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高一数学 必修一第一章知识点复习


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第一章 集合与函数概念
§ 1.1.1 集合的含义与表示
¤知识要点: 1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ { }”括起来,基本 形式为 {a1 , a2 , a3 , ? ? ?, an } ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征 来表示,基本形式为 {x ? A | P( x)} ,既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P( x) ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N,正整数集 N * 或 N ? ,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于 (belong to) 与不属于 (not belong to) , 分别用符号 ? 、 例如 3 ? N , ? 表示, ?2 ? N . ¤例题精讲: 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 7 的整数. 解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0} ; 用列举法表示为 {0, ?1,3} . (2)用描述法表示为: {x ? Z | 2 ? x ? 7} ; 用列举法表示为 {3, 4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17 A; -5 A; 17 B. 解:由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ;

7 ? Z ,所以 ?5 ? A ; 3 由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B .
由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ? 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合: (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?

2 的自变量的值组成的集合. x

*【例 4】已知集合 A ? {a |

x?a ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x2 ? 2

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x?a 解:化方程 2 ? 1 为: x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况: x ?2 9 1 ⑴方程有等根且不是 ? 2 :由 △=0,得 a ? ? ,此时的解为 x ? ,合. 4 2 ⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将 x ? 2 代入得 a ? ? 2 ,此时另一解 x ? 1 ? 2 ,合. ⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 :将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为 x ? 2 ? 1 ,合. 9 综上可知, A ? {? , ? 2, 2} . 4

§ 1.1.2 集合间的基本关系
¤知识要点: 1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有 包含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”). 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即集合 A 与集合 B 的 元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3. 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记 ? ? 作 A B(或 B ? A).读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的子集.

?

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; (4)性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若 A B ? A ,则 A ? B ;若 A B ? A ,则 B ? A .
¤例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空: (1){菱形} {平行四边形}; (2) ? {x ? R | x2 ? 2 ? 0} ; 解: (1) , ; (2)=, ∈, , . 【例 2】设集合 A ? {x | x ?

{等腰三角形} 0 {0};

{等边三角形}. {0}; N ?

{0}.

n 1 , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关系的是 2 2
A
B

A B

B A

A

B



).

A.

B.

C.

D.

解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , B ? {???, ? , ? , , , ???} , 易知 B ? A,故答案选 A.

3 2

1 2

1 2

3 2

3 2

1 1 3 2 2 2

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2 2 【例 3】若集合 M ? ?x | x ? x ? 6 ? 0?, N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.
另解:由 B ? {x | x ?

?

【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值.

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? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1. 2 a ? 2 b ? ax ? 当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. ?a ? b ? ax 2 若? ? 2ax2-ax-a=0. a ? 2 b ? ax ?
解:若 ? 因为 a≠0,所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ? 又 x≠1,所以只有 x ? ?

?a ? b ? ax

1 . 2

1 . 2

点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.

§ 1.1.3 集合的基本运算(一)
¤知识要点: 集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达 到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集 交集 补集 由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于 合 B 的元素所组成的集合, 的元素所组成的集合,称为 集合 A 的所有元素组成的集 概念 称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合,称为集合 A 相对于全集 U (union set) (intersection set) 的补集(complementary set) A B (读作“A 并 B” A B (读作“A 交 B” ? U A (读作“A 的补集” ) ) ) 记号 符号 图形 表示

A

B ? {x | x ? A, 或x ? B}

A

B ? {x | x ? A, 且x ? B}

? U A ? {x | x ?U , 且x ? A}

U

A

¤例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示: A B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

B, ? U ( A

B) .

A -1 3

【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A 解: (1)又 (2)又 得 CA ( B ∴ A

CU ( A

B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ,
(B C ) ; (2) A ?A ( B

A? B
5

B 9 x

C) .

A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6? .

B

C ? ?3? ,∴ A ( B

C ) ? ?3? ;

B C ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,
C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .
C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .

CA ( B

【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A B ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A B ? A ,可得 A ? B . 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: B A 由图形可知, m ? 4 . 4 m x -2 4 m x 点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题. 【例 4】已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A B) , CU ( A B) ,

(CU A)

(CU B) , (CU A)

(CU B) ,并比较它们的关系.

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§ 1.1.3 集合的基本运算(二)
¤知识要点: 1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Venn 图理解和掌 握各区域的集合运算表示, 解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形, 我们还可以发现一些集合性质: CU ( A B) ? (CU A) (CU B) , CU ( A B) ? (CU A) (CU B) .. 3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲: 【例 1】设集合 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,若 A 解:由于 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,且 A

?

?

?

?

B ? ?9? ,求实数 a 的值.

B ? ?9? ,则有:

当 2a ? 1=9时,解得 a= 5 ,此时 A={-4, 9, 25},B={9, 0, -4} ,不合题意,故舍去; 当 a 2=9 时,解得 a=3或-3 . a=3时, A={-4,5,9}, B={9,-2,-2}, 不合题意,故舍去; a=-3,A={-4, -7, 9},B={9, -8, 4} ,合题意. 所以, a=-3 . 【例 2 】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A P14 B 组题 2) 解: B ? {1, 4} . 当 a ? 3 时, A ? {3} ,则 A

B, A

B .(教材

B ? {1,3, 4} , A B ? ? ; 当 a ? 1 时, A ? {1,3} ,则 A B ? {1,3, 4} , A B ? {1} ; 当 a ? 4 时, A ? {3, 4} ,则 A B ? {1,3, 4} , A B ? {4} ; 当 a ? 3 且 a ? 1 且 a ? 4 时, A ? {3, a} ,则 A B ? {1,3, 4, a} , A B ? ? . 点评:集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时,需依据集合的性 质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A ={ x | x 2 ? 4 x ? 0 }, B ={ x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1 ? 0 , a ? R },若 A B=B,求实数 a 的值. 解:先化简集合 A= {?4,0} . 由 A B=B,则 B ? A,可知集合 B 可为 ? ,或为{0},或{-4},或 {?4,0} .
(i)若 B= ? ,则 ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,解得 a < ?1 ; (ii)若 0 ? B,代入得 a 2 ?1 =0 ? a =1 或 a = ?1 , 当 a =1 时,B=A,符合题意; 当 a = ?1 时,B={0} ? A,也符合题意. (iii)若-4 ? B,代入得 a 2 ? 8a ? 7 ? 0 ? a =7 或 a =1, 当 a =1 时,已经讨论,符合题意; 当 a =7 时,B={-12,-4},不符合题意. 综上可得, a =1 或 a ≤ ?1 . 点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换,及集合 之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题 时,特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= ? 的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多 角度审视问题.

第5讲 § 1.2.1 函数的概念
¤知识要点: 1. 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作 ,与 x 的值对应的 y 值叫函数 y = f ( x) , x ? A .其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain)

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值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range). 2. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则:{x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a≤x<b}= [a, b) , {x|a<x≤b}= (a, b] ,都叫半开半闭区间. {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间;

符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”. 则 {x | x ? a} ? (a, ??) , {x | x ? a} ? [a, ??) , {x | x ? b} ? (??, b) , {x | x ? b} ? (??, b] , R ? (??, ??) . 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数 才是同一函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ?

1 ; (2) y ? x ? 2 ?1

x?3
3

x ?1 ? 2

.

解: (1)由 x ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? 1 且 x ? ?3 , 所以原函数定义域为 (??, ?3) (2)由 ?

(?3, ?1)

(?1, ??) .

? ?x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 且 x ? 9 , 3 ? ? x ?1 ? 2 ? 0 所以原函数定义域为 [3,9) (9, ??) .

3x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? x ? 2 . 5 ? 4x 5 5 解: (1)要使函数有意义,则 5 ? 4 x ? 0 ,解得 x ? . 所以原函数的定义域是 {x | x ? } . 4 4 3 3x ? 2 1 12x ? 8 1 3(4 x ? 5) ? 23 3 23 3 3 y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? ,所以值域为 { y | y ? ? } . 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 4 9 1 2 9 2 (2) y ? ? x ? x ? 2 ? ?( x ? ) ? . 所以原函数的定义域是 R,值域是 (??, ] . 4 2 4 1? x 【例 3】已知函数 f ( (1) f (2) 的值; (2) f ( x) 的表达式 ) ? x . 求: 1? x 1? x 1 1 解: (1)由 ? 2 ,解得 x ? ? ,所以 f (2) ? ? . 3 1? x 3 1? t 1? x 1? x 1? t (2)设 ,所以 f (t ) ? ,即 f ( x) ? . ? t ,解得 x ? 1? x 1? t 1? t 1? x
【例 2】求下列函数的定义域与值域: (1) y ? 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常 需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 【例 4】已知函数 f ( x) ?

x2 ,x?R . 1 ? x2
1 2 1 3 1 4

(1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) .

1 x

§ 1.2.2 函数的表示法
¤知识要点: 1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量 可求函数值) ;图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出 表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 3. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个

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映射(mapping) .记作“ f : A ? B ”. 判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ¤例题精讲: 【例 1】如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小 正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这个函 数的定义域为_______. 解:盒子的高为 x,长、宽为 a-2 x ,所以体积为 V= x(a-2 x)2 . 又由 a-2 x ? 0 ,解得 x ?

a . 2

所以,体积 V 以 x 为自变量的函数式是 V ? x(a-2 x)2 ,定义域为 {x | 0 ? x ? } . 【例 2】已知 f(x)= ?
3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 3 ?3 ? ?x ? x

a 2

x ? (??,1) x ? (1, ?? )

,求 f[f(0)]的值.

解:∵ 0 ? (??,1) , 又 ∵
3

∴ f(0)= 3 2 .

2 >1,

∴ f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+

1 5 5 = ,即 f[f(0)]= . 2 2 2

【例 3】画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 | ; (教材 P26 练习题 3) (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | .

? x ? 2, x ? 2 解: (1)由绝对值的概念,有 y ?| x ? 2 |? ? . ?2 ? x, x ? 2 所以,函数 y ?| x ? 2 | 的图象如右图所示.
?3x ? 3, x ? 1 ? (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 , ??3x ? 3, x ? ?2 ? 所以,函数 y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | 的图象如右图所示. 点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据 定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如 [?3.5] ? ?4 ,[2.1] ? 2 ,当 x ? (?2.5,3] 时,写出 f ( x) 的解析式,并作出函数的图象.

§ 1.3.1 函数的单调性
¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某 个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 仿照增函数 的定义可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调 区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减函数的图 象从左向右是下降的(如右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调 区间及单调性.

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3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

2x 在区间(0,1)上的单调性. x ?1 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
由于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2x 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则
所以,函数 f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . b b 若a ? 0, 当 x1 ? x2 ? ? 时, 有 x1 ? x2 ? 0 ,x1 ? x2 ? ? , 即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 , 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 2a a b b 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增. 同理可得 f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 2a
【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .

?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 ,其图象如右. ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [ ?2, ?? ) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.

?? x2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ,其图象如右. 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 ( ??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [ ?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数.
(2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ? ? 点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数. 第 2 小题 也可以由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由 图象研究单调性,关键在于正确作出函数图象. 【例 4】已知 f ( x) ?

3x ? 1 ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2

§ 1.3.1 函数最大(小)值
¤知识要点: 1. 定义最大值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f ( x) ≤ M;存在 x0∈I,使得 f ( x0 ) = M. 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定 义,可以给出最小值(Minimum Value)的定义. 2. 配方法: 研究二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大 (小) 值, 先配方成 y ? a( x ? 当 a ? 0 时,函数取最小值为

b 2 4ac ? b2 后, ) ? 2a 4a

4ac ? b2 4ac ? b2 ;当 a ? 0 时,函数取最大值 . 4a 4a

3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值.

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4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲:

6 的最大值. x ? x ?1 6 6 1 3 3 ?8. 解:配方为 y ? ,由 ( x ? )2 ? ? ,得 0 ? 1 2 3 1 3 2 4 4 (x ? ) ? ( x ? )2 ? 2 4 2 4
【例 1】求函数 y ?
2

所以函数的最大值为 8. 【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采用提高 售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出 价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润. 解:设他将售出价定为 x 元,则提高了 ( x ? 10) 元,减少了 10 ( x ? 10) 件,所赚得的利润为 y ? ( x ? 8) [100 ? 10 ( x ? 10)] . 即 y ? ?10x2 ? 280x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 . 当 x ? 14 时, ymax ? 360 . 所以,他将售出价定为 14 元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元. 【例 3】求函数 y ? 2x ? x ? 1 的最小值. 解:此函数的定义域为 ?1, ?? ? ,且函数在定义域上是增函数, 所以当 x ? 1 时, ymin ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,函数的最小值为 2. 点评:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究, 也可以用换元法研究. 【另解】令 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 , x ? t 2 ? 1 ,所以 y ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 在 t ? 0 时是增函数,当 t ? 0 时, ymin ? 2 ,故函数的最小值为 2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ;

1 4

15 , 8

5 3 2 2

(2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | .

§ 1.3.2 函数的奇偶性
1. 定义:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function) . 如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? ? f ( x) ) , 那么函数 f ( x) 叫奇函数 (odd function). 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴 对称. 3. 判别方法: 先考察定义域是否关于原点对称, 再用比较法、 计算和差、 比商法等判别 f ( ? x ) 与 f ( x) 的 关系. 【例 1】判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ?

1 ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x 2 ? x3 . x 解: (1)原函数定义域为 {x | x ? 0} ,对于定义域的每一个 x,都有 1 1 f (? x) ? (? x)3 ? ? ?( x3 ? ) ? ? f ( x) , 所以为奇函数. ?x x

(2)原函数定义域为 R,对于定义域的每一个 x,都有 f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ? 1|? f ( x) ,所以为偶函数. (3)由于 f (? x) ? x2 ? x3 ? ? f ( x) ,所以原函数为非奇非偶函数.

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【例 2】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 解:∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) , g ( ? x) ? g ( x) .

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 则? ,即 ? . 1 ? f (? x) ? g (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? x 1 两式相减,解得 f ( x) ? 2 ;两式相加,解得 g ( x) ? 2 . x ?1 x ?1 【例 3】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.
解:作出函数 y ? ?2x2 ? 4x ? ?2( x ? 1)2 ? 2, x ? 0 的图象,其顶点为 (1, 2) . ∵ f ( x) 是偶函数, ∴ 其图象关于 y 轴对称. 作出 x ? 0 时的图象,其顶点为 ( ?1, 2) ,且与右侧形状一致, ∴ x ? 0 时, f ( x) ? ?2( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 4 x . 点评: 此题中的函数实质就是 y ? ?2 x2 ? 4 | x | . 注意两抛物线形状一致, 则二次项系数 a 的绝对值相同. 此类问题,我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求,过程如下. 【另解】当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,又由于 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x)2 ? 4(? x) ? ?2 x2 ? 4 x . 【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (??,0) 上是减函数,实数 a 满足不等式

f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数, ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左侧递减.又 ∵ f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称,则在 y 轴右侧同样递减. 又 f (?0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 , 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减.
∵ f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) , ∴ 3a 2 ? a ? 3 ? 3a 2 ? 2a ,解得 a ? 1 . 点评:定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间 上单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反. 练习: 【例 1 】 ( 05 年江苏卷 .17 )已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10 x ? 24 ,则 5a ? b ? .

. 【例 2】 (02 京、皖春.18)已知 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增 函数还是减函数,并加以证明.

【例 3】集合 A ? {x | ?1 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? m ? x ? 3m ? 1} ,若 A

B ? B ,求实数 m 的取值范围.

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高一数学必修 1 集合练习题 1
基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 C.接近于 0 的数 A. {x | x ? 3 ? 3} B.等于 2 的数 D.不等于 0 的偶数 )
2



2.下列四个集合中,是空集的是(

B. {( x, y) | y ? ? x 2 , x, y ? R}

C. {x | x 2 ? 0} D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R} 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A A. ( A C ) ( B C ) B. ( A

B

B) ( A C ) C. ( A B) ( B C ) D. ( A B) C
4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ;
2

C

其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

D. 3 个

5.若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长, 则△ ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.若全集 U ? ?0,1,2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 二、填空题 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ? D. 8 个 )

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CRQ ( e 是个无理数) 2

(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q 2. 若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A 非空子集的个数为 。

?

?
B ,则 C 的

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3.若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A

B ? _____________.

4.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ? 1} ,且 A ? B , 则实数 k 的取值范围是 。

5.已知 A ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , B ? y y ? 2 x ? 1 ,则 A 三、解答题 1.已知集合 A ? ? x ? N |

?

?

?

?

B ? _________。

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ?

2.已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值范围。

2 2 3.已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A

?

?

?

?

B ? ??3? ,

求实数 a 的值。

4









U ?R



M ? ?m | 方程mx 2 ? x ? 1 ? 0有实数根? N.



N ? ?n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实数根? , 求 ? CU M ?

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( A. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 2.函数 f ( x ) ? B. 2 x ? 1 D. 2 x ? 7 ) )

cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 A. 3 B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3
1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 2 x

3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ?



A. 15 B. 1 C. 3 D. 30 4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2 , 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(



5 2 C. [ ?5,5]

A. [ 0, ]

B. [ ?1, 4] D. [ ?3, 7] )

5.函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4x 的值域是( A. [?2, 2] C. [0, 2] B. [1, 2] D. [? 2, 2]

2 6.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为( 1? x 1? x



x 1? x2 2x C. 1? x2
A. 二、填空题

2x 1? x2 x D. ? 1? x2
B. ?

?3x 2 ? 4( x ? 0) ? 1.若函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?
2 2.若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =



. 。

3.函数 f ( x) ?

2?

1 x2 ? 2 x ? 3

的值域是

4.已知 f ( x) ? ?

?1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0



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5.设函数 y ? ax ? 2a ? 1 ,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围 三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4 x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,



? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值.

2.求下列函数的定义域 (1) y ?

x ?8 ? 3? x
1 1? 1? 1 1 x ?x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

(3) y ?

3.求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ? 1 ? 2x ? x

4.作出函数 y ? x ? 6 x ? 7, x ? ?3,6? 的图象。
2

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一、选择题 1. C 元素的确定性; 2. D 选项 A 所代表的集合是 ?0? 并非空集,选项 B 所代表的集合是 ?(0,0)?

并非空集,选项 C 所代表的集合是 ?0? 并非空集, 选项 D 中的方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根;
2

3. A 4. A

阴影部分完全覆盖了 C 部分,这样就要求交集运算的两边都含有 C 部分; (1)最小的数应该是 0 , (2)反例: ?0.5 ? N ,但 0.5 ? N (3)当 a ? 0, b ? 1, a ? b ? 1 ,(4)元素的互异性

5. D 6. C

元素的互异性 a ? b ? c ;

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ? 1 ? 7 。

二、填空题 1.

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?, (3) ?

0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 16 ? 4 ;

( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) 2 ? 6, 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 6, 当 a ? 0, b ? 1 时 6 在集合中
2.

15

A ? ?0,1, 2,3, 4,5,6? , C ? ?0,1, 4,6? ,非空子集有 24 ? 1 ? 15 ;
2, 3, 7,10 ,显然 A B ? ?x | 2 ? x ? 10?

3.

?x | 2 ? x ? 10?
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

4.

?2k ? 1 ? ?3 1 ?3, 2k ? 1, 2k ? 1, 2 ,则 ? 得 ?1 ? k ? 2 ? 2k ? 1 ? 2

5.

? y | y ? 0?

y ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 , A ? R 。

三、解答题 1.解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?; 2.解:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3

?m ? 1 ? ?2 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5

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3.解:∵ A

B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a 2 ? 1 ? ?3 ,

∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1 ?, 这样 A

B ? ??3,1? 与 A B ? ??3? 矛盾; B ? ??3?

当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A

∴ a ? ?1 4.解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; 当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ? ∴m ? ?

1 ,且 m ? 0 4

1 1? ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4 4? ?
1 1? ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4 4? ?

而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?

∴ (CU M ) 1. C 2. D

1? ? N ? ? x | x ? ? ? 一、选择题 4? ?

元素的确定性; 选项 A 所代表的集合是 ?0? 并非空集,选项 B 所代表的集合是 ?(0,0)?

并非空集,选项 C 所代表的集合是 ?0? 并非空集, 选项 D 中的方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根;
2

3. A 4. A

阴影部分完全覆盖了 C 部分,这样就要求交集运算的两边都含有 C 部分; (1)最小的数应该是 0 , (2)反例: ?0.5 ? N ,但 0.5 ? N (3)当 a ? 0, b ? 1, a ? b ? 1 ,(4)元素的互异性

5. D 6. C

元素的互异性 a ? b ? c ;

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ? 1 ? 7 。

二、填空题 1.

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?, (3) ?

0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 16 ? 4 ;

( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) 2 ? 6, 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 6, 当 a ? 0, b ? 1 时 6 在集合中
2.

15

A ? ?0,1, 2,3, 4,5,6? , C ? ?0,1, 4,6? ,非空子集有 24 ? 1 ? 15 ;

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3.

?x | 2 ? x ? 10?
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

2, 3, 7,10 ,显然 A B ? ?x | 2 ? x ? 10?

4.

?2k ? 1 ? ?3 1 ?3, 2k ? 1, 2k ? 1, 2 ,则 ? 得 ?1 ? k ? 2 ? 2k ? 1 ? 2

5.

? y | y ? 0?

y ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 , A ? R 。

三、解答题 1.解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?; 2.解:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3 3.解:∵ A

?m ? 1 ? ?2 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5

B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a 2 ? 1 ? ?3 ,

∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1 ?, 这样 A

B ? ??3,1? 与 A B ? ??3? 矛盾; B ? ??3?

当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A

∴ a ? ?1 4.解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; 当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ? ∴m ? ?

1 ,且 m ? 0 4

1 1? ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4 4? ?
1 1? ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4 4? ?

而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?

∴ (CU M )

1? ? N ? ?x | x ? ? ? 4? ?

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