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复变函数试题及答案


一、填空题(每小题 2 分) 1、复数 ? 12 ? 2i 的指数形式是 2、函数 w =
1 2 将 S Z 上的曲线 ?x ? 1? ? y 2 ? 1变成 SW ( w ? u ? iv )上 z 的曲线是

3.若 1 ? e z ? 0 ,则 z = 4、 ?1 ? i ? =
i

5、积分 ? 6、积分

?2?i

?2

?z ? 2?2 dz =

1 sin z dz ? ? 2?i z ?1 z
? n

7、幂级数 ? ?1 ? i ? z n 的收敛半径 R=
n ?0

8、 z ? 0 是函数

1 1 ? 的 e ?1 z
z

奇点

? ez ? ?? 9、 Re s? z ?1 ? z 2 ? 1 ? ? ?
10、将点 ? ,i,0 分别变成 0,i, ? 的分式线性变换 w ? 二、单选题(每小题 2 分) 1、设 ? 为任意实数,则 1? =( ) B 等于 1 D 是复数其模等于 1 B 零的辐角是零 1 D z ? iz i

A 无意义 C 是复数其实部等于 1 2、下列命题正确的是( ) A i ? 2i 1 C 仅存在一个数 z,使得 ? ? z z 3、下列命题正确的是( )

A 函数 f ?z ? ? z 在 z 平面上处处连续 B 如果 f ??a ? 存在,那么 f ?? z ? 在 a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果 v 是 u 的共轭调和函数,则 u 也是 v 的共轭调和函数

4、根式 3 ? 1 的值之一是(



A

1 3 ? i 2 2

B

3 i ? 2 2

C ?

3 i ? 2 2

D ?

1 3 ? i 2 2

5、下列函数在 z ? 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( A



1 1 sin z

B cos

1 z

C e

ctg

1 z

D Lnz

6、下列积分之值不等于 0 的是( dz dz A ? B ? 3 1 z ?1 z ? z ?1 z ? 2 2

) C

dz z ?1 z ? 2 z ? 4

?

2

D

dz cos z z ?1

?

7、函数 f ?z ? ? arctanz 在 z ? 0 处的泰勒展式为( A
n ? ?? 1? n ?0 ? ?



z 2n ( z <1) 2n ? 1

B

n ? ?? 1? n ?0

?

z 2 n?1 ( z <1) 2n
n

z 2 n?1 C ? ?? 1? ( z <1) 2n ? 1 n ?0
n
?

z 2n D ? ?? 1? ( z <1) 2n n ?0
) D ? ) D icosi )
1 1? z2

?

8、幂级数 ? (?1) n?1 z 2 n 在 z ? 1内的和函数是(
n ?0

A

1 1? z2

B

1 1? z2
C

C

1 z ?1
2

9、设 a ? i ,C: z ? i =1,则 ? A 0 B
2? i e

?a ? i ?2
C

z cos z

dz ? (

2 ? ie

10、将单位圆 z ? 1共形映射成单位圆外部 w ? 1 的分式线性变换是( A w ? e i?
z?a ( a ? 1) 1 ? az z?a ( a ? 1) z?a
2

B w ? e i?

z?a ( a ? 1) 1 ? az z?a ( a ? 1) z?a

C w ? e i?

D w ? e i?

三、判断题(每小题 2 分) 1、 ( )对任何复数 z, z 2 ? z 成立 2、 ( )若 a 是 f ?z ? 和 g ?z ? 的一个奇点,则 a 也是 f ?z ? ? g ?z ? 的奇点 3、 ( )方程 z 7 ? z 3 ? 12 ? 0 的根全在圆环 1 ? z ? 2 内

4、 ( )z= ? 是函数 f ?z ? ?

?1 ? z ?2

z5

的三阶极点

5、 ( )解析函数的零点是孤立的 四、计算题(每小题 6 分) 1、已知 f ?z ? ? x 2 ? axy ? by2 ? i(cx2 ? dxy ? y 2 ) 在 S z 上解析,求 a,b,c,d 的值 2、计算积分 ?
5z ? 2 dz z ? 2 z ( z ? 1) 2
z ?1 在 z ? 1 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围 z ?1
?? 0

3、将函数 f ? z ? ?

4、计算实积分 I= ? 5、求 f ( z ) ?

x2 dx ( x 2 ? 1)(x 2 ? 4)

1 在指定圆环 2 ? z ? i ? ?? 内的洛朗展式 1? z2

6、求将上半平面 Im z ? 0 共形映射成单位圆 w ? 1的分式线性变换

w ? L?z ? ,使符合条件 L?i ? ? 0 , L??i ? ? 0
五、证明题(每小题 7 分) 1、设(1)函数 f ( z ) 在区域 D 内解析 (2)在某一点 z 0 ? D 有 f ( n) ( z 0 ) ? 0 , ( n ? 1,2,? ) 证明: f ( z ) 在 D 内必为常数 2、证明方程 e z ? 5 z n ? 1 ? 0 在单位圆 z ? 1内有 n 个根 一填空题(每小题 2 分,视答题情况可酌情给 1 分,共 20 分) 1
i ln 2

4e

5 ? ?i 6

, 2

u?

1 2



3

(2k+1) ?i ,(k=0, ? 1,?2? ) ,

4

e

e

?? ? ?? ? 2 k? ? ?4 ?

(k=0, ? 1,?2? ) 0 , 7
1 2

i 5 ? , 3

6

,

8 可去,

9

e 1 , 10 ? 2 z

二 单选题(每小题 2 分,共 20 分) 1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 三 判断题(每小题 2 分,共 10 分) 1? 2 ? 3 ? 4 ?

6 B 5 ?

7 C

8 D

9 A

10 A

四 计算题(每小题 6 分,共 36 分) 1 解: u ? x 2 ? axy ? by2 , v ? cx2 ? dxy ? y 2
?3分

u x ? v y 2 x ? ay ? dx ? 2 y u y ? ?v x
ax ? 2by ? ?2cx ? dy

…5 分
?6 分

解得: a ? d ? 2, b ? c ? ?1 2 解:被积函数在圆周的 z ? 2 内部只有一阶极点 z=0 及二阶极点 z=1
Re s f ( z ) ?
z ?0

?2分
z ?0

5z ? 2 ( z ? 1) 2
?

? ?2

? 5z ? 2 ? Re s f ( z ) ? ? ? z ?1 ? z ?

?
z ?1

2 z2

?2
z ?1

?5分

?

5z ? 2 dz = ? 2i(-2+2)=0 z ? 2 z ( z ? 1) 2
z ?1 z ?1
? 1 ? 1? n ? 1 ? ? ? ? ? ?z ? 1? z ?1 2? n ?0 ? 1? 2 n

?6 分

3 解: f ? z ? ? = 1?

2 ? 1? z ?1

…4 分

( z ? 1 <2) 4 解: 被积函数为偶函数在上半 z 平面有两个 一阶极点 i,2i I=

…6 分

…1 分 …2 分

1 ?? x2 dx 2 ??? ( x 2 ? 1)(x 2 ? 4)

1 = 2?i Re s f ( z ) ? Re sf ( z ) z ?i 2 z ? 2i
? z2 = ?i ? 2 ? ( z ? i )( z ? 4)
z ?i

?

?
z ? 2i

…3 分

?

z2 ( z 2 ? 1)( z ? 2i )

?

…5 分 …6 分

=

? 6

5 解: f ( z ) ?

1 ( z ? i)(z ? i)
1 2i 1? z ?i

…1 分

=

1 ( z ? i) 2

…3 分

= 6 解:

1 ( z ? i) 2

? (?1) n
n ?0

?

(2i) n ( z ? i) n

2 ? z ? i ? ??

…6 分
?2分

w =L(i)=k

z ?i z?i

w? ? k

2i ( z ? i) 2
?k ? i

…3 分 …4 分 …6 分

w? ? L?(i) ?? 0
w?i

z ?i z?i 五 证明题(每小题 7 分,共 14 分)

1

证明:设 k : z ? z0 ? R(k ? D) ? f ( z ) 在 z0 解析 由泰勒定理 f ( z ) ? ?
n ?0 ?

f (n) ( z0 ) ( z ? z 0 ) n ( z ? k ? D) …2 分 n!
…4 分 …7 分

由题设 f ( n) ( z 0 ) ? 0 由唯一性定理

? f ( z ) ? f ( z 0 ) , ( z ? k ? D)
( z ? D)

f ( z) ? f ( z0 )

2 证明:令 f ( z ) ? 5z n , ? ( z) ? e z ? 1 (1) f ?z ? 及 ? ?z ? 在 z ? 1解析 (2) z ? 1上, f ?z ? ? 5 z n ? 5

?2分

? ?z ? ? e z ? 1 ? e z ? 1 ? e z ? 1 ? e ? 1 <5
故在 z ? 1上 f ?z ? ? ??z ? ,由儒歇定理在 z ? 1内

?4分

N ( f ?z ? ? ??z ?, z ? 1) ? N ( f ?z ?, z ? 1) ? n

…7 分

一、填空题(每小题 2 分) 1、

?cos5? ? i sin 5? ?2 的指数形式是 ?cos3? ? i sin 3? ?3
ln?1 ? z ?dz ?

2、 i i = 3、若 0<r<1,则积分 ?
z ?r

4、若 v 是 u 的共轭调和函数,那么 v 的共轭调和函数是 5、设 z ? 0 为函数 f ( z ) = z 3 ? sin z 3 的 m 阶零点,则 m =

? f ??z ?? 6、设 z ? a 为函数 f ?z ? 的 n 阶极点,那么 Re s ? ? = z ?a ? f ?z ? ?
7、幂级数 ?
n ?0 ?

zn 的收敛半径 R= n!
奇点 内

1 8、 z ? 0 是函数 z 5 sin 的 z

9、方程 z 7 ? z 3 ? 12 ? 0 的根全在圆环

10、将点 ? ,i,0 分别变成 0,i, ? 的分式线性变换 w ? 二、单选题(每小题 2 分) 1、若函数 f ?z ? 在区域 D 内解析,则函数 f ?z ? 在区域 D 内( A 在有限个点可导 C 在无穷多个点可导 2、使 z 2 ? z 成立的复数是( A 不存在 3、 ?
z ?2
2



B 存在任意阶导数 D 存在有限个点不可导 ) C 纯虚数 D 实数

B 唯一的 )

cos z dz ? ( (1 ? z ) 2

A - ?i sin1

B ?i sin1 )
3 i ? 2 2

C -2 ?i sin1

D 2 ?i sin1

4、根式 3 i 的值之一是( A
3 i ? 2 2

B ?

C i

D ?i

5、 z ? ? 是

sin z 的( ) z ?? A 可去奇点 B 一阶极点

C 一阶零点

D 本质奇点

6、函数 f ?z ? ?

1 ,在以 z ? 0 为中心的圆环内的洛朗展式 z ?z ? 1??z ? 4?

有 m 个,则 m=( ) A 1 B 2 7、下列函数是解析函数的为( A C

C )

3 B x 2 ? xyi D x 3 ? iy 3 )
sin z 1 ? z z

D 4

x 2 ? y 2 ? 2 xyi 2( x ? 1) y ? i( y 2 ? x 2 ? 2 x)
z ?0

8、在下列函数中, Re s f ?z ? ? 0 的是( A C
f ?z ? ?
f ?z ? ?

ez ?1 z2
sin z ? cos z z
C

B D
z cos z

f ?z ? ?

f ?z ? ?

1 1 ? e ?1 z
z

9、设 a ? i ,C: z ? i =1,则 ? A 0 B
2? i e

?a ? i ?2
C

dz ? (

) D icosi )

2 ? ie

10、将单位圆 z ? 1共形映射成单位圆外部 w ? 1 的分式线性变换是( A w ? e i?
z?a ( a ? 1) 1 ? az
z?a ( a ? 1) z?a

B w ? e i?

z?a ( a ? 1) 1 ? az
z?a ( a ? 1) z?a

C w ? e i?

D w ? e i?

三、判断题(每小题 2 分) 1、 ( )幂级数 ? z n 在 z <1 内一致收敛
n ?0 ?

2、 ( )z= ? 是函数

1 ? cos z 的可去奇点 z2

3、 ( )在柯西积分公式中,如果 a ? D ,即 a 在 D 之外,其它条件 不变,则积分 4、 ( )函数 f ?z ? ? e
1 f ?z ? dz ? 0, ?z ? D? ? 2?i C z ? a
1 z

ctg

在 z ? 0 的去心邻域内可展成洛朗级数

5、 ( )解析函数的零点是孤立的

四、计算题(每小题 6 分) 1、计算积分 ? ?x ? y ? ix 2 ?dz ,C: i ?1+ i 的直线段
C

2、求函数 f ?z ? ? 3、将函数 f ? z ? ? 4、计算积分 ?

?z ? 1??z ? 1?2

z

在所有孤立奇点(包括 ? )处的留数

1 1 ? 在 z ? i 的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 z ?i z ?i

C

dz , C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 , z z2 ?1
2

?

?

5、计算实积分 I= ?

2?

0

d? a ? cos ?

满分 得分

14

(a ? 1)

6、求将单位圆 z ? 1共形映射成单位圆 w ? 1 的分式线性变换 w ? L?z ?
?1? 使符合条件 L? ? ? 0 , L?1? ? ?1 ?2?

五、证明题(每小题 7 分) 1、设函数 f ?z ? 在区域 D 内解析,证明:函数 i f ? z ? 也在 D 内解析
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2、证明:在 z ? 0 解析,且满足的 f ? ,f? ?? ( n ? 1,2? )的 ?? ? 2n ? 1 ? 2n ? 2n ? 2n

函数 f ?z ? 不存在

一填空题(每小题 2 分,视答题情况可酌情给 1 分,共 20 分) 9 1 6 ? n ,7 ? ? , 8 本质, 9 1 ? z ? 2 , 10 ? z 二 单选题(每小题 2 分,共 20 分) 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 三 判断题(每小题 2 分,共 10 分) 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 四 计算题(每小题 6 分,共 36 分) ?3分 1 解:C 的参数方程为: z=i+t, 0 ? t ? 1 dz=dt 1 1 i 2 2 ?6 分 ?C ?x ? y ? ix ?dz = ?0 t ? 1 ? it dt = ? 2 ? 3 1 e
i19?

,2 e

? ? 2 k? 2

?

(k=0,±…) , 3 0, 4 ? u , 5

10 A

?

?

2 解: z ? 1 为 f ?z ? 一阶极点
z ? ?1 为 f ?z ? 二阶极点

?1 分 ?2分

? z ? Re s f ? z ? ? ? ? z ? ?1 ? z ?1?

?
z ? ?1

??

1 4

?3 分

Re s f ?z ? ?
z ?1

?z ? 1?

z

2

z ?1

?

1 4

?5 分

Re s f ? z ? ? 0
z ??

…6 分

? ? ? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 解: f ? z ? ? =? z ?i ? z ?i z ?i z ? i 2i ? ?1? ? 2i ? ?

…2 分

= ?

? 1 n ?z ? i ? ? ? ?? 1? z ? i n ?0 ?2i ?n?1

n

…5 分 …6 分

(0< z ? i <2) 4 解:在 C 内 f ?z ? 有一个二阶极点 z =0 和 一个一阶极点 z ? i
? 1 ? Re s f ? z ? ? ? 2 ? z ?0 ? z ?1? ? ?0
z ?0

…1 分 …3 分

Re s f ?z ? ?
z ?i

1 z ( z ? i)
2

??
z ?i

1 2i

…5 分

1? ? 所以原式= 2? i ? 0 ? ? ? ?? 2i ? ?

…6 分

5 解:令 z ? e i?
I ?? 1 dz ?1 z ? z iz a? 2

z ?1

…1 分

=

2 dz ? z ? 1 2 i z ? (?a ? a ? 1) z ? (?a ? a 2 ? 1)

?

??

?

…3 分

被积函数在 z ? 1内的有一个 一阶极点 z ? ?a ? a 2 ? 1

z ? ? a ? a 2 ?1

Re s

f ( z) ?

1 2 a2 ?1

…5 分

I= 2?i

2 1 2? ? i 2 a2 ?1 a2 ?1
z?

…6 分

1 1 z? ?1? 2 ?k 2 6 解: w ? L? ? ? k 1 z?2 ?2? z? 1 2 1 1? 2 ? ? 1 k ? ?1 所以 k ? 2 L?1? ? k 1? 2 2 1 z? 2 ? 2z ? 1 于是所求变换 w ? 2 z?2 z?2 五 证明题(每小题 7 分,共 14 分)

?2分

?4分

?6 分

1 证明:

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

f ( z ) = u(x,y)-iv(x,y)

i f ( z) = v(x,y)-i u(x,y)
f(z)在 D 内解析, u x ? v y ,u y ? ?vx

?2分

i f ( z) 四个偏导数为 v x ,v y ,-u x ,-u y

?4分

比较 f(z)的 C-R 方程 i f ( z) 也满足 C-R 方程 且四个偏导数在 D 内连续 ? i f ( z) 在 D 内解析 2 证明:假设在 z ? 0 解析的函数 f ?z ? 存在
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 且满足 f ? , f? ?? ( n ? 1,2? ) ?? ? 2n ? 1 ? 2n ? 2n ? 2n ?1? 1 ? 点列 ? ? = 以 z ? 0 为聚点 ? 2n ? 2 n
?2分

?7 分

?1? ? 1 ? 1 在点列 ? ? 上, f ? ? ? ? 2n ? ? 2n ? 2n

由解析函数的唯一性定理 在 z ? 0 的邻域内 f ?z ? = z
? 1 ? 1 但在这个邻域内又有 f ? 矛盾 ?? ? 2n ? 1 ? 2n
?5 分

? 在 z ? 0 解析的函数 f ?z ? 不存在

?7 分


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