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天津市滨海新区汉沽五中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年天津市滨海新区汉沽五中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 10 道小题,每题 4 分,共 40 分. ) 1. (4 分)设集合 A={2,3},B={2,3,4},C={2,4,5}则(A∩B)∪C=() A.{2,3,4} B.{2,3,5} C.{3,4,5} D.{2,3,4,5} 2. (4 分)函数 A.(0,2) B.(﹣1

,2] 的定义域为() C.(﹣1,2) D.[0,2]

3. (4 分)sin390°等于 () A. B. ﹣ C. 0 D.1

4. (4 分)当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a

﹣x

与 y=logax 的图象()

A.

B.

C.
0.6
﹣0.7

D.

5. (4 分)已知 a=0.6 ,b=0.6 ,c=log60.7 则 a,b,c 三者的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 6. (4 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

7. (4 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x) 的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x﹣1 8. (4 分)f(x)=x ﹣6x+10,x∈[0,4],此函数的最小值和最大值分别为()
2

A.无最大值也无最小值 C. 有最小值 1,无最大值 9. (4 分)下列表示同一个函数的是() A.f(x)= ,g(x)=x﹣1
x

B. 2,10 D.1,10

B. f(x)=

,g(x)=(



2

C. f(x)=x,g(x)=log22

D.y=2log2x,y=log2x

10. (4 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0.则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是() A.( , ) B. [ , ) C. ( , ) D.[ , )

二、选择题(本题共 8 道小题,每题 4 分,共 32 分. ) 11. (4 分)log62+log63.
α

12. (4 分)已知幂函数 y=x 的图象过点

,则 f(4)=.

13. (4 分)已知(3,﹣4)是角 A 的终边上一点,则 5sinA+5cosA+3tanA=.

14. (4 分)已知 tanα=2,则

的值为.

15. (4 分)若 0<m<n,则有下面结论: (1)2 <2 ; (2) ( ) <( ) ; (3)log 其中正确的结论的序号是.
m n m n

m>log

n; (4)log2m>log2n.

16. (4 分)函数 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值是.

17. (4 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 为减函数,f(1+a)<﹣f(a) ,则 a 的取值范围 是. 18. (4 分)已知 0<a<1,则函数 y=a ﹣|logax|的零点的个数为.
|x|

三、解答题(共 4 小题,满分 48 分)

19. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣|x|, (1)把 f(x)写成分段函数的形式并画出 f(x)的示意图; (2)根据 f(x)的图象判定 f(x)的奇偶性并用奇偶性定义验证; (3)由图象写出 f(x)的单增区间,及 f(x)的最大值; (4)求 f(x)的零点,并要据 f(x)的写出使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 20. (12 分)已知 A 为三角形一个内角,且 cosA= (1)求 cos(180°+A) ,sin(180°﹣A) ; (2)求 tan(﹣A) . 21. (12 分)已知不等式 2<2 <8 的解集为 A,不等式 log0.5x<log0.52 的解集为 B, (1)求 A,B; (2)求;A∪B;?RA; (3)若 C={x|x>a},且(A∩B )?C 求 a 的范围. 22. (12 分)f(x)=1+ (a≠0)
x



(1)若 f(0)=0,求 a 的值,并证明:f(x)为奇函数; (2)用单调性的定义判断 f(x)的单调性; (3)在(1)的条件下,若 f(x)<m 恒成立,求 m 的最小值.

2014-2015 学年天津市滨海新区汉沽五中高一(上)期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 道小题,每题 4 分,共 40 分. ) 1. (4 分)设集合 A={2,3},B={2,3,4},C={2,4,5}则(A∩B)∪C=() A.{2,3,4} B.{2,3,5} C.{3,4,5} D.{2,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 与 B 的交集,找出交集与 C 的并集即可. 解答: 解:∵A={2,3},B={2,3,4},C={2,4,5}, ∴A∩B={2,3}, 则(A∩B)∪C={2,3,4,5}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (4 分)函数 的定义域为()

A.(0,2)

B.(﹣1,2]

C.(﹣1,2)

D.[0,2]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 使函数有意义的 x 的值求得函数的对数的真数大于 0,无理式大于等于 0,解不等式 求它们的交集即可. 解答: 解:要使函数由意义: 解得 x∈(﹣1,2]

故选 B 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. 3. (4 分)sin390°等于 () A. B. ﹣ C. 0 D.1

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式化简求值即可. 解答: 解:sin390°=sin(360°+30°)=sin30°= , 故选:A. 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,为基础题. 4. (4 分)当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a
﹣x

与 y=logax 的图象()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合.

D.

分析: 先将函数 y=a 化成指数函数的形式, 再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单 调性即可判断出结果.

﹣x

解答: 解:∵函数 y=a 函数 y=

﹣x

可化为

,其底数小于 1,是减函数,

又 y=logax,当 a>1 时是增函数, 两个函数是一增一减,前减后增. 故选 A. 点评: 本题考查函数的图象,考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及 数形结合的思维能力. 5. (4 分)已知 a=0.6 ,b=0.6 ,c=log60.7 则 a,b,c 三者的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据 y=0.6 是单调递减函数,y=log6x 是单调递增函数,判断分析即可. x 解答: 解:∵y=0.6 是单调递减函数, ﹣ 0.6 0.7 ∴0<0.6 <1<0.6 , ∵y=log6x 是单调递增函数, ∴c=log60.7<log61=0, ∴c<a<b, 故选:C 点评: 本题考查了指数函数,对数函数的单调性,属于中档题,注意底数,选择对应的函 数. 6. (4 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)
0.6
﹣0.7

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 要判断函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点位置,我们可以根据零点存在定理,依次判 断 , , ,1,2 的函数值,然后根据连续函数在区间(a,b)上零点,则 f(a)与 f(b) 异号进行判断. 解答: 解:∵f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣4<0 f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣3<0 f( )=log2\frac{1}{2}+2× ﹣1=1﹣2<0 f(1)=log21+2×1﹣1=2﹣1>0 f(2)=log22+2×2﹣1=5﹣1>0 故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( ,1)

故选 C 点评: 本题查察的知识点是函数的零点,解答的关键是零点存在定理:即连续函数在区间 (a,b)上零点,则 f(a)与 f(b)异号. 7. (4 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x) 的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 转化思想. 分析: 根据函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,要求 x<0 时,f (x)的表达式,转化到 x>0 时求解. 解答: 解:当 x<0 时,则﹣x>0 ∵x>0 时 f(x)=﹣x+1, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)+1=x+1, ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x﹣1 故选 B. 点评: 考查利用函数的奇偶性求函数的解析式问题,一般方法是把要求区间上的问题转化 为已知区间上来解决,体现了转化的数学思想,属基础题. 8. (4 分)f(x)=x ﹣6x+10,x∈[0,4],此函数的最小值和最大值分别为() A.无最大值也无最小值 B. 2,10 C. 有最小值 1,无最大值 D.1,10 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以对二次函数进行配方画图,根据图象特征,求出函数的最大值和最小值, 得到本题结论. 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣6x+10, 2 ∴f(x)=(x﹣3) +1, ∵x∈[0,4], ∴当 x=3 时,f(x)有最小值 1, 当 x=0 时,f(x)有最大值 10, 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数在区间上的值域,本题难度不大,属于基础题. 9. (4 分)下列表示同一个函数的是() A.f(x)= ,g(x)=x﹣1
x 2

B. f(x)=

,g(x)=(



2

C. f(x)=x,g(x)=log22

D.y=2log2x,y=log2x

考点: 判断两个函数是否为同一函数.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的函数是同一函数,进行判断 即可. 解答: 解:对于 A,f(x)= 不同,不是同一函数; 对于 B,f(x)= =|x|(x∈R) ,g(x)= =x(x≥0) ,它们的定义域不同,对应关 =x﹣1(x≠﹣1) ,g(x)=x﹣1(x∈R) ,它们的定义域

系也不同,不是同一函数; x 对于 C,f(x)=x(x∈R) ,g(x)=log22 =x(x∈R) ,它们的定义域相同,对应关系也相同, 是同一函数; 对于 D,f(x)=2log2x(x>0) ,g(x)=log2x(x>0) ,它们的对应关系不同,不是同一函数. 故选:C. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 10. (4 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0.则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是() A.( , ) B. [ , ) C. ( , ) D.[ , )

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可知函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶 函数可知,f(2x﹣1)<f( )可以化为|2x﹣1|< ,从而求解. 解答: 解:∵f(x)满足对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) ) >0, ∴f(x)在[0,+∞)上是增函数, 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(2x﹣1)<f( )可以化为|2x﹣1|< , 解得 <x< , 故选 C. 点评: 本题考查了抽象函数的解法,利用了函数的单调性与奇偶性,属于中档题. 二、选择题(本题共 8 道小题,每题 4 分,共 32 分. ) 11. (4 分)log62+log631. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 利用对数的运算性质求解. 解答: 解:log62+log63=log66=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查对数的运算,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用.

12. (4 分)已知幂函数 y=x 的图象过点

α

,则 f(4)=2.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把幂函数 y=x 的图象经过的点 得到函数解析式,从而求得 f(4)的值. 解答: 解:∵已知幂函数 y=x 的图象过点 析式为 y f(x)= ∴f(4)= =2, ,
α α

代入函数的解析式,求得 α 的值,即可

,则 2 =

α

,∴α= ,故函数的解

故答案为 2. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于 基础题. 13. (4 分)已知(3,﹣4)是角 A 的终边上一点,则 5sinA+5cosA+3tanA=﹣5. 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinA、cosA、tanA 的值,可得要求式子 的值. 解答: 解:由题意可得 x=3、y=﹣4、r=5,sinA= =﹣ ,cosA= = ,tanA= =﹣ , ∴5sinA+5cosA+3tanA=5×(﹣ )+5× +3×(﹣ )=﹣5, 故答案为:﹣5. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

14. (4 分)已知 tanα=2,则

的值为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

同角三角函数基本关系的运用. 三角函数的求值. 将所求关系式“切”化“弦”,将 tanα=2 代入计算即可. 解:∵tanα=2,

∴ 故答案为: .

=

=

= ,

点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,“切”化“弦”是关键,属于基础题. 15. (4 分)若 0<m<n,则有下面结论: (1)2 <2 ; (2) ( ) <( ) ; (3)log 其中正确的结论的序号是(1) (3) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用函数 y=2 ,y=log2x 都是单调递增函数,函数 y=( ) ,y=log 减函数,判断分析. x 解答: 解:∵函数 y=2 ,y=log2x 都是单调递增函数,0<m<n m n ∴2 <2 ;log2m<log2n. ∵函数 y=( ) ,y=log
x x x m n m n

m>log

n; (4)log2m>log2n.

x 都是单调递

x 都是单调递减函数,∴

∴( )

m>

( ) ;log

n

m>log

n;

故答案为: (1) (3) 点评: 本题考查了指数函数,对数函数的单调性,运用比较大小,属于中档题.

16. (4 分)函数 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值是



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题直接利用的解析式,将自变量代入计算,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴当 x≤﹣1 时,x+2=3,x=1,不合题意; 2 当时﹣1<x<2 时,x =3, ,∴x= . 故答案为: . 点评: 本题考查了利用函数解析式求值,本题难度不大,属于基础题.

17. (4 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 为减函数,f(1+a)<﹣f(a) ,则 a 的取值范围 是( ,+∞) .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用奇函数的性质可得函数在 R 上是减函数,再根据 f(1+a)<﹣f(a)=f (﹣a) ,可得 a+1>﹣a,由此求得 a 的取值范围. 解答: 解:∵y=f(x)是奇函数,当 x≥0 为减函数, ∴函数 f(x)在 x<0 也是减函数,故函数在 R 上是减函数. 再根据 f(1+a)<﹣f(a)=f(﹣a) ,可得 a+1>﹣a, 求得 a ,

故答案为: ( ,+∞) . 点评: 本题主要考查奇函数的性质,函数的单调性的应用,属于基础题. 18. (4 分)已知 0<a<1,则函数 y=a ﹣|logax|的零点的个数为 2. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. |x| 分析: 由题意可得,呢命题即求函数 y=a 与 y=|logax|的交点的个数,数形结合得出结论. |x| |x| 解答: 解:∵0<a<1,函数 y=a ﹣|logax|的零点的个数就等于方程=a =|logax|的解的个数, |x| 即函数 y=a 与 y=|logax|的交点的个数. 如图所示: 故函数 y=a 与 y=|logax|的交点的个数为 2, 故答案为 2.
|x| |x|

点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,体现了化归与转化及数形结合的数学 思想,属于中档题. 三、解答题(共 4 小题,满分 48 分) 19. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣|x|, (1)把 f(x)写成分段函数的形式并画出 f(x)的示意图;

(2)根据 f(x)的图象判定 f(x)的奇偶性并用奇偶性定义验证; (3)由图象写出 f(x)的单增区间,及 f(x)的最大值; (4)求 f(x)的零点,并要据 f(x)的写出使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 考点: 分段函数的应用;函数的图象. 专题: 计算题;作图题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)化简 f(x)= (2)由图象判断奇偶性再由定义证明; (3)由图象直接写出即可; (4)由图象直接写出即可. 解答: 解: (1)f(x)= , ,作图即可;

其图象如右图, (2)∵f(x)的图象关于 y 轴对称,∴f(x)是偶函数,证明如下, f(x)的定义域为 R, 对于定义域内的任意一个 x, f(﹣x)=1﹣|﹣x|=1﹣|x|=f(x) , 则 f(x)是偶函数; (3)f(x)的单增区间为(﹣∞,0], 当 x=0 时,f(x)取最大值 1; (4)令 f(x)=0,则|x|=1,x=±1, 则 f(x)的零点是 x=±1; 使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|﹣1<x<1}.

点评: 本题考查了学生的作图能力及化简能力,同时重点考查了学生的识图能力,属于中 档题.

20. (12 分)已知 A 为三角形一个内角,且 cosA= (1)求 cos(180°+A) ,sin(180°﹣A) ; (2)求 tan(﹣A) .



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据诱导公式化简 cos(180°+A)再求值,由内角得范围和平方关系求出 sinA, 由诱导公式化简 sin(180°﹣A)求值; (2)根据商的关系、诱导公式化简 tan(﹣A) ,再代入求值即可. 解答: 解: (1)由题意得,cosA= ,

所以 cos(180°+A)=﹣cosA= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2 分 因为 cosA= 所以 sinA= ,且 A 为三角形内角, = ,

则 sin(180°﹣A)=sinA= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6 分 (2)由(1)得,tan(﹣A)= = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12

分. 点评: 本题考查同角三角函数关系、诱导公式的应用,注意三角函数值的符号. 21. (12 分)已知不等式 2<2 <8 的解集为 A,不等式 log0.5x<log0.52 的解集为 B, (1)求 A,B; (2)求;A∪B;?RA; (3)若 C={x|x>a},且(A∩B )?C 求 a 的范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 解指数不等式和对数不等式可分别求出 A,B,进而根据集合交集并集补集的定义, 可得 A∪B,?RA,由(A∩B )?C 结合子集的定义,可得 a 的范围. x 解答: 解: (1)解 2<2 <8 得:1<x<3, ∴A={x|1<x<3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2 分 解 log0.5x<log0.52 得:x>2, ∴B={x|x>2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 分 (2) A∩B={x|1<x<3}∪{x|x>2}={x|2<x<3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 6分 A∪B={x|x>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 ?RA={x|x≤1 或 x≥3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9 分 (3)因为(A∩B )?C, 所以 a≤2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12 分. 点评: 本题考查的知识点是集合交集并集补集的定义,集合包含关系判断及应用,难度不 大,属于基础题.
x

22. (12 分)f(x)=1+

(a≠0)

(1)若 f(0)=0,求 a 的值,并证明:f(x)为奇函数; (2)用单调性的定义判断 f(x)的单调性; (3)在(1)的条件下,若 f(x)<m 恒成立,求 m 的最小值. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的单调性及单调区间. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(0)=1+ =0 求出 a=﹣2,代入得 f(x)=1﹣ ,从而判断函数的奇偶

性; (2)用定义法证明单调性一般可以分为五步,取值,作差,化简变形,判号,下结论; (3)将恒成立问题转化为函数的最值问题. 解答: 解: (1)∵f(0)=1+ =0,∴a=﹣2, 故 f(x)=1﹣ ,

其定义域为 R,且对任意的 x∈R, f(﹣x)=1﹣ 故 f(x)为奇函数; (2)任取 x1、x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=1+ ﹣1﹣ = =﹣1+ =﹣f(x) ,

=(﹣a)? ∵x1<x2, ∴0< 故 < ;



<0,

则当 a<0 时,f(x)在 R 上是增函数; 当>0 时,f(x)在 R 上是减函数; (3)由题意,f(x)=1﹣
x

在 R 上是增函数,

则由 2 +1>1 可得, f(x)<1, 故若 f(x)<m 恒成立, 则 m≥1,故 m 的最小值为 1. 点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.


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