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高考数学二十一---解三角形常见题型


高考数学二十一---解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知 条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一:求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高 线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 1. 在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? ( A. ? )

3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D 2. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 3. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 4(2005 年全国高考江苏卷) ?ABC 中, A ? A. 4 3 sin ? B ?

?

3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为( )

? ?

??

?? ? ? ? 3 B. 4 3 sin? B ? ? ? 3 3? 6? ?
D. 6 sin? B ?

C. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

分析:由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b+c,则周长为 3+b+c 而得到结果.选(D). 5 (2005 年全国高考湖北卷) 在Δ ABC 中,已知 AB ? 线 BD= 5 ,求 sinA 的值. 分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE ?
2 2

4 6 6 , cos B ? ,AC 边上的中 3 6

1 2 6 AB ? ,设 BE=x 2 3
2

王新敞
奎屯

新疆

在Δ BDE 中利用余弦定理可得: BD ? BE ? ED ? 2BE ? ED cos BED ,

7 8 2 6 6 5 ? x2 ? ? 2 ? ? x ,解得 x ? 1 , x ? ? (舍去) 3 3 3 6
2 2 2 故 BC=2,从而 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ?

王新敞
奎屯

新疆

2 21 30 28 ,即 AC ? 又 sin B ? , 3 3 6
王新敞
奎屯 新疆

2 ? 故 sin A

2 21 3 , sin A ? 70 14 30 6

王新敞
奎屯

新疆

在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。 答案:∴B ? A,且0 ? A ? 180 ,∴A ? 30
0 0 0

题型之二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 1. (2005 年北京春季高考题)在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解法 1:由 2 sin A cos B ? sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B).
解法 2:由题意,得 cosB=

sin C c a2 ? c2 ? b2 ? ,再由余弦定理,得 cosB= . 2sin A 2a 2ac

c a2 ? c2 ? b2 2 2 ∴ = ,即 a =b ,得 a=b,故选(B). 2a 2ac
评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵统一 化为边,再判断(如解法 2). 2.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B

a 2 tan A 3.在△ABC 中,若 2 ? ,试判断△ABC 的形状。 tan B b
答案:故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中, ? cos A ? b cos ? ,判断△ABC 的形状。 答案:△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

题型之三:解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 1. (2005 年全国高考上海卷) 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 , 则 ?ABC 的面积 S=_________ 2.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?
王新敞
奎屯 新疆

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面 2

积。 答案: S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 2 2 4 4

3. (07 浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB , 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC BC 2 AC BC 2

题型之四:三角形中求值问题 1. (2005 年全国高考天津卷) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c ,
设 a、b、c 满足条件 b ? c ? bc ? a 和
2 2 2

c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理. 解:由余弦定理 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,因此, ?A ? 60? 2bc 2
1 c sin C sin(120 ? ? B) ? 3? ? ? 2 b sin B sin B

在△ABC 中,∠C=180° -∠A-∠B=120° -∠B. 由已知条件,应用正弦定理

?

1 sin 120? cos B ? cos120? sin B 3 1 ? cot B ? , 解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? . 2 sin B 2 2

2. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π ,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2

B?C 取得最大值, 2

B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ ; 2 2 2 2 2 2 2 当 sin π A 1 B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ? 3.在锐角 △ ABC 中,角 A

2 2 , (1)求 3

tan 2

B?C A ? sin 2 的值; (2)若 a ? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值。 2 2
1 2 2 ,所以 cosA= , 3 3

解析: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ? 则

B+C sin 2 B + C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1- cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1- cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3
(2) 因为S
ABC

= 2,又S

ABC

1 1 2 2 ,则 bc=3。 = bcsin A= bc ? 2 2 3

将 a=2,cosA=
4 2

1 3 2 2 2 ,c= 代入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中, 3 b

得 b -6b +9=0 解得 b= 3 。 点评: 知道三角形边外的元素如中线长、 面积、 周长等时, 灵活逆用公式求得结果即可。 4.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函数有关 知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

? . 3

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ················· 12 分 ab sin C ? 2 3

题型之五:正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等 方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题 1. 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边 C 选定 A、B 两点,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求河 的宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而在河的一边,已测出 AB 长、 B A D ∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。 图1 解析:由正弦定理得

AC AB ? ,∴AC=AB=120m, sin ?CBA sin ?ACB 1 1 又∵ S ABC ? AB ? AC sin ?CAB ? AB ? CD ,解得 CD=60m。 2 2
点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。 (二.)遇险问题 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15° 北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30° 北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航 行有无触礁的危险? 解析: 如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15° 北的方向上;舰艇航行半小时后到 北 达 B 点,测得 S 在东 30° 北的方向上。 在 △ABC 中,可知 AB=30× 0.5=15, 东 30° 西 15° A C B ∠ABS=150° ,∠ASB=15° ,由正弦定理得 南 BS=AB=15,过点 S 作 SC⊥直线 AB,垂足 图2 为 C,则 SC=15sin30° =7.5。 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里,而灯塔周围 10 海里内有暗礁,故继续航行有触 礁的危险。 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清已知 与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2) 北 画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)分析与 所研究问题有关的一个或几个三角形, 通过合理运用正 A 弦定理和余弦定理求解。 45° (三.)追击问题 B 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 15°

C 图3

方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15° 方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45° -15° =120° 。根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

1 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ( ? ) ,128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , (4t-3) (32t+9)=0,解 2 3 9 得 t= ,t= (舍) 4 32 3 3 ∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4

? 28t ?

2

根据正弦定理,得 sin ? ?

BC sin ? ? AC

15 ?

3 2 ? 5 3 ,又∵α=120°,∴β 为锐角, 21 14

β=arcsin

5 3 5 3 7 2 2 5 3 ? ,又 < < ,∴arcsin < , 4 14 14 14 2 14

∴甲船沿南偏东

? 3 5 3 -arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。 4 4 14

点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知, 但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有关。 这样根据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值。 4.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待 营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 )? 解析:连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2× 20× 10COS120° =700. 于是,BC=10 7 。 ∵
? ?

sin ACB sin 120? 3 ? ,∴ sin∠ ACB= , 20 7 10 7


∵ ∠ ACB<90° ,∴ ∠ ACB=41° 。 ∴ 乙船应朝北偏东 71° 方向沿直线前往 B 处救援。

A 10 ?C

20

B ?


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