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内蒙古赤峰市宁城县2016届高三上学期第一次统一考试数学(文)试题


宁城县高三年级统一考试(2015.10.20) 数学试题(文科) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时长 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,集合 B 为函数 y ?
2

?

?

1 x ?1

的定义域,则 A ? B ? (D) ?1, 2?

(A) ?1, ?? ?

(B) ?1,3?

( C) ?1,3?

2. 已知命题 p :直线 a , b 不相交,命题 q :直线 a , b 为异面直线,则 p 是 q 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

3. 在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( (A)7 (B)15 (C)20 (D)25

4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则这个三棱柱的体积等于 (A) 3 (C) 2 3 (B) 2 (D) 6

5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得 254 粒内夹谷 28 粒, 则这批米内夹谷约为 (A)134 石 (C)338 石 (B)169 石 (D)1365 石
开始 输入 p

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

6.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 , 则输出的 n , S 的值分别为 (A) n ? 4, S ? 30 (C) n ? 5, S ? 30 (B) n ? 4, S ? 45 (D) n ? 5, S ? 45

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

7. 圆心在曲线 y ?
2

2 ( x ? 0) 上,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 x
2

(A) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 (C) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

(B) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

(D) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25
2 2

?a x , ( x ? 1) ? 8.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 a (4 ? ) x ? 2, ( x ? 1) ? ? 2
(A) ?1, ?? ? (B) ?1,8? (C) ? 4,8? (D) [4,8)

9. 已知 F 是椭圆的一个焦点, B 是短轴一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆于点 D ,且

??? ? ??? ? BF ? 2 FD ,则椭圆的率心率是
(A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 3

(D)

1 2

10.设函数 f ? x ? ? sin ?

?? ?1 ? ?1 ?? x ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? ?? ? ? ? ,且其图像关于 y 轴对称,则函 2? ?2 ? ?2 ??

数 y ? f ? x ? 的一个单调递减区间是 ( A ) ? 0,

? ?

??
? 2?

?? ? ( B) ? , ? ? ?2 ?

? ? ?? (C ) ? ? , ? ? ? 2 4?

? 3? ? ( D) ? , 2? ? ? 2 ?

11.P 是 ?ABC 所在的平面上一点,满足 PA ? PB ? PC ? 2 AB ,若 S?ABC ? 12 ,则 ?PAB 的 面积为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)16

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

12. 已知函数 f ( x) ? e x ? ln(a ? x) ?

1 在区间 ? ??,0? 内存在零点,则 a 的取值范围是 2

(A) ( ? e, )

1

e

(B) ( ?

1 e

,e )

(C) (??,e )

(D) (??, )

1

e

宁城县高三年级统一考试(2015.10.20) 数学试题(文科)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内 z 对应的点的坐标是______________ 14.已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列.则公比 q ? _______

?0 ? x ? 2 ? 15. 已知 M ( x, y ) 为由不等式组 ? y ? 2 , 所确定的平面区域上的动点, 若点 A ? ?x ? 2 y ???? ? ??? ? 则 z ? OM ? OA 的最大值为___________.

?

2,1 ,

?

16.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱和底面垂直,且所有棱长都相等,若该三棱柱的各 顶点都在球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 7? ,则此三棱柱的体积为 .

三、解答题(共 5 小题,70 分,须写出必要的解答过程)

17. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a=2csinA. (Ⅰ)确定角 C 的大小; 3 3 (Ⅱ)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查,得到统计 数据如下:

教师教龄 教师人数 经常使用信息技术实

5 年以下 8 2

5 至 10 年 10 4

10 至 20 年 30 10

20 年以上 18 4

施教学的人数 (Ⅰ)求该校教师在教学中不 经常使用信息技术实施教学的概率; . (Ⅱ)在教龄 10 年以下,且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人,其中恰有一 人教龄在 5 年以下的概率是多少?

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点. (Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两

点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 的导函数为 f ? ? x ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (Ⅱ)设 F ( x) ? ax ? f ?( x) (a ? R ) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;

四、选做题(本小题满分 10 分.请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分)

22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与

⊙ O 相交于点 E . (Ⅰ)求 BD 长; (Ⅱ)当 CE ⊥ OD 时,求证: AO ? AD .

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取

? x ? cos ? 相同的长度单位,建立极坐标系. 设曲线 C 参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极 ? y ? 3 sin ? ? ?
坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 . 6 (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

?

24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

宁城县高三年级统一考试(2015.10.20) 数学试题(文科)参考答案 一、选择题:DBBA BCAD CCAC 二、填空题:13、 ? 4, ?2 ? ;14、 三、解答题: 17. 解:(1)由 3a=2csinA 及正弦定理得, 3sinA=2sinCsinA.-----------2 分 ∵sinA≠0,∴sinC= 3 , 2

1 9 ;15、4;16、 . 2 4

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= .------------------4 分 3 π 3 3 (2)∵C= ,△ABC 面积为 , 3 2 1 π 3 3 ∴ absin = ,即 ab=6.①--------------------6 分 2 3 2 ∵c= 7, π 2 2 ∴由余弦定理得 a +b -2abcos =7, 3 即 a +b -ab=7.②----------------------------9 分 由②变形得(a+b) =3ab+7.③ 将①代入③得(a+b) =25,故 a+b=5.----------------12 分 18.解: (Ⅰ)该校教师人数为 8+10+30+18=66,该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为 2+4+10+4=20.????????2 分 设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件 A, ????3 分 则 P ( A) ?
2 2 2 2

20 10 ? , 66 33 23 1 ? P ( A) ? . 33

????????5 分 ????6 分

所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是

23 . 33

(Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai (i=1,2) ,教龄在 5 至 10 年的教师为 b( 2, 3, 4) , 那么任选 2 人的基本事件为 (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , i j=1,

(a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , b4 ) ,
(b2 , b3 ) , (b2 , b4 ) , (b3 , b4 ) 共 15 个.??????8 分

设“任选 2 人中恰有一人的教龄在 5 年以下”为事件 B, 包括的基本事件为 (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) ,

(a2 , b4 ) 共 8 个,
则 P( B) ?

????????10 分

8 8 .所以恰有一人教龄在 5 年以下的概率是 . -----------12 分 15 15

19.解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴ FP//DE,且 FP=

1 DE . 2

又 AB//DE,且 AB=

1 DE . ∴AB//FP,且 AB=FP, 2

∴ABPF 为平行四边形, ∴AF//BP. ?????4 分

P

又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE. ?????6 分

(II)∵直角梯形 ABED 的面积为

1? 2 ?2 ? 3, 2

C 到平面 ABDE 的距离为

3 ?2 ? 3 , 2
1 ? 3 ? 3 ? 3 .即多面体 ABCDE 的体积为 3 . 3
?????12 分

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 V ?

2 20.解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2? 代入 y ? 2 px ,得 p ? 1

2 所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0)

1 2

??????3 分

2 y12 y2 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B ( , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

设直线 l 方程为 x ? my ? 2

与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2 ? y ? 2x
2

,消去 x ,得: y ? 2my ? 4 ? 0
2

则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m

??????5 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
????8 分

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 同理可得: y N ? y2 ? 2 y1 ? 2 ,

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym

???? ? ???? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

? 4?
π 2

4(?4 ? 4m ? 4) ?4 ? 4m ? 4

?0

???11 分

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值
/

??????12 分
/

21.(1)解: f ( x) ? 1 ? ln x ? x ? 0? ,令 f (x)=0,得 ∵当 ∴当 时,
2

. 时,f (x)>0,
/

时,f (x)<0;当

/

.----------------- 5 分

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) ,

. ①当 a≥0 时,恒有 F (x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F (x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F (x)<0,得 2ax +1<0,解得
/ 2 / 2 /

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减.---12 分

四、选做题(本小题满分 10 分.请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分)

22.证明(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB, ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=6,AC=4,∴

BD OD , ? OC AC

BD 6 ? ,∴BD=9.???????5 分 6 4

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180?–∠A–∠ODC=180?–∠COD–∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO ????????10 分

23. 解:⑴由 ? sin(? ?

?
6

) ? 2得

? ( 3 sin ? ? cos? ) ? 4 ,∴ l : x ? 3 y ? 4 ? 0 ?????2 分
由?

? y2 ? x ? cos ? 2 ? 1.??????5 分 得C : x ? 3 ? ? y ? 3 sin ?

⑵在 C 上任取一点 P(cos? , 3 sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为

d?

| cos ? ? 3sin ? ? 4 | | 10 cos(? ? ? ) ? 4 | . ??????7 分 ? 2 2
1 3 , sin ? ? 10 10

其中 cos ? ?

∴当 cos(? ? ? )= 1, d max ? 2 ?

10 .??????10 分 2

24.解: (1)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 , 不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; 2 2

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

------------ 5 分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a ? 1 ,所以 ? ?? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

?1 1 ? ? ? ? 4 . -------------- 10 分 ? m 2n ?


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