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(人教A版)数学必修五 :2-3-2《等差数列的前n项和(二)》教案(含答案)


教学设计
2.3.2 等差数列的前 n 项和(二)? 从容说课
[来源:学科网 ZXXK]

“等差数列的前 n 项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项 公式和前 n 项和公式,进一步去了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 学会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值,学会其常用的数学

方法和体 现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差 数列的前 n 项和公式的认识更为深刻.? 通过本节例题的教学,使学生能活用求和公式解题,并进一步感受到数列与函数、数列 与不等式等方面的联系, 促进学生对本节内容认知结构的形成, 通过探究一些特殊数学求和 问题的思路和方法,体会数学思想方法的运用.? 在本节教学中,应让学生融入问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、操作、 探索、交流、反思,来认识和理解等差数列的求和内容,学会学习并能积极地发展自己的能 力.? 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.? 教学难点 灵活应用求和公式解决问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;? 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;? 3.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值.?? 二、过程与方法? 1.经历公式应用的过程,形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;? 2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展.?? 三、情感态度与价值观? 通过有关内容在实际生活中的应 用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活 的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.?? 教学过程

导入新课 师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.? 生 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的两个公式:? (1) S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ;(2) S n ? na1 ? .? 2 2

师 对,我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的公式,了解等差数列的一些性质.学会了 求和问题的一些方法, 本节课我们继续围绕等差数列的前 n 项和的公式的内容来进一步学习 与探究.?? 推进新课? [合作探究]? 师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前 n 项和的公式的函数表示,请同学们将 求和公式写成关于 n 的函数形式.? 生 我 将 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 的 公 式 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 整理、变形得到: 2

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? ) n.(*)? 2 2

师 很好!我们能否说(*)式是关于 n 的二次函数呢?? 生 1 能,(*)式就是关于 n 的二次函数.? 生 2 不能,(*)式不一定是关于 n 的二次函数.? 师 为什么?? 生 2 若等差数列的公差为 0,即 d=0 时,(*)式实际是关于 n 的一次函数!只有当 d≠0 时,(*) 式才是关于 n 的二次函数.? 师 说得很好!等差数列{an}的前 n 项和的公式可以是关于 n 的一次函数或二次 函数.我来问一 下:这函数有什么特征?? 生 它一定不含常数项,即常数项为 0.? 生 它的二次项系数是公差的一半.? ……? 师 对的,等差数列{an}的前 n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问:若一数列的前 n 项和为 n 的一次函数或二次函数,则这数列一定是等差数列吗?? 生 不一定,还要求不含常数项才能确保是等差数列.? 师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?? 生 当 d=0 时,(*)式是关于 n 的一次函数,所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列,

当 d≠0 时,(*)式是 n 的二次函数,它的图象是在二次函数 y ? 一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1,2,3,…).? 师 说得很精辟.? [例题剖析]? 【例】 (课本第 51 页例 4)? 分析:等差数列{an}的前 n 项和公式可以写成 S n ?

d 2 d x ? (a1 ? ) x 的图象上的 2 2

d 2 d n ? (a1 ? )n ,所以 Sn 可以看成函 数 2 2

y?

d 2 d x ? (a1 ? ) x (x∈N *)当 x=n 时的函数值.另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是 2 2

一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求 n 的值.(解答见课本第 52 页) ? 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢?请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为 5,公差为 ?

5 .? 7

师 对,它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列,当这数列的项出 现负数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样的情况下,同学们是否会产生新的解 题思路呢?? 生 老师,我有一种解法:先求出它的通项,求得结果是 an=a1+(n-1)d= ? 我令 a n ?

5 40 n ? .? 7 7

5 40 n? ≤0, 得到了 n≥8, 这样我就可以知道 a8=0, 而 a9<0.从而便可以发现 S7=S8, 7 7

从第 9 项和 Sn 开始减小,由于 a8=0 对数列的和不产生影响,所以就可以说这个等差数列的 前 7 项或 8 项的和最大.? 师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化 情况.? [方法引导]? 师 受刚才这位同学的新解法的启发,我们大家一起来归纳一下这种解法的规律:? ①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和有怎样的最值?可通过什 么来求达到最值时的 n 的值?? 生 Sn 有最大值,可通过 ?

?a n ? 0 求得 n 的值.? ?a n ?1 ? 0

师 ②当等差数列{an}的首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和有怎样的最值?可通 过什么来求达到最值时的 n 的值??

生 Sn 有最小值,可以通过 ? [教师精讲]?

?a n ? 0 求得 n 的值.? ?a n ?1 ? 0

好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法,我们求等差数列的前 n 项的和的最值问题 就有法可依了.主要有两种:? (1)利用 an 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况;? (2)利用 Sn:由 S n ? 课堂练习 请同学们做下面的一道练习:? 已知:an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大?前多少项之和的绝对值最 小?(让一位学生上黑板去板演)? 解:1° ?
[来源:学科网]

d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值.?? 2 2

?an ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 ?an?1 ? 1024? n lg 2<0

?

1024 1024 <n ? +1 ? 3 401 <n<3 403.所以 n=3 402.? lg 2 lg 2
n( n ? 1) (-lg2),当 Sn=0 或 Sn 趋近于 0 时其和绝对值最小,? 2
n( n ? 1) 2048 (-lg2)=0,得 n = +1≈6 804.99.? 2 lg 2

2° Sn=1 024n+

令 Sn=0,即 1 024+

因为 n∈N*,所以有 n=6 805.? (教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)? [合作探究]?
[来源:学 |科 |网]

师 我们大家再一起来看这样一个问题:? 全体正奇数排成下表:? 1? 3 7 13 21 5? 9 11?

15 17 19? 23 25 27 29? …… ……?

此表的构成规律是:第 n 行恰有 n 个连续奇数;从第二行起,每一行第一个数与上一行最后 一个数是相邻奇数,问 2 005 是第几行的第几个数?? 师 此题是数表问题,近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中,成为出 题专家们的“新宠”,值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律,将自己的发现告诉我. 生 1 我发现这数表 n 行共有 1+2+3+…+n 个数,即 n 行共有

n( n ? 1) 个奇数.? 2

师 很好!要想知道 2 005 是第几行的第几个数,必须先研究第 n 行的构成规律.? 生 2 根据生 1 的发现,就可得到第 n 行的最后一个数是 2× 生 3 我得到第 n 行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.? 师 现在我们对第 n 行已经非常了解了,那么这问题也就好解决了,谁来求求看?? 生 4 我设 n2-n+1≤2 005≤n2+n-1,? 解这不等式组便可求出 n=45, n2-n+1=1 981.再设 2 005 是第 45 行中的第 m 个数, 则由 2 005=1 981+(m-1)× 2,解得 m=13.因此,2 005 是此表中的第 45 行中的第 13 个数.?? 师 很好!由这解法可以看出,只要我们研究出了第 n 行的构成规律,则可由此展开我们的思 路.从整体上把握等差数列的性质,是迅速解答本题的关键.?? 课堂小结? 本 节课我们学习并探究了等差数列的前 n 项和的哪些内容?? 生1 我们学会了利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值的方法:? ①利用 an: 当 an>0, d<0, 前 n 项和有最大值.可由 an≥0, 且 a n+1≤0, 求得 n 的值; 当 an≤0, d>0,前 n 项和有最小值.可由 an≤0,且 a n+1≥0,求得 n 的值.? ②利用 Sn:由 Sn=

n( n ? 1) -1=n2+n-1.? 2

d 2 d n +(a1- )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值.? 2 2

生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究,学习了从整体上把握等差数列 的性质来解决问题的数学思想方法.? 师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式的基础上,进一步去了解了 等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思 想,从而使我们从等差数列的前 n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.??? 布置作业? 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 5、6 题.? 预习提纲:?

①什么是等比数列?? ②等比数列的通项公式如何求??? 板书设计 等差数列的前 n 项和(二) Sn 与函数的联系 求 Sn 最值的方法 ? 例4 学生练习? 数表问题 习题详解 (课本第 52 页习题 2.3)? ?A 组? 1.(1)n(n+1) (2)n2(3)180 个,和为 98 550 2.略.? 3.本题求解的关键在于要理解题意, 然后能顺利建立等差数列的模型, 再求它的首项和公差, 最后应用公式来完成.? 答案:4.55× 104 米.? 4.本题的求解的关键在于用好方程思想进行求解.? 答案:4.? 5.这些数的通项公式为 7(n- 1)+2,项数 15,和 765.? 6.本题的求解的关键在于弄清这两个等差数列的公共项应满足的条件 .由这两个等差数列的 公共项组成的数列仍应是等差数列,首项是 2,公差为 12,它共有 16 项.答案 为 1 472.? ?B 组? 1.每月的维修费成等差数列,求出 5 年内总的维修费用,再加上购买费,除以天数.? 答案:292 元.? 2.因为 S6=6a1+15d,S12=12a1+66d,S18=18a1+153d,? 所以 S6+(S18-S12)=2(S12-S6).? 3.(1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分,所以到下午 6 时,最后一辆车行驶了 1 时 40 分.? (2)先求出 15 辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶 4 小时,以后车辆行驶时间依次递减, (4)900 个,和为 494 550?
[来源:学,科,网]

最后一辆行驶 1 小时 40 分,各辆车的行驶时间成等差数列,S ? 速 60 km/h,得到行驶总路程为 2 550 km.? 4.数列 ?

4 ?1

2 3 ?15 ? 85 ,乘以车 2 2

?

1 1 1 1 ? .? ? ? ? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) n n ? 1 ? n(n ? 1) ?
1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 4 1 n 1 1 n ) ? 1? ? .? n ?1 n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? 类似地,我们可以求出通项公式为 an ? 5.因为(n+1)3=n3+3n2+3n+1,? 所以 23=13+3× 12+3× 1+1,? 33=23+3× 22+3× 2+1,? …? n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,? (n+1)3=n3+3n2+3n+1,? 把两端同时加起来,得到? 23+33+…+n3+(n+1)3?
[来源:学+科+网]

1 1 1 1 ? ( ? ) 的数列的前 n 项和.? n( n ? k ) k n n ? k

=(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+(1+1+…+1),? 所以 3(12+22+…+n2)=(n+1)3-1-3(1+2+…+n)-(1+1+…+1),? 化简可得(12+22+…+n2)=

n(n ? 1)( 2n ? 1) .? 6

类似地,我们可以 用(n+1)4=n 4+4n3+6n2+4n+1,? 去求 13+23+33+…+n3.?? 备课资料 等差数列的几个性质? 等差数列的内容内涵丰富, 通项公式与前 n 项和公式是其核心内容, 我们对其进行合理 整合、变形,可以得到诸多的性质,它们的应用使解题变得轻松愉悦,与常规方法相比较, 过程要简捷得多.? 【性质 1】 已知等差数列{an},m、p、q∈N*,若存在实数 λ 使 m ? 则 am ?

p ? ?q (λ≠-1),? 1? ?

a p ? ?aq 1? ?

.?

证明:由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义:点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线, 由斜率公式得

am ? a p m? p

?

aq ? am q?m

,因为 m ?

p ? ?q p?m ? ? .? ,所以 1? ? m?q

所以 λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq,即 am ?

a p ? ?aq 1? ?

.?

评析:特别地,当 λ=1 时,2am=ap+aq,我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式.?? 【性质 2】 等差数列{an},ni,mi∈N*,i=1,2,3,…,k,若
k k

? ni ? ? mi .?
i ?1 i ?1

k

k



? a m ? ? a m .?
i ?1 i ?1

证明:设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d,i=1,2,3,…,k,? 则

? ani ? ? ami ? (? ni ? ? mi )d ? ? ami .所以 ? ani ? ? ami
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

k

k

k

k

推论:等差数列{an},n i,m∈N *,i=1,2,3,…,k,若 km ? 评析:本性质实质上是等差中项性质的推广.?

? ni .则 kam ? ? ani .
i ?1 i ?1

k

k

【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d.n,m∈N*,?

Sm Sn 1 ? ? (m ? n)d .? m n 2 S S nS m ? mS n 证明:因为 m ? n ? ? m n mn m(m ? 1) n(n ? 1) n[m a1 ? d ] ? m[na1 ? d] 2 2 = ? mn m n(m ? 1) m n(n ? 1) m na d ? m na d 1? 1? 2 2 = ? mn
则 =

m 2 n ? m n? m n2 ? m n d? 2m n

m 2 n ? m n2 d = 2m n
=

mn ( m ? n) d 2mn

1 ( m ? n) d 2 S S 1 所以 m ? n ? (m ? n)d .? m n 2
= 评析:实质上数列 ?

d ? Sn ? ? 是公差为 的等差数列.? 2 ?n?

【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d.n,m∈N *,则 S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明:因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)? = Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)? =Sn+(a1+a2+…+am)+mnd? =Sm+Sn+mnd,? 所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd.? 【性质 5】 等差数列{ an}前 n 项和为 Sn,若 m=p+q(m、p、q∈N*且 p≠q),? 则有

Sm S p ? Sq .? ? m p?q

证明:设等差数列{an}的公差为 d.? 因为 Sp-Sq=pa1+

1 1 1 p(p-1)d-qa1q(q-1)d=(p-q)[a1+ (p+q-1)d] ,? 2 2 2

所以

S p ? Sq

S 1 1 ? a1 ? ( p ? q ? 1)d .又因为 m ? a1 ? (m ? 1)d 且 m=p+q,? m 2 p?q 2

所以有

Sm S p ? Sq .? ? m p?q

推 论 : 等 差 数 列 {an} 前 n 项 和 为 Sn , 若 m+t=p+q(m 、 t 、 p 、 q∈N* 且 m≠t,p≠q), 则

S m ? St S p ? S q .? ? m?t p?q
【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.? (1)当 n=2k(k∈N*)时,S2k=k(a k+ak+1);? (2)当 n=2k-1(k∈N*)时,S2k-1= kak.?


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