,
n 0 1 2 2 n n

证明: n[(1 ? x)

n ?1

3 2 4 3 n n ?1 ? 1] ? 2C2 ; n x ? 3Cn x ? 4Cn x ? ? ? nCn x 1 2 3 n ?1 n nCn 的值; n ?2

(Ⅱ)当整数 n ≥ 3 时,求 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (?1)
2 3

(Ⅲ)当整数 n ≥ 3 时,证明: 2Cn ? 3 ? 2Cn ? 4 ? 3Cn ? ? ? (?1)
4

n(n ? 1)Cn n ? 0.
n

【答案】 (Ⅰ)证明:在等式 (1 ? x) ? C n ? C n x ? C n x ? ? ? C n x 两边对 x 求导,
n 0 1 2 2 n

得 n(1 ? x)

n ?1

1 2 3 2 n ?1 n ? 2 n n ?1 ? Cn ? 2C n x ? 3C n x ? ? ? (n ? 1)C n x ? nCn x , (*) n ?1 1 2 3 2 n ?1 n ? 2 n n ?1 ? Cn ? 2C n x ? 3C n x ? ? ? (n ? 1)C n x ? nCn x ,

移项得 n(1 ? x) 即 n[(1 ? x)
n ?1

2 3 2 4 3 n n ?1 ? 1] ? 2C n x ? 3C n x ? 4C n x ? ? ? nCn x .

(Ⅱ)解:在(*)式中,令 x ? ?1, 得 0 ? C n ? 2C n ? (?1) ? 3C n ? (?1) ? ? ? nCn ? (?1)
1 2 3 2 n n ?1

,

即 C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? (?1)
1 2 3

n ?1

n nCn ? 0.

(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知
1 2 3 2 n ?1 n ? 2 n n ?1 n(1 ? x) n?1 ? C n ? 2C n x ? 3C n x ? ? ? (n ? 1)C n x ? nCn x , n ? 3, 2 3 4 2 n n?2 n(n ? 1)(1 ? x) n?2 ? 2C n ? 3 ? 2C n x ? 4 ? 3C n x ? ? ? n(n ? 1)C n x ,







x







在上式中,令 x ? ?1, 得 0 ? 2C n ? 3 ? 2C n (?1) ? 4 ? 3C n (?1) ? ? ? n(n ? 1)C n (?1)
2 3 4 2 n n?2



即 2C n ? 3 ? 2C n ? 4 ? 3C n ? ? ? (?1)
2 3 4

n?2

n n(n ? 1)C n ? 0.


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