当前位置:首页 >> >>

2011年中考复习——二次函数知识点(典型试题)


中考复习专题——二次函数知识点总结 中考复习专题——二次函数知识点总结 ——
二次函数知识点: 二次函数知识点:
1.二次函数的概念:一般地,形如 y = ax 2 + bx + c ( a , , 是常数, a ≠ 0 )的函数,叫做 b c 二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ≠ 0 ,而 b ,c
a<0 a 的符号 a>0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴
y轴

性质
x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0 时, y 随 x 的增大而增大; 的增大而减小; 的增大而减小; x = 0 时, y 有最小值 c . x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 的增大而增大; 的增大而增大; x = 0 时, y 有最大值 c .

( 0 ,c ) ( 0 ,c )

可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. ⑵ a , , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. b c

向下

y轴

总结: 总结: 的性质: 3. y = a ( x ? h ) 的性质:
2

二次函数的基本形式 二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: y = ax 2 的性质: 二次函数基本形式: 的性质:

o

o

结论: 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 总结:
a 的符号 a>0 a<0

结论:左加右减。 结论:左加右减。 性质
a 的符号 a>0 a<0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴
y轴

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质
x > h 时, y 随 x 的增大而增大; x < h 时, y 随 的增大而增大; x 的增大而减小; x = h 时, y 有最小值 0 . 的增大而减小; x > h 时, y 随 x 的增大而减小; x < h 时, y 随 的增大而减小; x 的增大而增大; x = h 时, y 有最大值 0 . 的增大而增大;

( 0 ,0 ) ( 0 ,0 )

x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0 时, y 随 增大而增大; x 的增大而减小; x = 0 时, y 有最小值 0 . 的增大而减小; x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0 时, y 随 的增大而减小; x 的增大而增大; x = 0 时, y 有最大值 0 . 的增大而增大;

( h ,0 ) ( h ,0 )

向下

y轴

向下

X=h

总结: 总结:

2. y = ax + c 的性质: 的性质:
2

4. y = a ( x ? h ) + k 的性质: 的性质:
2

结论:上加下减。 结论:上加下减。
1

请将 y = 2 x 2 + 4 x + 5 利用配方的形式配成顶点式。请将 y = ax 2 + bx + c 配成 y = a ( x ? h ) + k 。
2

总结: 总结: 从解析式上看, 是两种不同的表达形式, 从解析式上看, y = a ( x ? h ) + k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式,后者通过配
2

方可以得到前者, 方可以得到前者,即 y = a ? x + ?
?

b ? 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + ,其中 h = ? ,k = . ? 2a ? 4a 2a 4a
2

总结: 总结:
a 的符号 a>0 a<0

四、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法
开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质
x > h 时, y 随 x 的增大而增大; x < h 时, y 随 x 的 的增大而增大; 增大而减小; 增大而减小; x = h 时, y 有最小值 k . x > h 时, y 随 x 的增大而减小; x < h 时, y 随 x 的 的增大而减小; 增大而增大; 增大而增大; x = h 时, y 有最大值 k .

五点绘图法: 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a( x ? h)2 + k ,确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 c c 我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ( 0 , ) 、以及 ( 0 , ) 关于对称轴对称的点

( h ,k ) ( h ,k )

( 2h ,c ) 、与 x 轴的交点 ( x1 ,0 ) , ( x2 ,0 ) (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对
称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点, 轴的交点, 轴的交点. 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点

向下

X=h

二次函数图象的平移
1. 平移步骤: 平移步骤:
k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x ? h ) + k ,确定其顶点坐标 ( h , ) ;
2

的形状不变, k 具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ( h , ) 处,具体平移方法如下:
向向(k>0)【或向或(k<0)】平平|k|个个个

y=ax2

y=ax 2+k

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|个个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平 |k|个个个 向向(k>0)【或或(k<0)】 平平|k|个个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|个个个

五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质 1. 当 a > 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x = ? 抛物线开口向上, 当x<?
? b 4ac ? b 2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 2a 4a ? ? 2a

y=a(x-h)2

向向(k>0)【或或(k<0)】平平|k|个个个

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移,负左移; 值正上移,负下移”. 在原有函数的基础上 h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移 . 概括成八个字“左加右减,上加下减” 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 三、二次函数 y = a ( x ? h ) + k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较
2

b b b 的增大而减小; 的增大而增大; 时, y 随 x 的增大而减小;当 x > ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x = ? 时, 2a 2a 2a 2 4ac ? b y 有最小值 . 4a

2. 当 a < 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x = ? 抛物线开口向下,
x<?

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ,顶点坐标为 ? ? , ? .当 2a 4a ? ? 2a

b b b 时, y 随 x 的增大而增大;当 x > ? 时, y 随 x 的增大而减小;当 x = ? 时, y 有 的增大而增大; 的增大而减小; 2a 2a 2a
2

最大值

4ac ? b 2 . 4a

六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: y = ax 2 + bx + c ( a , b , c 为常数 a ≠ 0 ) 一般式: 为常数, ; 2 2. 顶点式: y = a ( x ? h) + k ( a , h , k 为常数 a ≠ 0 ) 顶点式: 为常数, ; 3. 两根式: y = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ≠ 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 两根式: 轴两交点的横坐标).

⑶ 当 c < 0 时, 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, 轴交点的位置. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. b c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之, 总之,只要 a , , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式 必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

注意: 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都
可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ≥ 0 时,抛物线的解析式 才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 作为二次项系数, 二次函数 y = ax 2 + bx + c 中, a 作为二次项系数,显然 a ≠ 0 . 抛物线开口向上, 的值越大,开口越小, 的值越小,开口越大; ⑴ 当 a > 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; 抛物线开口向下, 值越小,开口越小, 的值越大,开口越大. ⑵ 当 a < 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大.
总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向, a 的大小决 总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向,

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 已知抛物线顶点或对称轴或最大( 一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况, 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 ? bx ? c ; 轴对称后,
y = a ( x ? h ) + k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y = ? a ( x ? h ) ? k ; 轴对称后,
2 2

定开口的大小. 定开口的大小. 2. 一次项系数 b 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴. 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. 的前提下, ⑴ 在 a > 0 的前提下,
b 轴左侧; 当 b > 0 时, ? < 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b 当 b = 0 时, ? = 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b 轴的右侧. 当 b < 0 时, ? > 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a 的前提下,结论刚好与上述相反, ⑵ 在 a < 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 b 轴右侧 当 b > 0 时, ? > 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b 当 b = 0 时, ? = 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b 轴的左侧. 当 b < 0 时, ? < 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a 总结起来, 确定的前提下, 决定了抛物线对称轴的位置. 总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.

2. 关于 y 轴对称
y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y = ax 2 ? bx + c ; 轴对称后, y = a ( x ? h ) + k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y = a ( x + h ) + k ; 轴对称后,
2 2

3. 关于原点对称
y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 + bx ? c ; 关于原点对称后, y = a ( x ? h ) + k 关于原点对称后,得到的解析式是 y = ? a ( x + h ) ? k ; 关于原点对称后,
2 2

4. 关于顶点对称
y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 ? bx + c ? 关于顶点对称后,
2 2

b2 ; 2a

y = a ( x ? h ) + k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y = ? a ( x ? h ) + k . 关于顶点对称后,

5. 关于点 ( m ,n ) 对称
y = a ( x ? h ) + k 关于点 ( m , ) 对称后,得到的解析式是 y = ? a ( x + h ? 2m ) + 2n ? k n 对称后,
2 2

3. 常数项 c ⑴ 当 c > 0 时, 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c = 0 时, 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ;

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因
3

此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则, 选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开 口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达 式. 二次函数与一元二次方程: 二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
0 0 ① 当 ? = b ? 4ac > 0 时,图象与 x 轴交于两点 A ( x1 , ) ,B ( x2 , ) ( x1 ≠ x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一元
2

y=2 x2 y=x2

x2 y= 2

x2 y= 2

y= -x2

y=-2x2

b 2 ? 4ac 的两根. . 二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根.这两点间的距离 AB = x2 ? x1 = a
2

y=3 (x+4)2

y=3 x2 y=3 (x-2)2

轴只有一个交点; ② 当 ? = 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; 轴没有交点. ③ 当 ? < 0 时,图象与 x 轴没有交点 1' 当 a > 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y > 0 ; 轴的上方, 为任何实数,
2 ' 当 a < 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y < 0 . 轴的下方, 为任何实数,

轴一定相交, 2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c) ; 3. 二次函数常用解题方法总结: 二次函数常用解题方法总结: 方法总结 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; 抛 物 线 与 x 轴 二 次 三 项 式 的 值 可 一元二次方程有两个不相等实根 可零、 有两个交点 正、可零、可负 ? = 0 抛 物 线 与 x 轴 二 次 三 项 式 的 值 为 一元二次方程有两个相等的实数根 只有一个交点 非负 ? < 0 抛 物 线 与 x 轴 二 次 三 项 式 的 值 恒 一元二次方程无实数根 一元二次方程无实数根. 无交点 为正 求二次函数的最大( 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 的符号, 或由二次函数中 ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ,b ,c 的符号, 或由二次函数中 a , b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合; 的符号判断图象的位置,要数形结合; 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标, ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标, 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式, ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式, 二次三项式 ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数;下面以 a > 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间 的二次函数; 时为例,揭示二次函数、 的内在联系: 的内在联系:
?>0
y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2

图像参考: 图像参考:
4

y=2 x2+2

4.如图,已知 ?ABC 中,BC=8,BC 上的高 h = 4 ,D 为 BC 上一点, EF / / BC ,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F(EF 不过 A、B) ,设 E 到 BC 的距离为 x ,则 ?DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致
y=2x2 y=2(x-4)2

y=2 x2

为( D )

y=2 x2-4

y 4
y=2(x-4)2-3

4

4

4

O

2 A

4

x

O

2 B

4

O

2 C

4

O

2 D

4

EF 4 ? x = ? EF = 8 ? 2 x,∴ y = ? x 2 + 4 x 8 4
5.抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 3 与 x 轴分别交于 A、B 两点,则 AB 的长为 4 .

6.已知二次函数 y=kx 2+(2k- x- 与 x 轴交点的横坐标为 x1 、 x2 ( x1<x2 ) 1) 1 ,则对于下列结论: ①当 x=-2 时,y=1;②当 x>x2 时,y>0;③方程 kx 2+(2k-1) x ? 1 0 有两个不相等的实数 =

第二部分 典型习题
1.抛物线 y=x +2x-2 的顶点坐标是 A.(2,-2) B.(1,-2)
2

( D ) C.(1,-3) D.(-1,-3)

根 x1 、 x2 ;④ x1< ? 1 , x2>- ;⑤ x2-x1= 1 需填写序号) .

1+4k 2 ,其中所有正确的结论是 ①③④ (只 k

2.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( C ) A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0
A E B D F C

7. 已 知 直 线 y = ?2 x + b(b ≠ 0 ) 与 x 轴 交 于 点 A , 与 y 轴 交 于 点 B ; 一 抛 物 线 的 解 析 式 为

D.ab<0,c<0

y = x 2 ? (b + 10 )x + c .
(1)若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y = ?2 x + b 上,试确定这条抛物线的解析式; (2) 过点 B 作直线 BC⊥AB 交 x 轴交于点 C, 若抛物线的对称轴恰好过 C 点, 试确定直线 y = ?2 x + b 的解析式.

第2,3题图

第 4 题图 D )

3.二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( A.a>0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 B.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c>0

解: (1) y = x 2 ? 10 或 y = x 2 ? 4 x ? 6 将(0,b) 代 入 , 得 c = b . 顶 点 坐 标 为 (

b + 10 b 2 + 16b + 100 ,? ) ,由题意得 2 4
5

b + 10 b 2 + 16b + 100 ?2 × +b = ? ,解得 b1 = ?10, b2 = ?6 . 2 4
(2) y = ?2 x ? 2 8.有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数,已知输入值为 ? 2 ,0, 1 时, 相应的输出值分别为 5, ? 3 , ? 4 . (1)求此二次函数的解析式; (2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 y 为正数时输入值 x 的取值范围. 解: (1)设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,

22 时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式. 解:⑴第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时 ⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃

1 2 x + 2 x + 24(10 ≤ x ≤ 22 ) 16 4 2 10.已知抛物线 y = ax + ( + 3a ) x + 4 与 x 轴交于 A、 3
⑶y=? B 两点,与 y 轴交于点 C.是否存在实数 a,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出 a 的值;若不 存在,请说明理由. 解:依题意,得点 C 的坐标为(0,4) . 设点 A、B 的坐标分别为( x1 ,0)( x2 ,0) , , 由 ax + ( + 3a ) x + 4 = 0 ,解得
2

?a (?2) 2 + b(?2) + c = 5 ?c = ?3 ?a = 1 ? ? ? ? 2 则 ?a ? 0 + b ? 0 + c = ?3 ,即 ?2a ? b = 4 ,解得 ?b = ?2 ?a + b + c = ?4 ?a + b = ?1 ?c = ?3 ? ? ? ?
故所求的解析式为: y = x 2 ? 2 x ? 3 . (2)函数图象如图所示. 由图象可得,当输出值 y 为正数时, 输入值 x 的取值范围是 x < ?1 或 x > 3 . 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在 这四天中每昼夜的体温变化情况相同. 他 头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成 图.请根据图象回答: 们将一 下

4 3

x1 = ?3 , x2 = ?
4 ,0) . 3a

4 . 3a

∴ 点 A、B 的坐标分别为(-3,0)( ? , ∴

AB =| ?

4 + 3 | , AC = AO 2 + OC 2 = 5 , 3a

BC = BO 2 + OC 2 = | ?


4 2 | +4 2 . 3a

⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼 是上升的?它的体温从最低上升到最高 少时间? ⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中 10 时到
第9题

的体温 需要多

4 16 4 16 8 + 3 |2 = 2 ? 2 × 3 × + 9 = 2 ? + 9 , 3a 9a 3a 9a a 16 AC 2 = 25 , BC 2 = 2 + 16 . 9a AB 2 =| ?
2 2 2

〈ⅰ〉当 AB = AC + BC 时,∠ACB=90°. 由 AB = AC + BC ,
2 2 2

6

16 8 16 ? + 9 = 25 + ( 2 + 16) . 2 9a a 9a 1 解得 a = ? . 4 1 16 625 400 2 2 2 ∴ 当 a = ? 时,点 B 的坐标为( ,0) AB = , , AC = 25 , BC = . 4 3 9 9
得 于是 AB = AC + BC .
2 2 2

∴m2-4m+3=0 . 解得:m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 . (2)M(a,b),则 N(-a,-b) . ∵M、N 是抛物线上的两点, y C

1 ∴ 当 a = ? 时,△ABC 为直角三角形. 4
〈ⅱ〉当 AC = AB + BC 时,∠ABC=90°.
2 2 2

?? a 2 + ma ? m + 2 = b,? ① ? ∴? 2 ?? a ? ma ? m + 2 = ?b.? ② ?
①+②得:-2a -2m+4=0 . ∴a =-m+2 . ∴当 m<2 时,才存在满足条件中的两点 M、N. ∴a = ± 2?m . 这时 M、N 到 y 轴的距离均为 2 ? m , 又点 C 坐标为(0,2-m),而 S△M N C = 27 , ∴2×
2 2

M x O N

由 AC = AB + BC ,得 25 = (
2 2 2

16 8 16 ? + 9) + ( 2 + 16) . 2 a 9a 9a

解得 当a =

a=

4 . 9

4 4 4 = = ?3 ,点 B(-3,0)与点 A 重合,不合题意. 时, ? 9 3a 3 × 4 9
2 2 2

1 ×(2-m)× 2 ? m =27 . 2

〈ⅲ〉当 BC = AC + AB 时,∠BAC=90°. 由 BC = AC + AB ,得
2 2 2

∴解得 m=-7 . 12.已知:抛物线 y=ax 2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0) . (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标;

16 16 8 + 16 = 25 + ( 2 ? + 9) . 2 a 9a 9a

解得

a=

4 .不合题意. 9 1 时,△ABC 为直角三角形. 4

综合〈ⅰ〉〈ⅱ〉〈ⅲ〉 、 、 ,当 a = ? 11.已知抛物线 y=-x +mx-m+2.
2

(2)D 是抛物线与 y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以 AB 为 梯形 ABCD 的面积为 9,求此抛物线的解析式; (3)E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点,如果 (2)中的抛物线上,且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧,问:

一 底 的

点 E 在 在 抛 物

(1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB= 5 ,试求 m 的值; (2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 △MNC 的面积 等于 27,试求 m 的值. 解: (1)A(x1,0),B(x2,0) . 则 x1 ,x2 是方程 x2-mx+m-2=0 的两根. ∵x1 + x2 =m , x1·x2 =m-2 <0 即 m<2 ;
2 又 AB=∣x1 — x2∣= (x1 +x2)? 4 x1 x2 = 5

线的对称轴上是否存在点 P,使△APE 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由. 解法一: (1)依题意,抛物线的对称轴为 x=-2. ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A(-1,0) , ∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为(-3,0) .
7

,

(2)∵ 抛物线 y=ax 2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(-1, 0) , ∴

a (-1) 2+4a (-1)+t=0 .∴ t=3a.∴

y=ax 2+4ax+3a .
2



5 ? 1 ? ? m+ n = , 4 ? 2 ?-3m+n=0. ?

1 ? m= , ? ? 2 解得 ? ? n= 3 . ? ? 2 1 3 1 x+ .∴ 把 x=-2 代入上式,得 y= . 2 2 2

∴ D(0,3a) .∴ 梯形 ABCD 中,AB∥CD,且点 C 在抛物线 y=ax +4ax+3a 上, ∴ 直线 BE 的解析式为 y= ∵ C(-4,3a) .∴ AB=2,CD=4. ∵ 梯形 ABCD 的面积为 9,∴ ∴ a±1. ∴ 所求抛物线的解析式为 y=x 2+4 x+3 或 y= ? x 2 ? 4ax ? 3 . (3)设点 E 坐标为( x0 , y0 ).依题意, x0<0 , y0<0 , 且

1 ( AB + CD) ? OD=9 .∴ 2

1 (2+4) 3a =9 . 2

∴ 点 P 坐标为(-2,

1 ) . 2
2 y0= ? x0 ? 4 x0 ? 3 .

②设点 E 在抛物线 y= ? x 2 ? 4 x ? 3 上,∴

5 ? ? y0=- x0 , 解方程组 ? 2 ? y = ? x 2 ? 4 x ? 3. 0 0 ? 0

2 消去 y0 ,得 x 0 +

3 x 0+3=0 . 2

5 = .∴ x0 2

y0

5 y0=- x0 . 2

∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点 P(-2, 解法二: (1)∵ 抛物线 y=ax 2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0) ,

1 ) ,使△APE 的周长最小. 2

①设点 E 在抛物线 y=x 2+4 x+3 上, ∴ y0=x0+4 x0+3 .
2

5 ? ? y0=- x0 , 解方程组 ? 2 ? y =x 2+4 x +3 0 ? 0 0

1 ? ′ ? x0= ? 2 , ? x0= ? 6, ? 得? ? ? y 0=15; ? y ′= 5 . ? 0 4 ?



a (-1) 2+4a (-1)+t=0 .∴ t=3a.∴
2

y=ax 2+4ax+3a .

令 y=0,即 ax +4ax+3a=0 .解得

x1=-1 , x2=-3 .

∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为(-3,0) .

1 5 ∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x=-2 的同侧,∴ 点 E 坐标为( ? , ) . 2 4
设在抛物线的对称轴 x=-2 上存在一点 P,使△APE 的周长最小. ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须 PA+PE 最小. ∴ 点 A 关于对称轴 x=-2 的对称点是 B(-3,0) , ∴ 由几何知识可知,P 是直线 BE 与对称轴 x=-2 的交点. 设过点 E、B 的直线的解析式为 y=mx+n , (2)由 y=ax 2+4ax+3a ,得 D(0,3a) . ∵ 梯形 ABCD 中,AB∥CD,且点 C 在抛物线

y=ax 2+4ax+3a 上,
∴ C(-4,3a) .∴ AB=2,CD=4. ∵ 梯形 ABCD 的面积为 9,∴

1 ( AB+CD ) ? OD=9 .解得 OD=3. 2
8



3a =3 .∴ a±1.

(2)设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ,点 N 的坐标为 N(t,h) ,

∴ 所求抛物线的解析式为 y=x 2+4 x+3 或 y=-x 2-4 x-3 . ∴ (3)同解法一得,P 是直线 BE 与对称轴 x=-2 的交点. ∴ 如图,过点 E 作 EQ⊥x 轴于点 Q.设对称轴与 x 轴的交 F. 由 PF∥EQ, 可得 点 为

?0 = 2k + b, 3 ? .解得 k = , b = ?3 . ? 9 1 2 ?? 4 = 2 k + b. ?

BF PF . ∴ = BQ EQ

1 PF . ∴ = 5 5 2 4

1 PF= . 2

3 x ?3. 2 3 1 1 1 2 3 2 1 ∴ h = t ? 3 ,其中 < t < 2 .∴ s = × 1× 2 + (2 + t ? 3)t = t ? t + 1 . 2 2 2 2 3 4 2 3 2 1 1 ∴ s 与 t 间的函数关系式是 S = t ? t + 1 ,自变量 t 的取值范围是 < t < 2 . 4 2 2
∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = (3)存在符合条件的点 P,且坐标是 P ? , ? , P2 ? , ? 1 设点 P 的坐标为 P ( m,n) ,则 n = m ? m ? 2 .
2

1 ∴ 点 P 坐标为(-2, ) . 2
以下同解法一. 13.已知二次函数的图象如图所示. (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标. (2)若点 N 为线段 BM 上的一点,过点 N 作 x 轴的垂线,垂足为点 Q.当点 N 在线段 BM 上运动时 (点 N 不与点 B,点 M 重合) ,设 NQ 的长为 l,四边形 NQAC 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式 及自变量 t 的取值范围;

?5 7? ?2 4?

?3 ?2

5? ?. 4?

PA2 = (m + 1) 2 + n 2 , PC 2 = m 2 + (n + 2) 2,AC 2 = 5 .
分以下几种情况讨论: i)若∠PAC=90°,则 PC = PA + AC .
2 2 2

∴ (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶 点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶 点坐标(不需要计算过程) . 解: (1)设抛物线的解析式 y = a ( x + 1)( x ? 2) , ∴ ∴

2 ? ?n = m ? m ? 2, ? 2 ?m + (n + 2) 2 = (m + 1) 2 + n 2 + 5. ?

解得: m1 =

5 ?5 7? , m2 = ?1 (舍去) ∴ 点 P ? , ? . . 1 2 ?2 4?
2 2 2

ii)若∠PCA=90°,则 PA = PC + AC .

?n = m 2 ? m ? 2, ? ? ?(m + 1) 2 + n 2 = m 2 + (n + 2) 2 + 5. ?
3 5? ?3 ,m4 = 0 (舍去) .∴ 点 P2 ? ,- ? . 2 4? ?2

? 2 = a × 1 × (?2) .∴

a = 1 .∴

y = x2 ? x ? 2 .

解得: m3 =

其顶点 M 的坐标是 ? , ?

?1 ?2

9? ?. 4?

iii)由图象观察得,当点 P 在对称轴右侧时, PA > AC ,所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直 角.
9

(4)以点 O,点 A(或点 O,点 C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边 OA(或边 OC) 的对边上,如图 a,此时未知顶点坐标是点 D(-1,-2) , 以点 A,点 C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上,如图 b,此时未 知顶点坐标是 E ? ? , ? ,F ? , ? . ?

算结果精确到 1 米) . 解: (1)由于顶点 C 在 y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

? 1 2? ? 5 5?

?4 ?5

8? 5?

9 . 10 5 5 2 9 18 5 因为点 A( ? ,0) (或 B( ,0) )在抛物线上, 所以 0=a ? ( ? ) + ,得 a=- . 2 2 2 10 125 18 2 9 5 5 因此所求函数解析式为 y=- x + (? ≤ x ≤ ) . 125 10 2 2 9 9 18 2 9 5 (2)因为点 D、E 的纵坐标为 , 所以 =- x + ,得 x= ± 2. 20 20 125 10 4 5 9 9 5 所以点 D 的坐标为( - 2, ) ,点 E 的坐标为( 2, ) . 4 20 4 20 y=ax 2+
所以 DE=

5 5 5 2 2-(? 2 )= . 4 4 2 5 2 × 11000 × 0.01=275 2 ≈ 385 (米) . 2

图a

图b

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

14.已知二次函数 y=ax 2-2 的图象经过点(1,-1) .求这个二次函数的解析式,并判断该函数图 象与 x 轴的交点的个数. 解:根据题意,得 a-2=-1. . ∴ a=1. ∴ 这个二次函数解析式是 y=x 2 ? 2 .

16.已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点 A 在点 B 的左侧,如 图.二次函数 y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过点 A、B,与 y 轴相交于点 C.

(1)a、c 的符号之间有何关系? (2)如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项,试证 a、c 互为倒数; (3)在(2)的条件下,如果 b=-4, AB=4 3 ,求 a、c 的值. 解: (1)a、c 同号. 或当 a>0 时,c>0;当 a<0 时,c<0. (2)证明:设点 A 的坐标为( x1 ,0) ,点 B 的坐标为( x2 ,0) ,则 0<x1<x2 .

因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2) ,所以该函数图象与 x 轴有两个交点. 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面 1∶11000 的比例图上,跨度 AB=5 cm, 拱高 OC=0.9 cm,线段 DE 表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1) .在比例图上,以直线 AB 为 x . 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2) .

(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域; (2)如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据: 2 ≈ 1.4 ,计 .



OA = x1 , OB = x2 , OC = c .

10

据题意, x1 、 x2 是方程 ax 2+bx+c = 0( a ≠ 0) 的两个根. ∴ 由题意,得 OA ? OB=OC ,即 = c =c .
2 2 2

x1 ? x2 =

c . a

c a

所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时,a、c 互为倒数. (3)当 b = ?4 时,由(2)知, x1+x2=- = >0 ,∴ a>0. 解法一:AB=OB-OA= x2-x1= ( x1+x2 ) ? 4 x1 x2 ,
2

b a

4 a

解: (1)连结 EC 交 x 轴于点 N(如图) . ∵ A、B 是直线 y = ?
3 x + 3 分别与 x 轴、y 轴的交点.∴ A(3,0) (0, 3 ) . ,B 3



4 c 16 ? 4ac 2 3 AB = ( ) 2-4( ) = = . a a a2 a
AB = 4 3 , ∴

又∠COD=∠CBO. ∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C 是 ∴ ON =
1 3 3 OB OA = , EN = = . 2 2 2 2

的中点. ∴ EC⊥OA.



2 3 1 =4 3 .得 a = .∴ c=2. . a 2 4 ± 16 ? 4ac 4 ± 16 ? 4 2 ± 3 = = , 2a 2a a

连结 OE.∴ EC = OE = 3 .

∴ NC = EC ? EN =

3 3 3 .∴ C 点的坐标为( ,? ) . 2 2 2

解法二:由求根公式, x=

(2)设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax(x ? 3) .
3 3 3 2 3 3 ∵ C( ,? ) ∴? . = a ? ( ? 3) .∴ a = 3. 2 2 2 9 2 2



x1=

2? 3 2+ 3 , x2= . a a 2 + 3 2- 3 2 3 - = . a a a

∴ y=

2 3 2 2 3 x ? x 为所求. 9 8 3 , 3



AB=OB-OA=x2-x1=

(3)∵ tan ∠BAO =

∴ ∠BAO=30°,∠ABO=50°.
1 1 ∠ABO ? × 60° = 30° . 2 2



AB=4 3 ,∴

1 2 3 =4 3 ,得 a= .∴ c=2. a 2

由(1)知∠OBD=∠ABD.∴ ∠OBD = ∴ OD=OB·tan30°-1.∴ DA=2. ∵ ∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.

17.如图,直线 y = ?

3 x + 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,⊙E 经过原点 O 及 A、B 两点. 3

(1)C 是⊙E 上一点,连结 BC 交 OA 于点 D,若∠COD=∠CBO,求点 A、B、C 的坐标; (2)求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式: (3)若延长 BC 到 P,使 DP=2,连结 AP,试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.

∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP=60°. ∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即 PA⊥AB. 即直线 PA 是⊙E 的切线.

11


相关文章:
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数考点集训 二次函数知识点、考点、典型试题...中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的...(写出结果并说明理由) ★★★(III)2011 年中考题...
2011年中考数学复习专题——二次函数知识点总结
2011年中考数学复习专题——二次函数知识点总结2011年中考数学复习专题——二次函数知识点总结隐藏>> 中考复习专题——二次函数知识点总结 二次函数知识点: b c ...
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案...中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的...(写出结果并说明理由) ★★★(III)2011 年中考题...
2011年中考二次函数总复习1[1]
二次函数典型例题解析 4页 免费 2011中考二次函数总复习(精... 41页 免费如...(一)中考对知识点的考查: 2009、 2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下 ...
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案...中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的...(写出结果并说明理由) ★★★(III)2011 年中考题...
2011年中考复习专题——二次函数知识点总结
2011年中考复习专题——二次函数知识点总结2011年中考复习专题——二次函数知识点总结隐藏>> 二次函数专题 二次函数专题二次函数知识点一、二次函数概念: 二次函...
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识 ? 相关概念及定义...2011年中考复习专题——... 5页 免费 二次函数与中考 暂无评价 2页 ¥2....
...二次函数知识点、考点、典型试题汇编(带详细解析答...
黄冈中学 2015-2016 学年二次函数集训 名校名师卷 二次函数知识点、考点、典型试题汇编(带详细解析答案) 一、中考要求: 1.经历探索、分析和建立两个变量之间的...
2011年中考复习专题———二次函数知识点概括总结
楚鲲教育·袁家岭校区辅导学习中心 中考复习专题——二次函数知识点总结 中考复习专题——二次函数知识点总结 ——二次函数知识点: 二次函数知识点: 1.二次函数...
2016年中考复习专题———二次函数知识点概括总结
2016年中考复习专题———二次函数知识点概括总结_中考_初中教育_教育专区。中考复习专题——二次函数知识点总结二次函数知识点: b, c 是常数, a ? 0 )的...
更多相关标签: