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2015-2016学年高中数学 第一章 单元检测(B卷)新人教A版选修2-1


第一章

常用逻辑用语(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ) A.ab=0 B.a+b=0 2 2 C.a=b D.a +b =0 2.若“a≥b? c>d”和“a<b? e≤f”都是真命题,其逆命题都是假命题,则“c≤d” 是“e≤f”的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 3.在下列结论中,正确的是( ) ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“綈 p”为假的必要不充分条件; ④“綈 p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4.“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 5.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 6.条件 p:x>1,y>1,条件 q:x+y>2,xy>1,则条件 p 是条件 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 7.2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是( ) 1 1 A.- <x<3 B.- <x<0 2 2 1 C.-3<x< D.-1<x<6 2 π 8.“x=2kπ + (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( ) 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 9.下列命题中的假命题是( ) A.? x∈R,lg x=0 B.? x∈R,tan x=1 3 x C.? x∈R,x >0 D.? x∈R,2 >0 10.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真 假情况是( ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 11.下列命题中为全称命题的是( )
1

A.圆内接三角形中有等腰三角形 B.存在一个实数与它的相反数的和不为 0 C.矩形都有外接圆 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 12.以下判断正确的是( ) A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题 3 3 B.命题“? x∈N,x >x”的否定是“? x∈N,x >x” C.“a=1”是“函数 f(x)=sin 2ax 的最小正周期为 π ”的必要不充分条件 2 D.“b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.下列命题中________为真命题.(填序号) ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”; 2 2 ②“若 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 14.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________________________,这是 ________(填“真”或“假”)命题. 2 15.若“? x∈R,x -2x-m>0”是真命题,则实数 m 的取值范围是____________. 16.给出下列四个命题: 2 ①? x∈R,x +2>0; 4 ②? x∈N,x ≥1; 3 ③? x∈Z,x <1; 2 ④? x∈Q,x =3. 其中正确命题的序号为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数.

18.(12 分)写出由下述各命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的命题,并 指出所构成的这些命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除;
2

(2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.

19.(12 分)已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.

3

3

2

2

3

20.(12 分)已知二次函数 f(x)=ax +x.对于? x∈[0,1],|f(x)|≤1 成立,试求实数 a 的取值范围.

2

21.(12 分)下列三个不等式: ①2 >1; 2 ②(a-3)x +(a-2)x-1>0; 1 2 ③a>x + 2.
? x2?ax? 25 4

x

若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

22. (12 分)已知命题 p: x1 和 x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, 不等式 a -5a-3≥|x1 2 -x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立;命题 q:不等式 ax +2x-1>0 有解;若命题 p 是 真命题,命题 q 是假命题,求 a 的取值范围.

2

2

4

第一章 常用逻辑用语(B) 1. D [若 a +b =0, 即 a=b=0 时, f(-x)=(-x)·|-x+0|+0=-x|x|=-f(x), 2 2 ∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的充分条件.又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+ a|+b=-(x|x+a|+b),则必有 a=b=0,即 a2+b2=0,∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数 的必要条件.] 2. B [由 a≥b? c>d 可得 c≤d? a<b, 又 a<b? e≤f, 所以 c≤d? e≤f; 而 e≤f? c≤d 显然不成立,故“c≤d”是“e≤f”的充分非必要条件.] 3.B 4.B [∵a=1 且 b=2? a+b=3, ∴a+b≠3? a≠1 或 b≠2.] 5.B [由“非 p”为真可得 p 为假,若同时“p 或 q”为真,则可得 q 必须为真.] 6.A [由我们学习过的不等式的理论可得 p? q,但 x=100,y=0.1 满足 q:x+y>2, xy>1,但不满足 q,故选项为 A.] 7.D π? π ? 8.A [tan?2kπ + ?=tan =1,所以充分; 4 4 ? ? 5π 但反之不成立,如 tan =1.] 4 9.C 10.A [举例:a=1.2,b=0.3, 则 a+b=1.5<2,∴逆命题为假.] 11.C 2 12.D [∵“负数的平方是正数”即为? x<0,则 x >0,是全称命题,∴A 不正确; 3 3 又∵对全称命题“? x∈N,x >x”的否定为“? x∈N,x ≤x”,∴B 不正确; 2π 又∵f(x)=sin 2ax,当最小正周期 T=π 时,有 =π ,∴|a|=1 ? a=1. |2a| 故“a=1”是“函数 f(x)=sin 2ax 的最小正周期为 π ”的充分不必要条件.] 13.②④
2 2

解析 ①A∩B=A? A? B 但不能得出 A B, ∴①不正确; 2 2 ②否命题为:“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0”,是真命题; ③逆命题为:“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等”,是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题,∴逆否命题也为真命题. 14.如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个数一定是正数 假 15.(-∞,-1) 2 解析 由 Δ =(-2) -4×(-m)<0,得 m<-1. 16.①③ 17.解 (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(真命题). 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(真命题). 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题).
5

(2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题). 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题). 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题). 18.解 (1)p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除. p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除. ∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而另一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)p 或 q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真. 3 3 2 2 19.证明 充分性:∵a +b +ab-a -b 2 2 2 2 =(a+b)(a -ab+b )-(a -ab+b ) 2 2 =(a+b-1)(a -ab+b ), 2 2 ∴(a+b-1)(a -ab+b )=0. 又 ab≠0,即 a≠0 且 b≠0, ? b?2 3 2 2 2 ∴a -ab+b =?a- ? + b >0. ? 2? 4 ∴a+b-1=0,∴a+b=1. 必要性:∵a+b=1,即 a+b-1=0, 3 3 2 2 ∴a +b +ab-a -b 2 2 =(a+b-1)(a -ab+b )=0. 综上可知,当 ab≠0 时, a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0. 2 20.解 |f(x)|≤1?-1≤f(x)≤1?-1≤ax +x≤1,x∈[0,1].① 当 x=0 时,a≠0,①式显然成立; 1 1 1 1 当 x∈(0,1]时,①式化为- 2- ≤a≤ 2- 在 x∈(0,1]上恒成立.

x

x

x

x

1 设 t= ,则 t∈[1,+∞),

x 2 2 则有-t -t≤a≤t -t,所以只需 2 ? -t -t max=-2 ?a
? ?a ?

? -2≤a≤0, =0 又 a≠0,故-2≤a<0. 综上,所求实数 a 的取值范围是[-2,0).

t2-t

min

25 25 2 2 2 >1,即-x +ax- >0,故 x -ax+ <0,Δ =a -25,所以 4 4 不等式的解集为空集,实数 a 的取值范围是-5≤a≤5. 对于②,当 a=3 时,不等式的解集为{x|x>1},不是空集;当 a≠3 时,要使不等式(a 2 -3)x +(a-2)x-1>0 的解集为空集. ?a-3<0, ? 则? 解得-2 2≤a≤2 2. 2 ? a- + a- , ? 21.解 对于①, 2 1 2 对于③,因为 x + 2≥2

? x2?ax?

25 4

x

x2· 2=2, x

1

当且仅当 x =1,即 x=±1 时取等号. 1 2 所以,不等式 a>x + 2的解集为空集时,a≤2.

2

x

6

因此,当三个不等式的解集都为空集时,-2 2≤a≤2. 所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集,则实数 a 的取值范围是{a|a<- 2 2或 a>2}. 2 22.解 ∵x1,x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, 则 x1+x2=m 且 x1x2=-2, ∴|x1-x2|= x1+x2 2-4x1x2= m2+8, 当 m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3, 2 2 由不等式 a -5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立可得:a -5a-3≥3, ∴a≥6 或 a≤-1. 所以命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 2 命题 q:不等式 ax +2x-1>0 有解, 当 a>0 时,显然有解; 当 a=0 时,2x-1>0 有解; 2 当 a<0 时,∵ax +2x-1>0 有解, ∴Δ =4+4a>0,∴-1<a<0, 从而命题 q: 2 不等式 ax +2x-1>0 有解时 a>-1. 又命题 q 为假命题,∴a≤-1. 综上得,若 p 为真命题且 q 为假命题则 a≤-1.

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