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宁夏银川市第一中学2013届高三第四次月考数学理试题


宁夏银川市第一中学 2013 届高三第四次月考数学理试题
2012.11

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
? 1. cos 300 的值是(

) B. ?
1 2

A.

/>
1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.已知集合 A A. ? 3

? { x | ? 2 ? x ? 7 }, B ? { x | m ? 1 ? x ? 2 m ? 1 } 且 B ? ?

,若 A ? D. 2 ?

B ? A

则(

)

? m ? 4

B. ? 3
3 5

? m ? 4

C. 2
?
4 ) 等于(

? m ? 4

m ? 4

3.已知 ? ? (
1 7

?
2

, ? ), sin ? ?

, 则 ta n (? ?
1 7

)

A.

B. 7

C. ?

D. ? 7 ) D.140 )

4. 已知等差数列 ? a n ? 中 , a 2 ? 7, a 4 ? 15, 则 前 10 项 和 S 10= ( A.420 5. 已知 a>0,b>0,则
1 a ? 1 b

B.380

C.210

? 2 ab 的最小值为(
5 2

A.2

B. 2 2

C. 4

D.

6. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)= ( A.
3 3

1 3

) ,

x

那么

f(

1 2

)

的值是(

)

B.-

3 3

C.

3

D.- )

3

7. 设 a ? 0 , b ? 0 ,则以下不等式中不恒成立的是( A. ( a ? b )(
1 a ? 1 b
2

)? 4
?b
3

2 2 B. a ? b ? 2 ? 2 a ? 2 b

3 2 C. a ? a b ? ab

D.

a?b ?

a ?

b

8. 凸多边形各内角依次成等差数列, 其中最小角为 120°, 公差为 5°, 则边数 n 等于 ( A. 16 B. 9
2



C.16 或 9

D.12

9.已知函数 f ( x ) ? 2 cos 大值为 6,则 a 等于(

x?

? ? ? 3 sin 2 x ? a (a 为常数)的定义域为 ? 0 , ? , f ( x ) 的最 2? ?


第 1 页 共 19 页

A.3 10.

B.4

C.5
? ? ,若向量 a ∥ b

D.6 ) D. 2 )

? ? 已知向量 a ? ( 1 , 2 ), b ? ( x , 4 )

,则 x=(

A.

?

1 2

B.

1 2
2

D. -2

11. 不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1 |? a ? 3 a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ( A. ( ?? , ? 1] ? [ 4 , ?? ) C. [1, 2 ] B. ( ?? , ? 2 ] ? [ 5 , ?? ) D. ( ?? ,1] ? [ 2 , ?? )

o 12. 已知 | OA |? 1, | OB |? 1, OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ? A O C ? 3 0 的边 AC 上,

设 OC ? m OA ? n OB ( m , n ? R ) ,则
1 3

?

m n

等于(

)

A.

B. 3

C.

3 3

D.

3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且满足 a ? b ? 3 ,则 14 已知
a ? 2

1 a

?

4 b

的最小值为
b? a



,b

?

2

, a 与 b 的夹角为 45 ? ,要使 ?

与 a 垂直,则 ? =

15. 已知函数 f ? x ? ? ?
m 的取值范围是

? lo g 2 ? x ? 1 ? , x ? 0 ? ? x ? 2 x, x ? 0
2

,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有三个零点,则实数



16.

已知函数 f ( x ) 的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数, 函数 y= f ' ( x ) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f ( 2 a ? b ) ? 1 ,则 范围是 .
b?3 a ?3

的取值

三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 ) 17. (本小题满分 12 分) A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若

第 2 页 共 19 页

m ? ( ? cos

A 2

, sin

A 2

) , n ? (cos

A 2

, sin

A 2

?? ? 1 ) ,且 m 〃 n =

2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=2 3,三角形面积 S= 3,求 b+c 的值 18.(本小题满分 12 分) 已知函数:
f ( x ) ? x ? ax
3 2

? bx ? c , 过曲线 y ? f ( x ) 上的点 P (1, f (1)) 的切线方程为

y ? 3x ? 1

(1)若 y ? f ( x ) 在 x ? ? 2 时有极值 , 求 f ( x ) 的表达式; (2)若函数 y ? f ( x ) 在区间 [ ? 2 ,1] 上单调递增,求 b 的取值范围 19. (本小题满分 12 分)
2 数列 { a n } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2 a n S n ? a n ? 1 .

2 (Ⅰ)求证数列 { S n } 为等差数列,并求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)设 b n ?

2 4S
4 n

?1

, 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n ,并求使 T n ?

1 6

(m

2

? 3m )

对所

有的 n ? N ? 都成立的最大正整数 m 的值. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N * ). (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)证明:
n 2 ? 1 3 ? a1 a2 ? a2 a3 ? ... ? an a n ?1 ? n 2 ( n ? N ).
*

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? ln x .
2

(I)求证:在区间 [1, ? ? ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) ? (II)求证: [ f ? ( x )] ? f ?( x ) ≥ 2 ? 2 ( n ? N ).
n n n
*

2 3

x 图象的下方;

3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

第 3 页 共 19 页

22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1: 几何证明选讲》 在 ? ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆 交于点 P,交 BC 延长线于点 D。 (1)求证:
PC AC ? PD BD



(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 : x 2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
l : ? (2 cos? ? sin ? ) ? 6 .

(1)将曲线 C 1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C 2 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (2)在曲线 C 2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 | 2 a ? b | ? | 2 a ? b | 的最小值。
|a|

(2)若不等式 | 2 a ? b | ? | 2 a ? b |? | a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

第 4 页 共 19 页

银川一中 2013 届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案
1--12 ADACC DCBAD AD
( 3 7 , ) 13、3 14、 2 15、(0,1) 16、 5 3 ?? ? 1 A A A A , sin ) , n ? (cos , sin ) ,且 m 〃 n = , 17:解析:(1)∵ m ? ( ? cos 2 2 2 2 2

1 1 2A 2A ∴-cos +sin = , 即-cosA= ,又 A∈(0,?), 2 2 2 2 2 ∴A= ?? 3 1 1 2 (2)S△ABC= bc〃sinA= b〃c〃sin ?= 3,∴bc=4, 2 2 3 2 2 2 2 2 又由余弦定理得:a =b +c -2bc〃cos120°=b +c +bc , 2 ∴16=(b+c) ,故 b+c=4 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)
由 f ( x ) ? x ? ax
3 2 2 ? bx ? c 求导数得 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b

过 y ? f ( x ) 上点 P (1, f (1)) 的切线方程为

:

y ? f (1) ? f ? (1)( x ? 1) 即 y ? ( a ? b ? c ? 1) ? ( 3 ? 2 a ? b )( x ? 1) 而过 y ? f ( x ) 上 P (1, f (1)) 的切线方程为 ?3 ? 2 a ? b ? 3 故? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ? ? 4 a ? b ? ? 12 ? ? ( 3 ) 由 (1)( 2 )( 3 ) 相联立解得
3 2

:

? 2 a ? b ? 0 ? ? (1) 即? ?a ? b ? c ? 3? ? (2)

? y ? f ( x ) 在 x ? ? 2 时有极值 , 故 f ? ( ? 2 ) ? 0

a ? 2, b ? ?4, c ? 5

f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5? ? (4 分 )
2 2 (2) f ?( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ? 3 x ? 4 x ? 4 ? ( 3 x ? 2 )( x ? 2 )

x
f ?( x ) f (x)

[ ? 3, ? 2 )

-2 0 极大

(?2,

2 3

)

2 3

(

2 3

,1 ]

+ ↗
3 2

- ↘

0 极小

+ ↗

f ( x ) 极大 ? f ( ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? 2 ( ? 2 ) ? 4 ( ? 2 ) ? 5 ? 13
f (1) ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 4
3

? f ( x ) 在 [ ? 3 ,1] 上最大值为 13……………………………………………………(8 分)

(3) y ? f ( x ) 在区间 [ ? 2 ,1] 上单调递增
2 又 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ,由 (1) 知 2 a ? b ? 0
2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? bx ? b

2 依题意 f ? ( x ) 在 [ ? 2 ,1]上恒有 f ? ( x ) ? 0 , 即 3 x ? bx ? b ? 0 在 [ ? 2 ,1] 上恒成立

①在 x ? ②在 x ?

b 6 b

? 1时 , f ? ( x ) 小 ? f ? (1) ? 3 ? b ? b ? 0

?b ? 6

6

? ? 2时 , f ? ( x ) 小 ? f ? ( ? 2 ) ? 12 ? 2 b ? b ? 0 ? b ?

第 5 页 共 19 页

③在 ? 2 ?

b 6

? 1时 , f ? ( x ) 小 ?

12 b ? b 12

2

? 0

则 0 ? b ? 6.

综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0………………………………12 分
2 19.解: (Ⅰ)∵ 2 a n S n ? a n ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2 ( S n ? S n ? 1 ) S n ? ( S n ? S n ? 1 ) 2 ? 1 , 2 2 整理得, S n ? S n ? 1 ? 1 (n≥2)(2 分)又 S 12 ? 1 , ,

(3 分) (4 分) (5 分)

∴数列

2 {Sn

}

为首项和公差都是 1 的等差数列.
n
n ? n?1

2 ∴ S n ? n ,又 S n ? 0 ,∴ S n ?

∴n≥2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ∴数列 { a n } 的通项公式为 a n ? (Ⅱ)∵ b n ? ∴ Tn ?
?1? 1 3

,又 a 1 ? S 1 ? 1 适合此式 (7 分
1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1

n ?

n?1

2
4 4Sn

?1
1

?

2 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )
??? 1

?

(8 分)

1 1? 3

?

3?5

( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )

?
2 3

1 3

?

1 5

???

1 2n ? 1
2 3 ? 1 6

?

1 2n ? 1
2

=1 ?

1 2n ? 1

?

2n 2n ? 1

(10 分)

∴Tn ?

,依题意有

(m

? 3m )

,解得 ? 1 ? m ? 4 ,

故所求最大正整数 m 的值为 3 (12 分) 20 解:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解 题能力 满分 12 分 (I)解:? a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N * ),
? a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1),

? ? a n ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
? an ? 1 ? 2 .
n



a n ? 2 ? 1( n ? N )
n *

(II)证明:?

ak a k ?1

?

2 ?1
k

2
n 2

k ?1

?1

?

2 ?1
k

2(2 ?
k

1 2

? )

1 2

, k ? 1, 2, ..., n ,

?

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

.

?
? ?

ak a k ?1
a1 a2 n 2 ? ?

?
a2 a3 1 3 ?

2 ?1
k

2

k ?1

?1

?
an

1 2

? 2(2
? n 2 ?

1
k ?1

? 1)

?

1 2

?

1 3 .2 ? 2 ? 2
k k

?

1 2

?

1

.

1
k

, k ? 1, 2, ..., n ,

3 2

? ... ? a1 a2 ?

a n ?1 a2 a3

1 1 1 1 n 1 1 n 1 ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , 3 2 2 2 2 3 2 2 3 ? n 2 ( n ? N ).
*

? ... ?

an a n ?1

21、解答(I)设 F ( x ) ?

x ? ln x ? x 2 3 ∵ x ? 1 时,∴ F ? ( x ) ? 0 ,故 F ( x ) 在 [1, ? ? ) 上是减函数.
2 3

1

2

x ,则 F ? ( x ) ? x ?

1

? 2x ?
2

(1 ? x )(1 ? x ? 2 x )
2



x
2 3

又 F (1) ? ?

1 6

? 0 ,故在 [1, ? ? ) 上, F ( x ) ? 0 ,即

1 2

x ? ln x ?
2

x ,

3

第 6 页 共 19 页

∴函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) ?
n n

2 3

x 的图象的下方.
n

3

---------6 分

1? 1 ? ? ? n (II)∵x>0,∴ [ f ? ( x )] ? f ? ( x ) ? ? x ? ? ? ? x ? n ? . x? x ? ? ?

当 n ? 1 时,不等式显然成立;
1 当 n ≥ 2 时,有 [ f ? ( x )] n ? f ? ( x n ) ? C n x n ? 1 ?

1 x

? Cn x
2

n?2

?

1 x
2

? ? ? Cn x ?

n ?1

1 x
n ?1

? Cn x
1

n?2

? Cn x
2 n?2

n?4

? ? ? Cn
2

n ?1

1 x
n?2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10分 1 ) ? ? ? Cn (
n ?1

?

1



2 1

[C n ( x

1

? x
2 n

1
n?2

) ? Cn (x

n?4

? x
n

1 x
n?2

n?4

? x

n?2

)]

2

?2C

1 n

? 2C
n

? ? ? 2C
n n

n -1 n

?? 2

?2

∴ [ f ? ( x )] ? f ?( x ) ≥ 2 ? 2 ( n ? N )
*

--------------------12 分
? ? DPC ~ ? DBA ,?
PC AB ? PD BD

22.解: (1)? ? CPD ? ? ABC , ? D ? ? D , 又? AB ? AC ,?
PC AC ? PD BD

(5 分)
AP AC ? AC AD

(2)? ? ACD ? ? APC , ? CAP ? ? CAP , ? ? APC ~ ? ACD ?
? AC
2



? AP ? AD ? 9

(10 分)

23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,………………2 分 ∵曲线 C 2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C 2 的参数方程为: ?
?x ? ?

x 3

) ?(
2

y 2

) ?1,
2

3 co s ?

? y ? 2 sin ? ?

(? 为 参 数 ) .………………5 分

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 co s ? , 2 sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
d ? | 2 3 co s ? ? 2 sin ? ? 6 | 5 ? | 4 sin (36 ? ? ) ? 6 | 0 0

,………………7 分
|4?6| 5 ? 2 5 .…………10 分

5
3 2 ,1 ) ,此时 d m ax

∴当 sin(60 -θ)=-1 时,点 P(-

0

?

24.解: I) | 2 a ? b | ? | 2 a ? b |? | 2 a ? b ? 2 a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, ( ? 当且仅当 ( 2 a ? b )( 2 a ? b ) ? 0 时取等号,
? | 2 a ? b | ? | 2 a ? b | 的最小值等于 |a|

4。 恒成立, 的最小值

…………5 分

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | |a|

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2 a ? b | ?

| 2a ? b |

…………7 分

|a|

由(I)可知 | 2 a ? b | ? | 2 a ? b | 的最小值等于 4。
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解。 解不等式得 ? 2 ? x ? 2 .
第 7 页 共 19 页

…………10 分

银川一中 2013 届高三第四次月考

数学(理科)(A)卡
姓名: 学校: 班级:
准 考 证 号 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

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注 意 事 项

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核准条形 码上的准考证号、姓名及科目,在规定位置贴好条形码。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米及以上( 但 不要太粗 ) 黑字字迹的签字笔书写,要求字体工整,笔迹清楚。 3.请严格按照题号在相应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案 无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不装订、不要折叠、不要破损。

正确填涂

错误填涂

缺考

违纪

1 2 3 4 5

????? ????? ????? ????? ?????

6 7 8 9 10

????? ????? ????? ????? ?????

11 ????? 12 ????? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13._______________ 14. _________________

15. _______________ 16. _________________

三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)

第 8 页 共 19 页

18.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分)

第 9 页 共 19 页

20.(本小题满分 12 分)

第 10 页 共 19 页

21.(本小题满分 12 分)

第 11 页 共 19 页

选考题:(10 分)

22

23

24

请从 22、23、24 题中任选一道作答。并用 2B 铅笔在答题卡 上把所选对应题目的标号涂黑。注意,所选做题目的标号必须与 所涂题目的标号相同。 A
P

B

C

D

第 12 页 共 19 页

姓名:









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学校: 班级:
注 意 事 项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核准条形 码上的准考证号、姓名及科目,在规定位置贴好条形码。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米及以上( 但 不要太粗 ) 黑字字迹的签字笔书写,要求字体工整,笔迹清楚。 3.请严格按照题号在相应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案 无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不装订、不要折叠、不要破损。

银川一中 2013 届 高三第四次月考

数学(文科)(A) 卡
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
11 ????? 12 ????? ?

正确填涂

错误填涂

缺考

违纪

1 2 3 4 5

????? ????? ????? ????? ?????

6 7 8 9 10

????? ????? ????? ????? ?????

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13._______________ 14. _________________

15. _______________ 16. _________________

三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)

第 14 页 共 19 页

18.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分)

第 15 页 共 19 页

20.(本小题满分 12 分)

第 16 页 共 19 页

21.(本小题满分 12 分)

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选考题:(10 分)

22

23

24

请从 22、23、24 题中任选一道作答。并用 2B 铅笔在答题卡 上把所选对应题目的标号涂黑。注意,所选做题目的标号必须与 所涂题目的标号相同。 A
P

B

C

D

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