当前位置:首页 >> 数学 >>

美国数学战争始末及其启示


数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

美国“ 数学战争” 始末及其启示 ‘
黄荣金
( 澳门大学教育学院)

泛的实验和使用. 1 9 9 9 年, 美国教育部评选出了十
1 背景

大推荐 的数 学项 目,其 中 5个是 示 范 性 的
<

br />     纵观过去一个世纪美国数学教育的发展, 数学 家对数学教育的参与程度及方式对数学教育的发 展产生了不同的影响. 由美国教育家、 哲学家杜威 倡导的“ 进步教育” 运动, 自 二十世纪初开始主导着 美国学校教育, 也包括数学教育. 这一运动在前半 个世纪对数学教育造成的直接影响是学校数学内 容锐减、 教学水平低下一 个近乎笑话的事实是应 征人伍的新兵也必须补习基本算术知识, 以便清点 多少本书或多少门炮. 另外, 修读高等数学或其它 学术科学的学生不断减少, 这与社会对较高数学修

( e x e m p l a y r ) , 另外5 个是充满前景的( p o r m i s i n g ) . 在
这个课程开发过程中, 数学家一开始并没有发表什 么意见, 但随着他们对基于标准的数学课程的了 解, 发现在课程中任意地删减了一些内容, 严重忽 视基本技能培养, 并且数学错误百出, 于是对新标

准的批评声四起, 引起了一场” 数学战争” ( M a t h W a r s ) . 由2 0 0 多名大学数学家和科学家, 其中包括
诺贝尔奖和菲尔兹奖得主联合签名并在《 华盛顿邮 报》 发表致美国教育部长的公开信. 信中批评教育 部授予这十个奖项, 并要求停止数学标准的实施. 这是“ 数学战争” 的一个典型事例. 在这场持久的数 学论战中, 数学家们表达他们对课程、 标准、 评价、 教师准备和教学法等方面的观点. 这些争论, 虽然 加深了对学校数学一些重要问题的认识, 但严重分 散了中小学数学教育工作者的注意力, 阻碍了美国 改进数学学习的努力. 于是活跃于数学和数学教育

养的 要求形成了 强烈的反差[ ’ 〕 . 此外, 1 9 5 7 年, 前苏
联人造卫星的升空, 以及公理化方法在数学上的成 功等因素, 终于在 1 9 6 ( ) 年代触发了主要由数学家领 军的“ 新数学” 改革运动. 这场体现数学结构公理体 系的学校数学课程最终以失败而告终. 其主要原因 是天真地以为可以通过公理形式化方式来组织和 实施学校数学课程, 而不是从直观开始来有机地组 织和发展数学课程, 同时还不切实际地假设数学教 师具有相应的知识准备. 正是新数学运动的失败导 致了1 9 7 0 年代的一场” 回归基础” . 这一运动使数学 教育处于粗浅的状态. 结果, 在1 9 8 0 年代美国数学 教育再一次引起关注, 美国教育部发表的《 危机之

的专家重新审视了这场争论: 这些争论是否可能是 语言问题和缺乏沟通, 而不代表存在着本质上的区 别? 为了检验这一想法, 来自 美国商界的应用数学 博士、 某重要技术公司的数学及科学政策顾问 R i c h a r d  S c h a a r 召集了一个由数学家和数学教育专
家组成的小组进行了两次正式的建设性对话, 以寻 求两个领域专家关于中小学数学教育的共同认识 .

中的国 家》 [ 2 ] 成为这一关切的标志. 这一次, 首先做
出响应的不是数学家, 而是数学教育工作者. 著名

这个小组由 两位数学家R .  J a m e s  M i l g r a m和W i l f r i e d
S c h m i d和 三 位 资 深 数 学 教 育 专 家 D e b o r a h

的 全美数学教师协会( N a t i o n a l  C o u n c i l  o f  T e a c h e r  o f M a t h e m a t i c s ,  N C T M ) 领导和开发了 美国 历史上新的

国 家 数 学 课程标 准及相关文件[ [ 3 ] [ 4 ] . 在联邦政府资
助下, 全美数学教师协会不仅开发了课程标准, 而 且编写出多套基于标准的教材并进人课堂进行广

L o e w e n b e r g  B a l l ,  J o a n  F e r r i n i 一M u n d y和 J e r e m y K i l p a t r i c k 组成.
小组成员寻找关于有代表性的、      引起争议的一

系列主题的基本观点. 第一次会议在2 0 0 4 年1 2 月举
行, 一开始小组成员提出了基于先前小组成员之间

     致谢: 本研究 得到澳门 大学 研究项目 《 从国际比较视角对华人数学 教学法的 探索 》 ( C a t i v a  N o .  2 0 5 0 , 3 ( Y 7 2 ) 以 及全国 教育      科学 “ 十五” 规划重点 课题《 关于中 学 数学“ 双基” 传统的 研究》 ( D H A  0 3 0 1 4 4 ) 的资助. 不过, 本文所有结 论仅代
表研究者个人的观点.     

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

数学通报

交流形成的一些陈述. 在这次会议上, 小组确认了 一些共识, 并“ 发现” 了一些新的观点. 与会成员认 真听取不同意见, 经常要求清楚解释并举例说明各

需要继续做出努力. 另外, 最好的四分之一学生也 没有得到适当教育, 关注如何改进这部分学生的学 习也是同样重要的. 必须提高对所有学生的学习期

自 的观点. 为了检验是否相互理解, 提出一个陈述 后, 通常是大家集体讨论和分析, 以达成一个初步
的共识, 并由其中一位成员输人计算机, 投影到会 议室的屏幕上, 用于进一步评论和修正. 小组成员 通过仔细检查使用的语言及细微的差别, 不断改进 对相关问题的表述, 直到所有与会者满意为止, 最 后, 达成了一些关于中小学数学教育的共同领域

望. 当他们离开中学时, 大多数学生应该学习过微
积分. 第一,      数字方面的基本技能对于多样化的日常 应用仍然是十分重要的. 这些技能为更高级的数学 学习提供了重要的基础. 而这些更高水平的数学对 在工作岗位上取得成功是基本性的, 所以他们必须 成为当今基础教育的组成部分. 尽管以往只要能够 广泛完成纸笔运算对完成工作已经足够, 但现在情 况有所不同. 因此, 今天的学生需要使用计算过程

( c o m m o n  g o r u n d ) . 在2 0 0 5 年6 月的 第二次会议上,
该小组终于完成了 这个文件《 达成中小学数学教育

的 共同 领域》 [ 5 l ( 以下简称《 共同 领域》 ) . 不过这个
文档主要讨论了从幼儿园到中学八年级数学中具 有争议的部分. 另一方面,      由于新加坡在历次国际数学学业成 绩比 较研究中 学生成绩高居榜首, 而美国只落在中 下游水平, 这引起美国教育界深人研究和反思, 美 国不仅引进新加坡的数学教材, 并进行实验, 而且 将美国和新加坡两国的数学课程和教材进行全面 比 较, 发表了《 美国能从世界一流的新加坡数学系

的 熟练. 熟练( P o r f i c i e n c y ) , 我们指的是既包括计算
的流畅, 也包括对隐含的数学思想和原理的理解. 第二,      数学需要使用有关精确定义的对象及概 念进行小心推理. 数学是借助于由学习过的词汇组 成的强大语言来交流的. 推断和说明数学命题是否 正确的能力是基本的. 使用适度精确的数学词汇或 记号的能力也是重要的. 精确是指使用词汇和符号 时保持与定义的一致性, 并且以学生年级相适应的 方式使用, 而不是为了形式而形式. 第三,      学生必须能够明确地表达问题和解决问 题. 数学问题解决包括能够( 1 ) 对所提出问题的清 楚理解; ( 2 ) 把问题从 日 常工作语言转化为精确的 数学语言; ( 3 ) 选择并使用适当的方法来回答问题; ( 4 ) 根据原始的问题来解释和评价解, 以及( 5 ) 理 解并不是所有问题都可以用数学方法解决, 2 . 2 关于中小学数学教育的共识 对下列条目的讨论常常是难以表达的,      而且被 或多或少争议的存在而困惑. 另外一些问题产生于 对数学概念本身和它的课堂教学形态的混淆. 比 如, 运算法则在教学中没有很好处理, 并不意味这

统学习什么? 》 圈, 结果发现新加坡的数学课程有许
多值得美国学习的地方. 基于对数学家与数学教育研究人员达成的共      识, 以及对新加坡成功经验的借鉴, 美国N C T M 组织 数学家、 数学教育家以及中小学老师, 通过广泛征

求各界意见出版了《 学校数学原则和标准》 ( N C T M , 2 0 0 0 ) 的 扩展文件《 学前到八年级数学课程焦点: 寻 求一致》 ( C u r r i c u l u m  F o c a l  P o i n t s  f o r  P r e K i n d e r g a t r e n t o  G r a d e  8  M a t h e m a t i c s :  A  Q u e s t  f o r  C o h e e r n c e , 以下 简称《 课程焦点》 ) [ 7 l 制定出学前到八年级每个年级
的数学焦点内容以及与其它相关内容的连接. 斯坦 福大学数学教授, 以往 N C T M数学课程标准的批评

者 之一, R .  J a m e s  M i l g r a m , 对这一文件充满期待, 称
它是“ 走上正确轨道” 、 标志着“ 数学战争” 的结束. 可以预料, 这一最新文件与《 学校数学原则和标准》 相得益彰, 将对美国、 甚至国际数学教育改革产生
深刻的影响.

些算法本身不好. 我们努力去澄清这些问题和条 目, 最终达成下列共识,
     第一,自动化回忆基本事实. 数学中某些基本 程序及算法是如此基本, 而且如此具有广泛的应用

性, 以至他们应该被训练达到自 动化的程度. 在整

本文将报告《      共同领域》 以及依然存在的分

数运算中, 计算的流畅性( l f u e n c y ) 是关键的. 计算
流畅性的重要组成部分是效率和正确性. 最终, 流 畅性需要基本数字事实的自 动化回忆. 基本的数字 事实, 我们是指整数 0 到1 0 的加法和乘法的组合. 这一目 标, 可以通过许多不同的教学方法来实现. 第二,      计算器. 即使在低年级, 计算器对数学教 学也能够发挥积极的作用. 但是必须小心使用以免 影响数字基本事实和运算过程流畅性的获得. 计算 器的不恰当使用可能会影响学生对分数意义的理

歧[ [ 8 l , 然 后, 简 要 介 绍 《 课 程 焦点 》 的 特点, 以 期对我
国正在进行的数学课程改革和实施有所启示, 2 中小学数学教育的共同领域

2 . 1 数学教育的基本假设 为了在当今社会中起到积极作用,      所有学生都 必须具有扎实的数学基础. 虽然, 人们已经广泛认 识到适当改进差生教育的必要性, 但是在这方面还

数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷

第1 期

解以及分数运算的能力. 同样, 图像计算器可以促 进学生对函数的理解, 但是学生必须理解函数和图 像概念本身, 并且知道不依赖图像计算器也能使用
这些概念.

适当处理数学精确性, 以便既有利于学生易于理

解, 又保持数学的 完整性( i n t e g r i t y )  .
     精心设计的教学材料, 如教科书, 教师手册和 软件也许提供了有意义的教学支持, 但不能取代高 素质的、 学识丰富的教师. 教师的数学知识必须通 过扎实的职初教师准备, 以及持续和系统的专业学 习机会来发展. 2 . 3 对“ 共同领域” 的质疑 针对上述部分数学家与数学教育专家达成的     

     第三, 学习算法. 学生应该能够熟练地使用整 数运算的法则, 并理解这些算法. 熟练使用和理解 应该是同步发展的. 这些基本算法是数学的主要智 能结晶之一 因为, 它们包含十进制数系的结构, 有 助于促进位值系统的理解一 般地, 一个算法是包 含使用有限步运算获得一个确定答案的数学运算 的系统化程序. 一个算法可以用不同方法来实施. 算法的思想在数学中是基本的. 除了算术运算以外 的算法研究为学生提供了一个欣赏算法多样性和 重要性的机会. 比如, 构造一个角的平分线, 解二元 一次线性方程组, 使用转转相除来求一个数的平方

关于学校数学教育的共识, 也有数学家, 如R a l s t o n
在赞赏这种努力的意义外, 提出了中肯的建设性意 见. 例如, 他指出有些表述模糊不清, “ 数学中的某 些过程和算法是如此基本, 具有如此广泛的应用以 至他们必须训练达到自 动化的程度” . 但是, 没有例 子, 这意味什么? 唯一给出的例子是“ 整数算术的计 算流畅性是关键的”. 什么样的其它过程或算法, 如 果有的话, 应该达到自 动化? 而且“ 整数算术的计算 流畅性” 意味着什么? 这是否意味着学生应该使用 传统的长除法也要流畅? 虽然, 至多一小部分学生 曾经在这个算法上流畅过. 在计算器随手可得的年 代, 我们应该对将来的学生有怎样的期望而不只是 一小部分学生可能达到的流畅? 为什么只是 “ 整数 运算” ? 是不是小数的运算不如整数运算重要? 显 然, 在实际应用中并不如此. 另外, 他在下列方面提 出了不同的观点: 第一,      “ 当学生离开高中时, 大部分学生应该学 习微积分” . 先不说这 目标在可预见的将来是不切 实际的. 也不说许多正在高中学习微积分的学生学 完后, 只能达到粗浅的理解, 只会懂一点使用机械 的算法来完成运算, 事实上, 所有这些内容可以用 计算器来很好地完成. 那么, 为什么希望一半的学 生去学习微积分呢? 考虑到作为大学数学的人门, 离散数学和微积分几乎是一样好的事实, 数学界没 有得到这个认识. 文章作者没有认识到这一观点, 让人怀疑他们中的许多人是生活在过去. 第二,      “ 学生应该能够熟练地使用整数运算的 算法, 他们应该理解这些算法”. 毫无疑问, 这一陈 述用来打压提倡放弃纸笔算术的传统教学的人士. 但是, 期望大多数学生可能熟练掌握传统的算法, 听起来好象是上个世纪的声音. 在当今世界, 不管 教师如何反对使用计算器, 大多数学生在校外, 将 用计算器来做他们的家庭作业. 是否有可能让大多 数学生能够理解这些算法吗? 第三,      “ 分数的算术是学习代数的重要基础” . 当学生在中学学习互为倒数, 以及分数和小数的互 化后, 先学分数运算不一定是一个必要的前提. 事

根( a  s u c c e s s i o n  o f  d i v i d i n g  a n d  a v e r a g i n g ) .
第一,      分数. 理解分数的数学意义是十分重要

的. 没有分数, 我们就不能够很好地理解比, 比例, 百分比. 分数的运算是代数学习的重要基础.
     第二, 数学教学中的“ 现实” 背景. 通过应用问 题进行数学教学可能有助于激发动机和导人数学 观点. 然而, 这种方法不应该被提升到一个一般的 原则. 如果所有学校数学都要使用现实问题进行教 学, 那么一些重要的主题就得不到适当的关注. 教 师必须小心选择背景. 他们需要有选择地使用现实 问题或数学应用来引导学生聚焦到通过问题所发 展的数学观点( i d e a s ) 上来. 第三,      教学方法. 某些人建议以牺牲数学教学 中的直接教学方法来提倡单一的小组或发现式学 习. 学生能够通过直接教学、 结构化的调查和开放 式的探究组合进行有效的学习. 根据具体数学内 容、 学习目标、 学生已有的技能和知识来决定是采 用直接教学法, 还是采用结构化的探究教学以取得 更好的教学效果. 比如, 数学约定和定义不应该采 用纯粹发现法. 确保学生获得正确的数学理解和结 论是数学教师的责任. 作出明智的教学策略依赖于 教师深厚的学科知识功底. 第四,      教师知识. 有效的数学教学依赖于深刻 理解的学科知识. 教师必须能够做他们要教的数 学, 但是仅此而己对教学来说是不够的. 有效的教 学需要理解隐含的意义, 并说明教学的观点和程 序, 能够建立主题同主题之间的联系. 使用数学术 语和记号的流畅性、 正确性和精确性是关键的. 教 学要求教师对特定数学观点以适当的数学表征表 示出来, 并建立教师和学生理解之间的桥梁. 这需 要教师的智慧来作出判断怎样减低数学的复杂性,

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

数学通报

实上, 加、 减, 特别是分式除法比分数的同类运算来 得简单. 所以, 当学生学习代数时不知道分数运算 又如何呢? 不仅是代数的算法较为容易, 而且更为 成熟的高中生比初中生更容易学习. 于是, 可将分 数算术作为代数算法在算术中的应用. R      a l s t o n 还表达了对寻求数学界和数学教育界 关于美国学校数学主要问题高度一致意见的悲观, 认为, 达成任何有意义的共识为时过早. 不过, 他认 为, 数学家和数学教育专家之间的相互尊重应该是 可能做到的, 数学教育界必须接受专业数学家, 研 究人员, 通过他们的经验和洞察, 有潜在的可能为 学校数学教育做出贡献, 不过数学家们需要虚心地 了 解中小学数学, 一般而言, 大学数学教育工作者 和许多中学数学教师比他们知道更多关于学校数 学的合适的教学法. 3 美国学校数学标准及其发展

生, 新加坡提供另一种框架, 并且由专家教师来辅 助. 就课程和教材而言, 美国数学体系并没有这些 特征. 它缺乏确定的核心数学内容来为数学体系提 供聚集点. 传统的数学强调定义和公式而不是理 解. 评价也缺乏挑战性; 大多的美国教师缺乏坚实 的数学准备. 因此, 美国培养出来的学生只学会机 械地使用数学程序来解决常规问题, 因此他们与其 它工业化国家的学生在数学方面没有竞争力. 此外,      第三次国际数学与科学研究对各国数学 课程的研究表明, 美国的数学课程是“ 一英里宽, 一

英寸深” [ t 0 ]最近对各州的各年级数学主题的分配
和重点进行比较, 发现差异非常之大, 几乎没有多

少 关于 各年级数 学内 容及重点的 共识仁 ’ ‘ 〕 . 然而, 在
每个年级需要共同的数学主题和重点是重要的一 方面, 越来越强调的考试、 高度的学生和教师流动 性、 课程发展的成本等各方面都需要一个全国范围 内聚焦的和一致的数学课程. 另一方面, 聚焦的课 程使得教师每年有更多的时间来研究这些核心的 内容. 而学生有更多的机会来深入探索这些主题, 以 及与相关内容的联系及应用, 这样可以使学生具 有更为坚实的数学理解. 为了响应这些观点, N C T M 组织了一个由 数学家( 如, J a n e  F .  S c h i e l a c k , 得克萨 斯州A & M大学, 教学、 文化和数学教授, 写作小组组

美国N      C T M发表了一系列有关学校数学课程标
准文件, 可以说是引起“ 数学战争” 的主要原因. 从

1 9 8 9 年《 学校数学的大纲及评价校准》 ” 提出以建构 主义教学为基本理念, 以问题解决为核心的学校数 学课程, 将学校数学的知识体系支解; 到2 0 0 0 年, 在 吸收了“ 数学战争” 中的部分经验后, 发布了《 学校 数学原则和标准》 . 这份文件放弃了建构主义的一 些偏激提法, 略为强调算法和计算能力的重要性,
但在对一些具体内容的处理方面( 如, 要不要掌握 长除法、 二次公式、 两个分数的除法等) 含糊其辞, 其讨厌直接教学、 标准算法、 欧氏几何、 使用记忆等 基本取向并没有变化. 然后, 美国中小学生在多次 国际数学评价中仅位于国际平均水平, 远落后于稳 居榜首的新加坡. 如在 2 0 0 3 年第三届国际数学与科

长, F r a n c i s  M .  " S k i p "  F e n n e l l , 丹尼尔学院, 数学教 授, N C T M主席) , 数学教育专家( 如, R o s e  M a y r
Z b i e k , 宾夕法尼亚州大学数学教育副教授) , 中学 教师( P a u l a  B .  D u c k e t t , 哥尼比亚公立学校区退休 教师) 等9 人小组起草研究报告, 每个年段( 学前至
小学二年级、 三至五年级、 六至八年级) 写作成员至 少包括大学教授和中小学教师各一位. 该小组在分 析多个州及国家的课程标准, 以及大量研究报告基

学研究中 [ 9 1 , 美国 位于 1 5 位( 4 9 个参加国) 总分为
5 0 4 分( 国际平均分为 4 6 7 分) , 与第一位的新加坡

( 6 0 5 分) 位相差1 0 0 多分. 正因为对美国 数学教育成
就的不满, 美国各界对数学教育极为关注, 并做了 大量研究. 上述数学家和数学教育家的一起来寻找 对学校数学课程的共识也体现了这种努力, 另外, 新加坡的数学教育成功经验也给美国数学课程专 家提供了借鉴. 根据《 美国能从世界一流的新加坡 数学系统学习什么? 》 报告, 新加坡学生在数学方面 表现优异的原因在于新加坡具有世界一流的数学 系统. 由高素质要素组合在一起的系统培养出学会

础上, 起草了一个文档, 然后, 将草稿征求数学家、 数学教育家以及课程发展专家、 政策制定者、 一线 教师的意见. 根据评论人员的反馈( 其中 1 4 位专 家, 给出正式书面报告, 还有5 6 位专家给出非正式 的 建议) , 写作小组进行修正并最后定稿《 课程焦
点》 . 《      课程焦点》 确定了在各年级有三个焦点内容. 除了焦点内容外, 还有“ 与焦点内容的连接” 的要 点, 这些连接用于下列两个目 标: ( 1 ) 识别各个年级 与这些焦点内容相关的导人与后继经验的需要. ( 2 ) 确定各年级焦点内容如何支持标准中非焦点内

数学( l e a r n i n g  m a t h e m a t i c s  t o  m a s t e y r ) 的学生. 新加
坡数学系统中的这些要素包括非常合乎逻辑的国 家数学框架, 基于丰富数学内涵的问题的教科书, 具有挑战的数学评价, 以及非常高素质的数学教 师, 他们的教学方法集中在教学生掌握. 对数学差

容的学习方式. “ 与焦点内 容的连接” 以有意义方式 把其它内容结合起来. 各个年级的焦点内容如表 1
所示 .

2 8

数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

表 1 各年级课程焦点内容
! _ 丁

范畴

描述

幼 数与运 算 发 展 整 数的 理 解, 包 括对 应 观 念、 计 数、 基 数和比 较, 儿’ 几何 认别形状, 描述空间 关系. 园 测量 前 识 别 可 测 量 特 征, 借 用 这 些 特 征 进 行 物 体比 较

{ : } 园
几何
测量

数与运算

对 整 数 进 行表 示、 比 较以 及排序, 对 集 合进行 合并和
分开

描 述形 状和 空间 根据可 测 量特征对 对象 进行排列 发 展对加和 减的 理 解, 以 及基本加法事实和 相关减法

数与 运

逻辑推理来说明程序和解法; ( 3 ) 投入在学习和建 立连接的多种表征的设计和分析过程、 交流数学内 外的观念. 确定每个年级课程焦点内容和连接的目 的是使学生在聚集的和一贯的课程中学习这些内 容, 来实现问题解决, 推理和批判性思考. 这些焦点 内容应该被视为主要的教学目 标, 以及理想的学习 期望, 而不是学生掌握的目录. 让我们以四年级情 况为例来说明焦点内容和连接是如何联系在一起 的( 表2 ) , 表 2 四年级的课程焦点内容及连接       
课程焦 点内 容
连接到焦点内 容

事实的 策略 年 数与 运算 发展 对整 数关系的 理解, 包括以 十 个或一个分 组.
级 几何

算, 代数

组合和分 解几 何图 形 发 展对加 法事实和 相关减法 事实的 快速回 记, 熟练掌

数与运算 发 展对十 进制数系的 理 解以 及位值的 概念.
数与运

算, 代数 握多 位数加 减法. 发 展 对直 线的 测 量以 及测 试长 度 的 工 具 数与运 发 展对 乘 法和 除 法的 理 解, 以 及 基 本的 乘 法 事实 和 相
算, 代数

关除 法的 事实的 策略.

年 数与运算 发 展 对分 数和 分 数 等 价 性的 理 解. 级 几何 描述和分 析平面图 形的 性质.

数与运


发 展 对 乘 法 事 实和 相 关 除 法 事 实的 迅 速回 忆, 以 及 熟

算, 代数 练 掌 握整 数 乘法 运算 年 数与运算 发 展 对小 数的 理 解, 包 括 分 数 和 小数的 连 接‘
级 测量

发展对面 积的 理解以 及决定平面面 积. 发 展对整 数除法的 理解和 相关运算的 熟练程度.

数与运


算, 代数

年 数与运算 级

发 展 对分 数、 小数加减的理 解和相关运算的 熟练程
度.

几何, 测 量, 代数

描 述 立 体图 形 并分 析 他 们的 性 质, 包 括 体 积和 面 积. 发 展 对 分 数、 小 数 乘 法和 除 法的 理 解和 相 关 运 算 熟练
程度.

/、

数与运算

年 数与 运算 把比 和比 例与乘法和除法联系起来. 级 代数 书 写, 解 释和 使 用数 学 表 达 式 及 方 程.

数与运算,



数与几 何 七代 测量, 几

发 展对比 例的 理解及应 用, 包括相似性

     数 与 运 算, 以 及 代 数: 发 展 对 乘 法 事 实和 相关除 法事实的 迅速回 忆, 以 及对 整 数 运算的 熟 练 程 度 学      生使用乘法的理解来发展 对 乘 法 事 实和 相 关除法 事实的 迅 速回 忆. 当 学生发 展、 讨论和 使用 有 效的、 精 确的 和一般化的 方法来 进行多 位数 整数 乘法时, 他们应用 理 解 乘 法 模 式 ( 等 组 、 排 列、 面 积 和 数 轴上的 等间 距) 、 位值和运算性 质( 特 别 是 分 配 律) . 根 据背景 和数 字 特点, 他们选择适当的方法, 并 应 用 它 们 进 行 精 确 地 估计, 或 心 算 结 果. 他 们 发 展 熟练 地 使用有 效的 程 序, 包括整数 乘法的 标准算法, 理 解 为 什么这 些算 法程序是合理 的( 根 据位值 和 运 算 性质) 数与运算:      发展对小数的理 解, 包 括 分 数 与 小 数 的 联系 . 学      生理解小数符号是整数书 写十 进 制数 系的 扩展, 使它能够表 达 更 多 的 数, 包 括 0 和1 之 间 , 1 和2 之司 , 等等. 学生把他们的分数理 解联系 到大 于 或 小于1 的 分 数读 法 与 写 法, 识别等价 小数, 对 小数 进 行比 较 和 排 序, 在问 题 解决中 估 计 小 数 或 分 数的 值. 他 们通 过比 较 模 式 把 等 价分数和 小数与符号联系 起 来, 在 数 轴 上 表 v r l 等 价 符 号.
     测量: 发展对面积的理解, 确 定平面图形的面积 学      生认识面积是平面区域的 一 个特征. 学生学会通过找出恰好

勺 放 : 学生继续识别、 描述和 延 伸 数字 模 式, 包括 各种 运算, 非 数 字 成 长 和 重复 模 式 通过 这 些

经 验, 他 们 发 展 对 使 用 规 律 来 描
述一系 列数或物体的 理解, 几 何: 随着学生求解多边形的 面 积, 他 们 延伸了 对 平 面图 形的 性 质 理 解. 他 们 将 早 先 三 年 级 对 称和 全 等 经验 用 于 建 立 变 换, 包 括直 线对称和 旋转的 对称 使用 变换来设计和分析简单的 密铺 问 题, 加 深学生对平面 位置的 理
解. 测量: 作为对平面图形理解的

一部 分, 学生对角进行 测量和 分
类.

资 料 收 集: 从三 年级 开 始, 学 生 使 用频 率表. 条形图, 曲 线或 折 线图 来 解 决问 题. 他 们 利 用自 己 对位 值的 理解 来发 展和 使用 茎
一 叶图.

数与运算: 根据在三年级的学

习 经 验, 学 生 延 伸 他 们对 位 值, 以 及在各 种背景下 对十 万以内 数字 表 示 方 式的 理 解. 他 们 在 确
定一个量或距离的 相对大小时 使用估算. 学生发 展对多位 数除 法各种策略的 理解, 如 作为乘法 的 逆运算、 作为分划或连续减. 通过 对 小 数的 运 算, 学 生 进 一步 认 识 等 价 分 数. 学 生 在 三 年 级的 关于分数的 乘法和除 法 模型的 操作促进他们对写出 等价分数 和简 化分数技巧的 理解.

发 展 对 公 式的 理 解 和 应 用, 用 来 求 解 立 体 图 形的 表 面

何和代数 积和体积. 级 数与运 发 展有理数四 则运算的 理解, 解线性方程. 算, 代数 代数
/ l

分 析和 表 示 线 性函 数, 解 决 线 性 方 程和 线 性 方 程 组.

数据分析, 级 数与 运算, 分析和总 结资料. 代数.   

使 用 距离 和 角的 概 念, 分 析 平面 和 立 体空 间 和图 形. 几 何 和 测 到 年

     为了增强学生使用数学过程的能力, 这些内容 的教学应该结合: ( 1 ) 使用数学解决问题; ( 2 ) 应用

盖 满 一 个图 形, 大 小 相 等的 单 位的 个 数 来 确 定 面 积的 数量. 他 们理 解 边 长 为1 个 单 位的 正 方 形 是 测 量 面 积的 标准 单 位. 他们选 择适当的 单 位, 策 略 ( 如 分 解图 形) 及 工 具 来 解 决有 关 估算 及测量的 面积问 题. 学 生 把面积测量与用于表示乘法的 面 积 摸型 联 系起 来, 而 且使 用这些 联系 来 证明 矩形的 面 积 公 式.

2 0 0 7 年

第4 6 卷

第1 期

数学通报

从上述 N      C T M 《 课程焦点》 的简单描述, 我们可
能发现, 课程焦点内容强调对这些核心内容的过程 理解及相关运算的熟练程度, 体现了在追求过程理 解和基本技能平衡和整合的努力, 同时通过说明如 何建立焦点内容与其它方面的连接, 如年级之间, 焦点内容与其他内容之间的联系, 展示了对建立知 识内在一致和联系的课程 目标. 这些都反映了对 N C T M 2 0 0 0 标准的继承和发展. 4 讨论与结论

们认为从美国数学课程改革的历程中, 至少可以得 到下列启示:

(      1 ) 数学家和数学教育工作者的建设性合作和
互动是数学课程健康发展的根本保证, 对任何一方 观点的视而不见, 都将导致偏差. “ 新数学运动” 和 “ 问题解决” 为核心的数学课程教训, 应该是前车之
鉴.

     纵观美国数学教育历史, 数学家的积极参与和 贡献是数学教育发展不可或缺的动力. 然而, 数学 界与数学教育界的过多争论并不能有效推动数学 教育改革、 促进学生的有效数学学习. 最近, 通过两 个团体之间相互尊重和建设性的对话, 达成了对中 小学数学教育的 广泛共识. 另一方面, 美国N C T M学 校数学课程标准的发展过程. 也体现了追求学校数

学教育本质的艰苦努力‘ N C T M 数学标准, 从1 9 8 9 年
强调以“ 问题解决” 为核心, 到2 0 0 0 年试图在基本技 能和过程理解达到某种平衡, 再到 2 0 0 6 年提出了 《 课程焦点》 , 试图通过对少数核心数学内容的深刻 理解和熟练掌握, 同时强调年级之间、 相关知识与 核心内容之间的联系, 建立聚焦的、 内在一致的数 学课程体系. 我国数学课程改革正处在反思和改进过程之      中, 不知是否美国的经验可作为他山之石. 美国数

     ( 2 ) 数学课程发展是一项长期的任务, 课程发 展专家要有勇气吸收各种不同的声音, 研究成果, 寻找合理成份, 不断改善数学课程. 从1 9 8 9 年到 2 0 0 6 年, N C T M学校数学标准经历了不断修正的过 程, 相信现在发布的《 课程焦点》 也不是最后定论, 必定引起每个州、 每个地区对究竟孩子们学习什么 是最重要的争论, 但重要的是 N C T M将能够吸收争 论中的合理观点, 来进一步发展数学课程标准. (      3 ) 以科学的态度从事数学教育的实验研究, 根据研究成果来不断修正和完善. 美国对基于标准 的学校数学课程进行过深人的实验研究, 对不同教 材实验过程的特点进行客观分析, 有的研究还对某

一 数 学 教 材 进 行 长 期 追 踪 〔 1 4 ] .
     最后, 需要指出的是教育是一种文化活动, 每 个国家的传统和体系不同, 所以面对的问题不同. 美国的经验仅可供我们借鉴. 例如, 美国数学课程 的学科体系在上个世纪被解体后, 最后形成了十几 条原则的“ 股状结构” 的标准, 没有利用“ 算术” 这一 数学学科的最基本分支来形成较为完整的数学学 科核心, 使引进的各种分支知识支离破碎、 无法深

学 会主 席、 国 际 数学 教 学委 员 会 主 席B A S S [  1 2 〕 建议 数
学教育应该成为另一种“ 应用数学” 的领域, 它需要 使用高度专业化的数学知识, 即教学的数学知识

化 和 相互联系 [ 1 5 3 , 所以《 课程焦点》 也许能在某种
程度上试图克服这一缺陷. 相反, 我国传统数学课 程体系, 紧紧围绕“ 算术” 来展开, 强调知识的内在 一致性及基本运算的熟练性, 也许我们需要研究其 中合理的成份, 保持发扬, 同时学习美国数学课程 中强调对知识的过程理解以及推理、 联系和数学交 流等. 但千万不要支解我们数学课程的学科系统, 重踏数学教育的筱辙, 美国数学教育最为严重的问

( m a t h e m a t i c a l  k n o w l e d g e  f o r  t e a c h i n g ) , 这种知识包
括: ( 1 ) 共同的数学知识 ( 所有受过良好教育的成 人所需掌握的); ( 2 ) 特殊的数学知识 ( 只有从事 教学工作所需要的数学知识, 但是, 其它数学相关 的行业( 包括数学研究) 并不需要); ( 3 ) 数学和学 生的知识, 以及 ( 4 ) 数学和教学的知识. 希望对数 学教育做出贡献的数学家首要任务是敏锐地理解 这个应用领域, 它的数学问题的属性, 以及在这个 领域有用并可用的数学知识的形式. 虽然, 我国数 学家对数学教育的关心与参与也有优良传统, 他们 是否应该视数学教育作为“ 应用数学” 的一个领域

题是“ 很多中 小学数学教师 不懂数学” [ 1 6 3 , 这也许是
支解数学课程学科体系的负面效应, 一时难以解 决. 另一方面, 就课堂教学中, 华人数学课堂教学较 为内在连贯, 提供较多建构数学的机会, 而美国的 数学课堂却有较多复习、 程序性知识讲解和重复练

加以 关注和 研究? 最近齐民 友〔 1 3 ] 教授提出 “ 数学教
育的改革要遵循数学科学的发展” , 深受启发和鼓 舞. 除了美国有关文件值得我们研究和借鉴外, 我

习〔 1 7 ] [ 1 8 ] . 这并不是说中国的数学课堂教学就好, 而
是希望挖掘一下我们 自己好的经验, 同时鼓励有能

3 0

数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期
n c t m .  o r g / f o c a l p o i n t s / .
A.  K一 1 2  ma t h e ma t i c s  e d u c a t i o n :
mu c h  c o mm o n

力的老师多尝试探究、 发现式教学来改变单一的传 授式教学. 难以想象, 连讲授式教学都难以有效进
行的教师, 可以进行有效的探究式教学. 以平实的

i s  t h e r e ?仁 E B / 0 1 ] ,2 0 0 6 .  A v a i l a b l e

: / / w w w. n 阳 以

心态, 扎实的工作, 多研究我们的传统, 研究他国的
经验, 寻找什么方面我们能够做, 而什么方面我们 不能做, 努力建立有中国特色的数学教育理论和实
践.

。      呵c o m m o n 一g r o u n d .
9  M u l l i s ,  1 .  V .  S . ,M a t r i n ,   M.   0 . ,G o n z a l e z ,   E .   J . , &

C      h r o s t o w s k i ,  S .  J . T I M S S  2 0 0 3  I n t e r n a t i o n a l  M a t h e m a t i c s  R e p o t r :

F      i n d i n g s  F r o m  I E A '  s  T r e n d s  i n  I n t e n r a t i o n a l  M a t h e m a t i c s  a n d

S    c i e n c e  S t u d y  a t  t h e  F o u t r h  a n d  E i g h t h  G r a d e s [ M ] . B o s t o n
T      I M S S& P I R L S  I n t e n r a t i o n a l  S t u d y  C e n t e r ,  L y n c h  S c h o o l  o f E      d u c a t i o n ,  B o s t o n  C o l l e g e ,  2 0 0 4

参考文献

I     K l e i n ,  D .  A  b r i e f  h i s t o y  r o f  A m e r i c a n  K一1 2  m a t h e m a t i c s

1 0   R e y s ,  B a r b a r a  J, S h a n n o n  D i n g m a n ,  A n g e l a  S u t t e r ,  a n d  D a w n
T      e u s c h e r .  D e v e l o p m e n t  o f  S t a t e 一 L e v e l  M a t h e m a t i c s  C u r r i c u l u m

e      d u c a t i o n  i n  t h e  2 0 t h  c e n t u y r .   I n  J .   M .   R o y e r  ( E d . ) ,

M      a t h e m a t i c a l  c o g n i t i o n [  M I  ( p p .  1 7 5 一 2 6 5 ) .  U S :  I n f o r m a t i o n  A g e
P      u b l i s h i n g  I n c . , 2 0 0 3 .

D      o c u m e n t s :  R e p o t r o   f  a  S u r v e y [ M ] . C o l u m b i a ,  M o . : U n i v e r s i t y
o      f  M i s s o u r i ,  C e n t e r  f o r  t h e  S t u d y  o f  M a t h e m a t i c s  C u r r i c u l u m ,
2      0 0 5 .        A v a i l a b l e        h t t p : / / w w w . m a t h e u r r i c u l u m e e n t e r .

2     U . S .  D e p a r t m e n t  o f  E d u c a t i o n .  A  N a t i o n  a t  r i s k :  T h e  i m p e r a t i v e

f      o r  e d u c a t i o n a l  r e f o r m [ M ] . W a s h i n g t o n ,  D C :  U .  S .  D e p a t r m e n t
o      f  E d u c a t i o n ,  1 9 8 3 . 3   N a t i o n a l  C o u n c i l  o f  T e a c h e r so u r r i c u l u m  a n d f  Ma t h e m a t i c s .C e v a l u a t i o n  s t a n d a r d s  f o r  s c h o o lm a t h e m a t i c s [ M ] . R e s t o n ,  V A :

o      r g / r e s o u r c e s / A S S M R e p o t r . 两.
1 1                   S c h m i d t ,  W i l l i a m  H, C u r t i s  C .  M c K n i g h t , &S e n t a  A .  R a i z e n . A       S p l i n t e r e d  V i s i o n :  A n  I n v e s t i g a t i o n  o f  U .  S .  S c i e n c e  a n d

M      a t h e m a t i c s  E d u c a t i o n [ M ] .D o r d r e c h t ,   T h e   N e t h e r l a n d s :
幻u      w e r ,  1 9 9 7 . 1 2     B a s s ,  H .  M a t h e m a t i c s ,  m a t h e m a t i c i a n s ,  a n d  m a t h e m a t i c s  e d u -

N      a t i o n a l  C o u n c i l  o f  T e a c h e r s  o f  M a t h e m a t i c s ,  1 9 8 9 .

4     N a t i o n a l  C o u n c i l  o f  T e a c h e r s  o f  M a t h e m a t i c s .  P r i n c i p l e s  a n d

s      t a n d a r d s  f o r  s c h o o l  m a t h e m a t i c s [ M ] .R e s t o n ,  V A :  N a t i o n a l
C      o u n c i l  o f  T e a c h e r s  o f  Ma t h e m a t i c s ,  2 0 0 0 .

c      a t i o n [ J ] . N o t i c e s  o f  t h e  A m e r i c a n  M a t h e m a t i c s  S o c i e t y , 2 0 0 4 ,
4      2 ( 4 ) , 4 1 7一4 3 0 .

5     B a l l ,  D .  L, F e r r i n i 一 M u n d y ,  J . , K i l p a t r i c k ,  J . , M i l g r a m ,  R . J      . , S c h m i d ,  W, S c h a a r ,  R .  R e a c h i n g  f o r  c o m m o n  g o r u n d  i n  K

1 3 齐民友 数学教育的改革要遵循数学科学的发展[ J ] . 数学通 报,      2 0 0 6 , 4 5 ( 8 ) , 1 一 4 .
1 4  S e n k ,  S .  L .& T h o m p s o n ,  D .  R .  S t a n d a r d s一 b a s e d  s c h o o l m      a t h e m a t i c s  c u r i r c u l a :  W h a t  a r e  t h e y ? W h a t  d o  s t u d e n t s  l e a r n ?

一1      2   m a t h e m a t i c s   e d u c a t i o n [ J ] , N o t i c e s   o f  t h e   A m e r i c a n

M      a t h e m a t i c s  S o c i e t y ,  2 0 0 5 , 5 2 ( 9 ) , 1 0 5 5 一1 0 5 8 .
6     G i n s b u r g ,  A . ,L e i n w a n d ,  S . ,A n s t o r m ,  T . ,P o l o c k ,  E . ,&

[       M ]  .  M a h w a h ,  N .  J .  :  L a w r e n c e  E r l b a u m  A s s o c i a t e s ,  2 0 0 3 . 巧 马立平. 美国小学数学教学内容体系瓦解三步曲[ A 1 . 2 0 0 5
数学教育会议论文集(      页8 4一 8 8 ) . 香港: 香港教育学院数学
系,      2 0 0 5 .

W      i t t , E .  W h a t  t h e  U n i t e d  S t a t e s  C a n  L e a r n  F o r m  S i n g a p o r e ' s

W    o r l d 一 C l a s s  M a t h e m a t i c s  S y s t e m  ( a n d  w h a t  S i n g a p o r e  c a n  l e a r n
f      r o m  t h e  U n i t e d  S t a t e s ) : A n  E x p l o r a t o yS r   t u d y .  W a s h i n g t o n ,  D C :
A      m e r i c a n  I n s t i t u t e s  f o r  R e s e a r c h ,  2 0 0 5 .  A v a i l a b l e  h t t p : / / w w w .

1 6 张英伯. 与伍鸿熙教授座谈摘要【 J l . 数学通报, 2 0 0 6 , 4 5 ( 8 ) ,
1一3        .

a      i r . o r g / n e w & / d o c u m e n t s / R e l e a s e 2 0 0 5 0 2 S i n g a p o r e . d o c .
7     N C T M .  C u r r i c u l u m  F o c a l  P o i n t s  f o r  P r e k i n d e r g a r t e n  t h r o u g h  G r a d e 8       M a t h e m a t i c s :  A  Q u e s t  f o r  C o h e r e n c e .  R e s t o n ,  V A: N a t i o n a l
C      o u n c i l  o f  T e a c h e r s  o f  M a t h e m a t i c s ,  2 0 0 6 .   A v a i l a b l e :  h t t p :

1 7 黄荣金. 华人数学课堂之透视【 J l . 数学教育学报, 2 0 0 6 ,
1      5 ( 2 ) , 6 7 一8 0 .

1 8 梁贯成. 第三届国际数学及科学研究结果对华人地区数学 课程改革的启示【      J l . 数学教育学报, 2 0 0 5 , 1 4 ( 1 ) , 7 一1 1 .


相关文章:
美国独立战争教学设计
美国独立战争教学设计_初一数学_数学_初中教育_教育专区。美国独立战争教学设计2010053018572300182915500...教师再引导学生通过从起因、经过、结果和 影响方面进行总结归纳,...
数学与战争
第二次世 界大战时美国和日本为争夺硫磺岛所进行的战斗资料进行分析, 发现兰彻斯特作战数学模 型非常吻合,这就说明了兰彻斯特作战数学模型是能够用来描述实际战争的...
战争中的数学
战争中的数学_数学_自然科学_专业资料。10 统计毛概...“二战”迫使美国政府将数学、与科学技术、军事目标...美国_数学战争_始末及其... 暂无评价 7页 免费喜欢...
第22课《美国南北战争》教案
第22课《美国南北战争》教案_数学_小学教育_教育专区。第 22 课《美国南北战争》教案【教学目标】: 1、知识与能力:了解和掌握美国南北战争爆发的起因,战争的 ...
海湾战争是数学战争
海湾战争是“数学战争” 数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用,...1 方程在海湾战争中的应用 1990 年,伊拉克入侵科威特之后,为阻挡以美国为首的...
数学与战争
数学与战争 一、海湾战争是数学战争 1991 年海湾战争时,有一个问题放在美军计划...美国数学战争”又起 3页 免费 美国_数学战争_始末及其... 暂无评价 7页 ...
东战争起因
战争起因_初二数学_数学_初中教育_教育专区。东战争起因 历史原因 巴勒斯坦位于...美国及西方大国的大力援助之外, 自身的忧患 意识也迫使犹太人努力发展国防科技和...
伊拉克战争中的数学模型
东北大学秦皇岛分校 数学建模课程设计报告伊拉克战争中的数学模型 学专学姓 院业...此外美国大量使用精确制导炸药, 命率和威力大大超越伊拉克使用的普通炸药,伊拉克...
数学在战争中的应用浅析
数学在战争中的应用浅析 Mathematics used in wars 摘要:数学被称作科学中的科学...美国_数学战争_始末及其... 暂无评价 7页 免费 美国数学战争始末及其启......
历届美国数学建模竞赛赛题
存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过三年战争时 ...试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学...(他也是 MCM 的 Director)提供的,他是受启发于 ...
更多相关标签: