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2014届高考数学总复习 第2讲 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版选修4-5


第2讲 证明不等式的基本方法

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法.

2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.

1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清 楚.当问

题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使 用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证 明过程.

2点必会技巧 1. 利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相 等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不

等式.
2. 常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等.利用 基本不等式还可以证明条件不等式,关键是恰当地利用条件, 构造基本不等式所需要的形式.

3点必须注意 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、 三角式,作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构.

2. 放缩法的依据是不等式的传递性,运用放缩法证明不等
式时,要注意放缩适度,“放”和“缩”的量的大小是由题目 分析,多次尝试得出.放得过大或过小都不能达到证明目的. 3. 利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进 行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号

成立的条件.

课前自主导学

1. 三个正数的算术—几何平均不等式 a+b+c (1)定理:如果a,b,c均为正数,那么 ________ 3 3 abc ,当且仅当________时,等号成立,即三个正数的算术 (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,?,an,它们的算术平均数________ a1+a2+?+an n 它们的几何平均数,即 ________ a1a2?an ,当 n 且仅当________时,等号成立.

平均数________它们的几何平均数.

2 (1)已知x>0,则y=x +x 的最小值为________.
2

1 (2)已知x>0,则y=x+x2的最小值为________.

2.柯西不等式 (1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+ bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. (2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(∑a2)(∑b2)≥(∑ aibi)2,当且 i=1 i i=1 i i=1 b1 b2 bn 仅当 a = a =?= a (当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,?,n)时 1 2 n 等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向 量,则|α||β|≥|α· β|,当且仅当α、β共线时等号成立.
n n n

(1)若x+2y+4z=1,则x2+y2+z2的最小值是________.

(2)x , y∈R , 且 x2 + y2 = 10 , 则 2x - y 的 取 值 范 围 为
________.

3. 证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 由a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,因此要证明a>b,只要证 明________即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法 a 由a>b>0? >1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明 b a>b,只要证明________即可,这种方法称为求商比较法.

(2)分析法 从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到 已知条件为止,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明 方法. (3)综合法 从已知条件出发,利用不等式的性质(或已知证明过的不等

式),推出所要证明的结论,即“由因寻果”的方法,这种证明
不等式的方法称为综合法.

(4)反证法的证明步骤 第一步:作出与所证不等式________的假设; 第二步:从________出发,应用正确的推理方法,推出矛

盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.
(5)放缩法 所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地________, 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显, 从而得到欲证不等式成立.

在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系?

(1)要证明 ________.

29 +

31 <2

5 ,可选择的方法最合理的是

a3+a6 (2)等比数列{an}各项为正数,且q≠1,若P= ,Q= 2 a4a5,则P与Q的大小关系________.

1. ≥ a=b=c 不小于 不小于 ≥ a1=a2=?=an 3 1 填一填:(1)3 (2)3 4

2.填一填:(1)
2 2 2

1 21
2 2

提示:∵1=x+2y+
2

1 4z≤ x +y +z · 1+4+16 ,∴x +y +z ≥ 21 ,即x2+y2+z2 1 的最小值为21. (2)[-5 y)2, ∴-5 2≤2x-y≤5 2. 2 ,5 2] 提示:∵(x2+y2)[22+(-1)2]≥(2x-

3. a-b>0 或缩小

a >1 证明的结论 相反 条件和假设 放大 b

想一想:提示:综合法:由条件出发推导出所要证明的不 等式成立.分析法:从结论出发寻找使结论成立的充分条件, 综合法与分析法是对立统一的两种方法.在实际解题时,常常 用分析法探求解题思路,用综合法表达. 填一填:(1)分析法 (2)P≥Q 提示:∵a3·6=a4·5,∴ a a a3+a6≥2 a3·6=2 a4·5,∴P≥Q. a a

核心要点研究

例1 [2013· 广州模拟]已知a>0,b>0,求证:( b3≥ab+ ab2.
[审题视点]

a

)3+

本题主要考查不等式证明的方法,考查运算

求解能力及等价转化思想,可用作差比较法证明.

[证明]

( a)3+b3-(ab+ ab2)

=[( a)3-ab]+[b3- ab2] =a( a-b)-b2( a-b) =( a-b)(a-b2) =( a-b)[( a)2-b2] =( a-b)2( a+b). 因为a>0,b>0,所以 a+b>0,又( a-b)2≥0, 所以( a -b)2( a +b)≥0,从而( a )3+b3-(ab+ a

b2)≥0,即( a)3+b3≥ab+ ab2.

此题用的是作差比较法,其步骤:作差、变形、判断差 的符号、结论.其中判断差的符号为目的,变形是关键.常用的 变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.

[变式探究] 求证:a2+b2≥ab+a+b-1.

证明:∵(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 1 2 = (2a +2b2-2ab-2a-2b+2) 2 1 2 =2[(a -2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 1 = [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0, 2 ∴a2+b2≥ab+a+b-1.

例2 已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+
?1 1 1? ? + + ?2≥6 ?a b c ?

3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.

[审题视点] 因为a,b,c均为正数,且a+b+c≥ 3 abc,故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明. 3

[证明]
2

因为a,b,c均为正数,
2 2

2 所以a +b +c ≥3(abc) , 3 1 1 1 1 a+b+c≥3(abc)-3,
?1 1 1? 2 ? + + ?2≥9(abc)- . 所以 a b c 3 ? ?

① ②

故a +b +c

2

2

2

?1 1 1? 2 2 2 +?a+b+c ? ≥3(abc)3+9(abc)-3. ? ?

2 2 又3(abc)3+9(abc)-3≥2 27=6 3, 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立. 2 2 当且仅当3(abc)3=9(abc)-3时,③式等号成立. 1 即当且仅当a=b=c=34时,原式等号成立.



1 1 1 奇思妙想:例题中,不等式变为“ 3 + 3 + 3 + a b c abc≥2 3”,其余不变,该如何解答?
3 1 1 1 1 证明:∵a,b,c为正实数,∴ 3 + 3 + 3 ≥3 = a b c a3b3c3 3 1 1 1 3 ,∴ 3+ 3+ 3+abc≥ +abc≥2 3,∴原不等式成立, abc a b c abc 3 1 当a=b=c且 =abc时等号同时成立,即a=b=c=3 时,原 abc 6 式等号成立.

1.分析法要注意叙述的形式:“要证A,只要证B”,这 里B应是A成立的充分条件. 2.综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等

式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析
法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此要注意两种 方法在解题中的综合运用.

[变式探究] 设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明:证法一 (综合法) ∵a≥b>0,∴a2≥b2,

则3a2≥2b2,则3a2-2b2≥0.
又a-b≥0,∴(a-b)(3a2-2b2)≥0, 即3a3-2ab2-3a2b+2b3≥0, 则3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 故原不等式成立.

证法二 (分析法) 要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2, 只需证3a3+2b3-3a2b-2ab2≥0,

即3a2(a-b)+2b2(b-a)≥0,
也即(a-b)(3a2-2b2)≥0,(*) ∵a≥b>0,∴a-b≥0. 又a2≥b2,则3a2≥2b2,∴3a2-2b2≥0. (*)式显然成立,故原不等式成立.

例3 [2012· 福建高考]已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R, 且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m的值; 1 1 1 (2)若a,b,c∈R+,且 a + 2b + 3c =m,求证:a+2b+ 3c≥9.

[审题视点]

(1)根据式子的特点,利用公式进行转化,根

据集合相等确定m的值;(2)结合已知条件构造两个适当的数

组,变形为柯西不等式的形式.

[解]

(1)因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,

由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1. 1 1 1 + (2)由(1)知a+2b+3c=1,又a,b,c∈R ,由柯西不等式 1 1 1 1 1 得a+2b+3c=(a+2b+3c)( a + 2b + 3c )≥( a· + 2b· + a 2b 1 2 3c· ) =9.所以不等式得证. 3c

2 柯西不等式的一般结构为(a1 +a 2+?+a2)(b 2+b 2+? 2 n 1 2

+b2)≥(a1b1+a2b2+?+anbn)2,在使用柯西不等式时,关键 n 是将已知条件通过配凑,转化为符合柯西不等式条件的式 子,为方便使用柯西不等式,有时常将 a 变形为 1×a 的形 式.

a [变式探究] 用柯西不等式证明:若a,b,c均为正数,( b b c b c a + + )( + + )≥9. c a a b c a b c b c a 证明:∵(b+c +a)(a+b+c)

≥(

a b b· a+

b c c · b+

c a2 a· c ) =9,

a b c b c a ∴(b+c +a)(a+b+c)≥9.

经典演练提能

1. 已知a1≤a2,b1≤b2,则P=a1b1+a2b2,Q=a1b2+a2b1的 大小关系是( A. P≤Q ) B. P<Q

C. P≥Q
答案:C

D. P>Q

解析:∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(b1-b2)·(a1-a2) ∵a1≤a2,b1≤b2 ∴(b1-b2)·(a1-a2)≥0

∴a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.

1 1 1 2. 已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则 a + b + c 的 最小值为( A. 3 C. 9
答案:C

) B. 6 D. 12

a+b+c a+b+c 1 1 1 解析:把a+b+c=1代入 + + 得到 + a b c a b a+b+c b a c a c b + =3+( a + b )+( a + c )+( b + c )≥3+2+2+2=9,故 c 选C.

3. 若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则 a + b + c的最大值为( A. 1 C. 3 ) B. D. 2 2

答案:C

解析:( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+ 12+12)(a+b+c)=3. 1 当且仅当a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3. 故 a+ b+ c的最大值为 3.

x+y x y 4. 设x>0,y>0,M= ,N= + ,则M、N 2+x+y 2+x 2+y 的大小关系为________.

答案:M<N
x+y x y x y 解析:N= + > + = =M. 2+x 2+y 2+x+y 2+x+y 2+x+y

a b 5. 若a,b∈R ,且a≠b,M= + ,N= a+ b,则 b a


M、N的大小关系为________.

答案:M>N
a b 解析:∵a≠b,∴ + b>2 a, + a>2 b, b a a b ∴ + b+ + a>2 a+2 b. b a a b ∴ + > a+ b.即M>N. b a


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