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最新直线和圆的方程典型例题详细解析


直线与圆
一、选择题: 1.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (D) ? 3

(B) 1

(C) 3

. 2.设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距离 C1C2 = (

A)4 【答案】C 【解析】 设和两坐标轴相切圆的方程为:( x ? m) ? ( y ? m) ? m , (41 将 ,)
2 2 2

(B) 4 2

(C)8

(D) 8 2

带入方程整理得:

m2 ? 10m ? 17 ? 0 , C1C2 = 2 (10) 2 ? 4 ?17 ? 8.
二、填空题: 3.若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =_______ 【答案】 1 【解析】 k1 ? :

1 2 1 2 , k2 ? ? ,?直线互相垂直,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ? (? ) ? ?1,? m ? 1 2 m 2 m
2 2

4.已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . .

(2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 答案:5,

1 6

-1-

6.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上.则 C 的方程为___________. 答案:

? x ? 2?

2

? y 2 ? 10

解析:直线 AB 的斜率是 kAB=

3 ?1 1 ? ? ,中点坐标是(3,2).故直线 AB 的中垂线方程 1? 5 2

? y ? 2 ? 2 ? x ? 3? , ? 得圆心坐标 C(2,0) ,r=|AC|= 32 ?12 ? 10 ,故圆 y ? 2 ? 2 ? x ? 3? ,由 ? ? y ? 0, ?
2 的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 10 。 2

10.过原点的直线与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为
2 2

【答案】 2 x ? y ? 0 12.(本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? k1x+1 l2 : y=k 2 x ?1 , ,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0, (I)证明 l1 与 l2 相交;

-2-

(II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x 2 +y2 =1 上. 【命题意图】 :本题考察直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在线上的判断 与证明,椭圆方程等基本知识,考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。 【解析】 1) 反证法) : ( ( 假设 l1 与 l2 不相交, l1 与 l2 必平行, k1 =k 2 代入 k1k 2 ? 2 ? 0 则 ? 得
2 k1 ? 2 ? 0 ,与 k1 是实数相矛盾。从而 k1 ? k 2 ,即 l1 与 l2 相交。

(2) (方法一)由 ?

? y ? k1 x ? 1 得交点 p 的坐标(x,y)为 ? y ? k2 x ?1

2 ? ?x ? k ? k ? 2 1 , ? ? y ? k2 ? k1 ? k2 ? k1 ?


2x 2 +y2 =2(

2 2 2 2 k2 ? k1 2 8 ? (k2 ? k1 )2 8 ? k12 ? k2 ? 2k1k2 k12 ? k2 ? 4 ) ?( ) ? ? ? 2 ?1 2 2 k2 ? k1 k2 ? k1 (k2 ? k1 )2 k12 ? k2 ? 2k1k2 k1 ? k2 ? 4

所以 l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)在椭圆 2x +y =1 上 (方法二) l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)满足: ?

2

2

? y ? k1 x ? 1 ,? x ? 0 ,从而 ? y ? k2 x ?1

y ?1 ? k1 ? ? y ?1 y ?1 ? x ? ? 2 ? 0 ,整理得 ,代入 k1k 2 ? 2 ? 0 得 ? x x y ?1 ?k ? ? 2 x ?

2x 2 +y2 =1
所以 l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)在椭圆 2x +y =1 上 【解题指导】 :两直线 l1 : y ? k1x+b1,l2 : y=k 2x ? b2 的位置关系判定方法: (1) l1 / /l2 ? k1 =k 2 , 且b1 ? b2 (2) l1与l2相交 ? k1 ? k 2 (3) l1与l2重合 ? k1 ? k 2 , 且b1 ? b2
-32 2

证明两数不等可采用反证法的思路。 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可,或求出交点的轨 迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。 13.(本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【解析】 (I)由 ?

?y ? x ?b
2 ?x ? 4 y

得 x ? 4 x ? 4b ? 0
2

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得

b ? ?1 .
(II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x2 ? 4 y ,得 y=1,
2

故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径 r, 即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4 .
2 2

【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与 方程思想、数形结合思想. 14.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上,
2

(1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。 分析:用待定系数求圆的方程;由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。 解: (Ⅰ)曲线 y ? x 2 ? 6x ? 1, 与y轴交点为 0,1),与x轴交点为 3 ? 2 2,0),(3 ? 2 2,0) ( ( 因而圆心坐标为 C (3, t ), 则有 32 ? (t ?1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 ?t ? 1
2 2 2 2 半径为 3 ? (t ? 1) ? 3 ,所以圆方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

-4-

(Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 满足 ?

?x ? y ? a ? 0
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

解得: 2 x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0

? ? ? 56 ? 16a ? 4a 2 ? 0

x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4
a 2 ? 2a ? 1 2

? x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 ? x2 ?

?OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a
?2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0,?a ? ?1
点评:本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用, 要对每一点熟练把握。

-5-


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