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2015届高三数学人教B版(通用,理)4一次函数、二次函数与幂函数学生版


一次函数、二次函数与幂函数

1. 一次函数与二次函数的解析式 (1)一次函数:y=kx+b (k,b 为常数,且 k≠0). (2)二次函数 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 一次函数与二次函数的定义及性质 函数名称 解析

式 一次函数 y=kx+b (k≠0) k>0 图象 b>0 定义域 值域 R R 4ac-b2 [ ,+∞) 4a b 在(-∞,- ]上 2a 是减函数;在[- b ,+∞)上是增 2a 函数 3.常用幂函数的图象与性质 b>0 b<0,c>0 R 4ac-b2 (-∞, ] 4a b 在(-∞,- ] 2a 上是增函数;在 [- b ,+∞)上 2a 是减函数 b>0,c<0 k<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 a<0

单调性

在(-∞,+∞) 上是增函数

在(-∞, + ∞)上是减 函数

y=x

y=x2

y=x3

1

y= x 2

y=x

-1

图象 定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R 且

1

x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 非奇非偶函 数 {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 x∈(0,+∞) 增 增 时,减; x∈(-∞,0) 时,减

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

x∈[0,+∞) 单调性 增 时, 增; x∈(- ∞,0]时,减

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac-b2 (1)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 . 4a (2)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数. (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). (4)当 n>0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的增函数. 2 (5)若函数 f(x)=(k2-1)x2+2x-3 在(-∞,2)上单调递增,则 k=± . 2 (6)已知 f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则 f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2. 2. (2013· 重庆) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为 9 A.9 B. 2 3 2 C.3 D. 2 ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) )

3. 函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上 ( A.先减后增 C.单调递减 B.先增后减 D.单调递增

)

4. 已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为 ________.

5. 若幂函数 y=(m2-3m+3) xm

2

?m?2

的图象不经过原点,则实数 m 的值为________.

2

题型一 二次函数的图象和性质 例1 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间.

(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式 是________. (2) 若 函数 f(x) = 2x2 + mx - 1 在区 间 [ - 1 , +∞) 上 递 增,则 f( - 1) 的取值 范 围是 ____________.

题型二 二次函数的应用 例2 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围.

已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

3

题型三 幂函数的图象和性质 例3 (1)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2) x n 减函数,则 n 的值为 A.-3 C.2
1 1
2

?3n

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是 ( B.1 D.1 或 2 ( ) )

(2)若(2m+1) 2 >(m2+m-1) 2 ,则实数 m 的取值范围是 - 5-1? ? A.?-∞, ? 2 ? ? C.(-1,2) B.?

? 5-1 ? ? ? 2 ,+∞? ? 5-1 ? ? ? 2 ,2?

D.?

已知幂函数 f(x)= x

( m2 ? m )?1

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.

分类讨论思想在函数中的应用 典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

4

方法与技巧 1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般 从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2. 幂函数 y=xα(α∈R)图象的特征 α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过原点,在第一 象限的图象下降,反之也成立. 失误与防范 1. 对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未说 明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第 二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是 A.a≤-2 C.a>2 或 a<-2 B.-2<a<2 D.1<a<3 ( )

2. 一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是(

)

5

3. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么 A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)

(

)

4. 设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值 范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.[0,2] ( )

1

5. 已知 f(x)= x 2 ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是 1 1 A.f(a)<f(b)<f( )<f( ) a b 1 1 B.f( )<f( )<f(b)<f(a) a b 1 1 C.f(a)<f(b)<f( )<f( ) b a 1 1 D.f( )<f(a)<f( )<f(b) a b

(

)

二、填空题 6. 若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________. 7. 若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围是________. 1 ? ? 8. 当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第________象限.
? ?

6

三、解答题 9. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a =0 有两个相等的根,求 f(x)的单调区间.

10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1 ? ??2?x-7,x<0, 1. 设函数 f(x)=? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是 ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

(

)

2. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A={m|f(m)<0},则( A.?m∈A,都有 f(m+3)>0 B.?m∈A,都有 f(m+3)<0 C.?m0∈A,使得 f(m0+3)=0 D.?m0∈A,使得 f(m0+3)<0

)

3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),则 a 的值域为______. 4. 已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2< <-1; a (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
7

5. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
? ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f?x?,x<0, ?

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.

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