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天津市和平区2015届高三二模考试数学试卷(理科)


天津市和平区 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 A.﹣2 =b(1+i) (其中 i 为虚数单位,a,b∈R) ,则 a 等于( B.2 C.﹣1 D. )

2.设非负实数 x,y 满足约束条件 A.4 B.8 C.9

则 z=2x+3y 的最大值为( D.12 )

)

3.阅读如图的程序框图,当该程序运行后输出的 x 值是(

A.2

B.﹣5

C.﹣

D.5

4.过双曲线



=1(a>0,b>0)上一点 P 做直线 PA,PB 交双曲线于 A,B 两点,且 )

斜率分别为 k1,k2,若直线 AB 过原点,k1?k2=2,则双曲线的离心率 e 等于( A. B.3 C. D.

5.如图,在△ ABC 中,



,若

,则 λ+μ 的值为

( A.

) B. C. D.

6.函数 f(x)=2

﹣|x﹣1|

﹣m 的图象与 x 轴有交点的充要条件为(

)

A.m∈(0,1) B.m∈(0,1] C.m∈ D.m∈ (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相切于 P 点,且与直线 x=﹣4 相交于 Q 点,求证:直线 PF1 垂直于直线 QF1.

20.已知函数 f(x)=ax ﹣(2a+1)x+lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=2ax ﹣2(a+1)x 恰有两个不等的实根,求实数 a 的取值范围; x (3)设 g(x)=e ﹣x﹣1,若对任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立, 求实数 a 的取值范围.
2

2

天津市和平区 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 A.﹣2 =b(1+i) (其中 i 为虚数单位,a,b∈R) ,则 a 等于( B.2 C.﹣1 D. )

考点:复数相等的充要条件. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数相等的条件进行化简即可. 解答: 解:由 即 a﹣ + i=2bi. 则 a﹣ =0 且 =2b, 解得 a= ,b= , 故选:D. 点评:本题主要考查复数的计算,根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键. =b(1+i)得 a+i﹣ (1+i)=b(1+i) (1+i)=2bi.

2.设非负实数 x,y 满足约束条件 A.4 B.8 C.9

则 z=2x+3y 的最大值为( D.12

)

考点:简单线性规划的应用. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:令 2x+3y=m(x+y)+n(2x+y) ,则 出 z=2x+3y 的最大值. 解答: 解:令 2x+3y=m(x+y)+n(2x+y) ,则 ,∴m=4,n=﹣1, ∴2x+3y=4(x+y)﹣(2x+y)≤12﹣4=8, ∴z=2x+3y 的最大值为 8, 故选:B. 点评: 本题考查目标函数的最大值, 考查学生的计算能力, 正确运用待定系数法是解题的关键. 3.阅读如图的程序框图,当该程序运行后输出的 x 值是( ) ,可得 m=4,n=﹣1,结合条件,即可求

A.2

B.﹣5

C.﹣

D.5

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,i 的值,当 i=11 时,满足条件 i>10, 退出循环,输出 x 的值为﹣5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=2,i=1 不满足条件 i>10,x=﹣5,i=2 不满足条件 i>10,x=﹣ ,i=3 不满足条件 i>10,x=2,i=4 不满足条件 i>10,x=﹣5,i=5 … 观察规律可知 x 的取值以 3 为周期,故 不满足条件 i>10,x=﹣ ,i=9

不满足条件 i>10,x=2,i=10 不满足条件 i>10,x=﹣5,i=11 满足条件 i>10,退出循环,输出 x 的值为﹣5. 故选:B. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 x,i 的值是解题 的关键,属于基本知识是考查.

4.过双曲线



=1(a>0,b>0)上一点 P 做直线 PA,PB 交双曲线于 A,B 两点,且 )

斜率分别为 k1,k2,若直线 AB 过原点,k1?k2=2,则双曲线的离心率 e 等于( A. B.3 C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由于 A,B 连线经过坐标原点,所以 A,B 一定关于原点对称,利用直线 PA,PB 的斜 率乘积,可寻求几何量之间的关系,从而可求离心率. 解答: 解:根据双曲线的对称性可知 A,B 关于原点对称, 设 A(x1,y1) ,B(﹣x1,﹣y1) ,P(x,y) , 则 , ,

∴k1?k2=

=

=2,

∴该双曲线的离心率 e= = . 故选:A. 点评:本题主要考查双曲线的几何性质,考查点差法,关键是设点代入化简,应注意双曲线几 何量之间的关系. 5.如图,在△ ABC 中,



,若

,则 λ+μ 的值为

( A.

) B. C. D.

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.

解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴λ= ,μ= , 则 λ+μ= + = , = = = = + + ﹣ ﹣ = , ,

=

+







= ,

+ (



)=

+



故选:A 点评: 本题主要考查平面向量基本定理的应用, 根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本 题的关键. 6.函数 f(x)=2 ﹣m 的图象与 x 轴有交点的充要条件为( A.m∈(0,1) B.m∈(0,1] C.m∈ D.m∈, ∴m∈(0,1],
﹣|x﹣1| ﹣|x﹣1|

)

故函数 f(x)=2 ﹣m 的图象与 x 轴有交点的充要条件为 m∈(0,1], 故选:B. 点评:本题主要考查指数函数的图象和性质,以及充分条件和必要条件的应用,利用参数分离 法是解决本题的关键. 7.如图,已知圆 O 半径是 3,PAB 和 PCD 是圆 O 的两条割线,且 PAB 过 O 点,若 PB=10, PD=8,给出下列四个结论: ①CD=3; ②BC=5; ③BD=2AC; ④∠CBD=30°. 则所有正确结论的序号是( )

A.①③

B.①④

C.①②③

D.①③④

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑;推理和证明.

分析:①由 PB=10,AB=6,可得 PA=4.由割线定理可得:PA?PB=PC?PD,解得 PC,即可 得出 CD. ②连接 OC,在△ OCP 中,由余弦定理可得:cosP= 定理可得:BC = ③由△ PCA∽△PBD,可得
2

=

,在△ BCP 中,由余弦

,解出 BC. ,即可判断出正误.

④连接 OD,则△ OCD 为正三角形,可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误. 解答: 解:①∵PB=10,AB=6,∴PA=4. 由割线定理可得:PA?PB=PC?PD, ∴4×10=8PC,解得 PC=5, ∴CD=PD﹣PC=3,正确. ②连接 OC,在△ OCP 中,由余弦定理可得: cosP= = ,

在△ BCP 中,由余弦定理可得: BC = 解得 BC= =
2

=



,因此②不正确.

③∵△PCA∽△PBD, ∴ = ,∴BD=2CA,正确.

④连接 OD,则△ OCD 为正三角形, ∴∠COD=2∠CBD=60°,∴∠CBD=30°,正确. 综上可得:只有①③④正确. 故选:D.

点评:本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 8.关于 x 的方程(x ﹣1) ﹣3|x ﹣1|+2=0 的不相同实根的个数是( A.3 B.4 C.5 D.8 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 2 分析:通过换元法求解 x ﹣1 的根,然后求解方程的解的个数.
2 2 2

)

解答: 解:令 t=|x ﹣1|,方程(x ﹣1) ﹣3|x ﹣1|+2=0 化为:t ﹣3t+2=0, 解得 t=1 或 t=2, 即|x ﹣1|=1,或|x ﹣1|=2, 2 2 由|x ﹣1|=1,解得 x= ,x=0,由|x ﹣1|=2 解得 x= . 2 2 2 关于 x 的方程(x ﹣1) ﹣3|x ﹣1|+2=0 的不相同实根的个数是:5. 故选:C. 点评:本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法,考查计算能力. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. 9.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积为 cm .
3 2 2

2

2

2

2

2

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:首先根据三视图把几何体复原成立体图形,进一步根据立体图形的体积公式求出结果. 解答: 解:根据三视图得知:该几何体的表面积是:上面是一个以 1 为半径的球体,下面 是一个以 2 为半径,高为 2 的圆柱的组合体. 所以:V= 故答案为: 点评:本题考查的知识要点:三视图和立体图之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考 查学生的空间想象能力.
2

10.抛物线 y=x 与直线 2x+y﹣3=0 所围成图形的面积等于



考点:定积分. 专题:导数的综合应用. 分析:解方程组可得图象的交点,由题意可得积 S= dx,计算可得.

解答: 解:联立

可解得





∴所求面积 S= = ﹣(﹣9)= 故答案为:

dx=(﹣x +3x﹣ x )

2

3

点评:本题考查定积分求面积,属基础题.
2

11.若函数 f(x)=loga(ax ﹣x)在

上单调递增,则实数 a 的取值范围是(2,+∞) .

考点:对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得. 2 解答: 解: (1)当 a>1 时,令 t=ax ﹣x, 则由题意可得函数 t 在区间 上单调递增,且 t>0,

故有

,解得 a>2,

综合可得 a>2; (2)当 0<a<1 时,则由题意可得函数 t 在区间 上单调递减,且 t>0,

故有

,解得 a∈?,故此时满足条件的 a 不存在.

综合(1) (2)可得 a>2 故答案为: (2,+∞) 点评:本题考查对数函数的单调性,涉及分类讨论思想和二次函数的性质,属中档题. 12.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b+c=12,C=120°,sinB= 则 cosA+cosB 的值为 .



考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由条件求得 cosB 的值,再根据 cosA=﹣cos(B+C)=﹣cos(120°+B)利用两角和的余 弦公式求得 cosA,从而求得 cosA+cosB 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,∵C=120°,sinB= ,∴cosB= = + , = ,

cosA=﹣cos(B+C)=﹣cos(120°+B)=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=

故 cosA+cosB= 故答案为: .

+

=



点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用,属于基 础题.

13.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2

,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴

的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,则圆心 C 到直

线 l 距离为



考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程,进一步转换成标准形式,再把直线的参数 方程转换为直角坐标方程,最后利用点到直线的距离公式求出结果. 解答: 解:圆 C 的方程为 ρ=2
2 2

,转化为:ρ=2sinθ+2cosθ,

进一步转化为直角坐标方程为:x +y =2x+2y, 2 2 转化为标准形式为: (x﹣1) +(y﹣1) =2 所以:该曲线是以(1,1)为圆心, 为半径的圆. 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,转化为直角坐标方程为:2x﹣y+1=0.

所以:圆心到直线的距离为:d= 故答案为:



点评:本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与直角坐标方程的 互化,点到直线间的距离公式的应用.主要考查学生的应用能力. 14.已知 Sn=3+7+13+…+(2 +2n﹣1) ,S10=a?b?c,其中 a,b,c∈N ,则 a+b+c 的最小值为 68. 考点:基本不等式;数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 10 10 分析:由题意得 S10=(2+1)+(4+3)+(8+5)+…+(2 +19)=2+4+8+…+2 +(1+3+5+…+19) 11 =2 ﹣2+100=2146;再求 2146 的质因子,从而解得. 解答: 解:由题意, 10 S10=(2+1)+(4+3)+(8+5)+…+(2 +19) 10 =2+4+8+…+2 +(1+3+5+…+19)
n *

=2 ﹣2+100=2146; 又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37; ∴a+b+c 的最小值为 2+29+37=68; 故答案为:68. 点评:本题考查了等差数列与等比数列前 n 项和的求法,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 . (Ⅰ)求 a,b 的值及 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值. x+b,x∈R,且

11

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先利用函数 f(0)=f( )=1,建立方程组求出 a 和 b 的值,进一步听过三角

函数的恒等变换求出函数的正弦形式,进一步求出函数的最小正周期. (Ⅱ)直接利用函数的关系式,利用函数的定义域求出函数的值域,最后求出函数的最值. 解答: 解: (Ⅰ) 由于:f(0)=f( )=1, x+b

所以:



解得: 所以: =sin2x+cos2x = , , , . 2cos x﹣1
2

所以:函数的最小正周期:T= (Ⅱ)由于:函数 f(x)= 当 所以: 时,

即:函数的最大值为 ,函数的最小值为﹣1. 点评:本题考查的知识要点:利用待定系数法求函数的解析式,三角函数的恒等变换,正弦型 函数的周期的确定,利用函数的定义域求函数的值域,主要考查学生的应用能力. 16.盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4 种不同花色的扑克牌各 3 张,从中一次任取 3 张 牌,每张牌被取出的可能性都相等. (Ⅰ)求取出的 3 张牌中的花色互不相同的概率; (Ⅱ)用 X 表示取出的 3 张牌中花色是“黑桃”的张数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (I)设“取出的 3 张牌中的花色互不相同”为事件 A.从 12 张扑克牌任取 3 张共有 方法, 从 4 种不同花色中任取 3 种花色并且每一种花色个取一张可有 典概率计算公式即可得出; (II)由题意可得:X=0,1,2,3.P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , 种

种方法, 录用古

P(X=3)=

,得出分布列,再利用数学期望计算公式即可得出.

解答: 解: (I)设“取出的 3 张牌中的花色互不相同”为事件 A. 从 12 张扑克牌任取 3 张共有 取一张可有 种方法, 种方法,从 4 种不同花色中任取 3 种花色并且每一种花色个

∴P(A)=

=



(II)由题意可得:X=0,1,2,3. P (X=0) = = , P (X=1) = = , P (X=2) = = , P (X=3) = = .

随机变量 X 的分布列为: X 0 P(X) 数学期望 E(X)= 1+×

1

2

3

+2×

+3×

=



点评:本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 17.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=2BB1,∠ABC=90°,D 为 BC 的中点.

(Ⅰ)求证:A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求二面角 C﹣AD﹣C1 的余弦值; (Ⅲ)若 E 为 A1B1 的中点,求 AE 与 DC1 所成的角.

考点:异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析:可设 AB=BC=2BB1=2,以 B 为坐标原点,BA 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴, BB1 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系. (Ⅰ)求得则有 的法向量为 即可得证; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得平面 ADC1 的法向量和平面 ACD 的法向量,运用向量的数量积的坐标表 示,求得它们夹角的余弦,即可得到所求; (Ⅲ)求得向量 角. 解答: (Ⅰ)证明:可设 AB=BC=2BB1=2,以 B 为坐标原点,BA 所在直线为 x 轴,BC 所 在直线为 y 轴,BB1 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系, A1(2,0,1) ,B(0,0,0) ,A(2,0,0) , D(0,1,0) ,C1(0,2,1) , 则有 =(﹣2,0,﹣1) , =(﹣2,2,1) , 设平面 ADC1 的法向量为 由 , =(x1,y1,z1) , =(﹣2,1,0) , , 的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,求得余弦,即可得到所求 =(﹣2,0,﹣1) , =(﹣2,1,0) , =(﹣2,2,1) ,设平面 ADC1 垂直,

=(x1,y1,z1) ,运用向量垂直的条件,可得法向量,再由法向量和

,可得﹣2x1+y1=0,且﹣2x1+2y1+z1=0, =(1,2,﹣2) ,

可取 x1=1,y1=2,z1=﹣2.即有 由于 即有 =﹣2+0+2=0, ,

则 A1B∥平面 ADC1;

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得

=(﹣2,1,0) ,

=(﹣2,2,1) , =(0,0,1) ,

=(0,﹣1,0) ,

由 C1C⊥平面 ABC,即有平面 ABC 的法向量为 由(Ⅰ)可得平面 ADC1 的法向量为

=(1,2,﹣2) ,

由 cos<



>=

=

=﹣ .

故二面角 C﹣AD﹣C1 的余弦值为 ; (Ⅲ)解:E 为 A1B1 的中点, 则 E(1,0,1) , =(﹣1,0,1) , =(0,1,1) ,

cos<



>=

=

= ,

由 0≤<



>≤π,可得< .



>=



则 AE 与 DC1 所成的角为

点评: 本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法, 考查向量的运 用,考查运算能力,属于中档题. 18.已知数列{an}满足:a1=6,an﹣1?an﹣6an﹣1+9=0,n∈N 且 n≥2. (1)求证:数列{ }为等差数列;
*

(2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和;等差关系的确定;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)把已知的数列递推式变形,得到

,然后直接利用

=

证得数列{

}是公差为 的等差数列;

(2)由(1)中的等差数列求出通项公式,即可得到数列{an}的通项公式; (3)把{an}的通项公式代入 bn= ,整理后利用裂项相消法求得答案.

解答: (1)证明:由 an﹣1?an﹣6an﹣1+9=0,得 ∴ ,





=

=



∴数列{

}是公差为 的等差数列;

(2)解:由(1)知,

=







(3)解:bn=

=





=



点评:本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和,是中 档题.

19.如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率 e= .过 F2

的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,且△ ABF1 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相切于 P 点,且与直线 x=﹣4 相交于 Q 点,求证:直线 PF1 垂直于直线 QF1.

考点:椭圆的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)运用椭圆的定义,可得 a=2,再由离心率公式,可得 c,由 a,b,c 的关系,可得 b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+m 代入椭圆方程,运用直线和椭圆相切的条件:判别式为 0,可得切点 P 的坐标,再令 x=﹣4,可得 Q 的坐标,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得证. 解答: (Ⅰ)解:∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8, 即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8, 而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, ∴4a=8,即 a=2. ∵ , .

∴c=1,则

∴椭圆 C 的方程为



(Ⅱ)证明:由

得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0.

2

2

2

如图,设 P 点的坐标为(x0,y0) ,依题意 m≠0 且△ =0, 2 2 2 2 即△ =64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0, 2 2 整理得 4k +3=m . 此时 , ,

∴P 点的坐标为





解得 y=﹣4k+m.

∴Q 点的坐标为(﹣4,﹣4k+m) .

由 F1(﹣1,0) ,求得



, ∴ .

∴直线 PF1 垂直于直线 QF1.

点评:本题考查椭圆的定义和方程,性质,主要考查定义和离心率公式及方程的运用,注意联 立直线方程,运用直线和椭圆相切的条件:判别式为 0,同时考查两直线垂直的条件,属于中 档题. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣(2a+1)x+lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=2ax ﹣2(a+1)x 恰有两个不等的实根,求实数 a 的取值范围; x (3)设 g(x)=e ﹣x﹣1,若对任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立, 求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中 的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)当 a=1 时,函数 f(x)=x ﹣3x+lnx,求出 f(x)的导数,令 f'(x)=0,列出表格 即可得出函数的单调性,极值; 2 (2)问题转化为求函数 y=ax ﹣x 与 y=lnx 的解得个数问题,通过讨论 a 的范围即可求出; (3)对于任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立,则有 f(x)max≤g(x) min.利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可. 解答: 解: (1)当 a=1 时,函数 f(x)=x ﹣3x+lnx,f′(x)= 令 f′(x)=0 得:x1= ,x2=1, 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0, ) + 单调递增 0 极大 ( ,1) ﹣ 单调递减 1 0 极小 (1,+∞) + 单调递增
2 2 2 2



∴f(x)在(0, )单调递增,在( ,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, 当 x= 时:f(x)有极大值,且 f(x)极大值=f( )=﹣ ﹣ln2; 当 x=1 时:f(x)有极小值,且 f(x)极小值=﹣2;

(2)∵f(x)=2ax ﹣2(a+1)x, 2 2 ∴ax ﹣(2a+1)x+lnx=2ax ﹣2(a+1)x, 2 ∴ax ﹣x=lnx,x∈(0,+∞) , 2 显然 a≤0 时,y=ax ﹣x 与 y=lnx 只有 1 个交点,不合题意, 当 a=1 时,函数 y=x ﹣x=
2 2

2

﹣ ,x= 时:ymin=﹣ ,而 y=ln <ln



∴0<a<≤1 时,y=ax ﹣x 与 y=lnx 只有 1 个交点,不合题意, 2 a>1 时,画出函数 y=ax ﹣x 与 y=lnx 的图象, 如图示:

, 图象有 2 个交点, 综上:a>1; x x (3)由 g(x)=e ﹣x﹣1,则 g′(x)=e ﹣1, 令 g′(x)>0,解得 x>0;令 g′(x)<0,解得 x<0. ∴g(x)在(﹣∞,0)是减函数,在(0,+∞)是增函数, 即 g(x)最小值=g(0)=0. 对于任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立,则有 f(x1)≤g(0)即可. 即不等式 f(x)≤0 对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立, f′(x)= (1)当 a=0 时,f′(x)= ,

,令 f′(x)>0,解得 0<x<1;令 f′(x)<0,解得 x>1.

∴f(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数, ∴f(x)最大值=f(1)=﹣1<0, ∴a=0 符合题意. (2)当 a<0 时,f′(x)= ,

令 f'(x)>0,解得 0<x<1;令 f′(x)<0,解得 x>1. ∴f(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数, ∴f(x)最大值=f(1)=﹣a﹣1≤0, 得﹣1≤a<0, ∴﹣1≤a<0 符合题意.

(3)当 a>0 时,f′(x)= a> 时,0<x1<1,令 f′(x)>0,解得:0<x< 令 f′(x)<0,解得: <x<1,

,f′(x)=0 得:x1= 或 x>1;

,x2=1,

∴f(x)在(1,+∞)是增函数, 而当 x→+∞时,f(x)→+∞,这与对于任意的 x∈(0,+∞)时 f(x)≤0 矛盾. 同理 0<a≤ 时也不成立. 综上所述:a 的取值范围为. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值, 考查了恒成立问题的等价转化方法, 考查了分类讨论的思想方法,考察了推理能力和计算能力,属于难题.


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