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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定

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【课标要求】 1.理解直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理. 2.能应用线面、面面垂直的判定定理证明直线与平面垂直、平 面与平面垂直. 3.会解决简单的线面角、二面角问题. 【核心扫描】 1.直线与平面、平面与平面垂直的判定.(重点) 2.线面角、二面角的求法.(难点)

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自学导引 1.直线与平面垂直、平面与平面垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直 如果两个平面相交, 且它们所成的二面角

如果直线l与平面α内的 任意一条 直
线都垂直,就说直线l与平面α互相

定义

垂直,记作 的

l⊥α .直线l叫做平面α

垂线 ,平面α叫做直线l

是 直二面角 ,就
说这两个平面互相垂 直,记作:α⊥β.

的 垂面 .直线与平面垂直时,它

们唯一的公共点P叫做 垂足.

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通常把直线画成与表示平面 通常把直立平面的竖边
的平行四边形的一边垂直, 画成与水平平面的横边 如图 画法 垂直,如图

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文字表述:一条直线与一个 平面内的 两条相交直线 都 垂直,则该直线与此平面垂 判定 直.符号表述: 定理 l⊥a l⊥b a?α,b?α a∩b=P 文字表述: 一个平面过另一 个平面的垂线, 则这两个平 面垂直.符号表述: ? ? ? ??l⊥α ? ? ? a⊥β a?α
? ? ??α⊥β. ? ?

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试一试:如图所示的是一块三角形纸片,过顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与 桌面接触),折痕 AD 与桌面垂直吗?

提示

不一定垂直,只有当 AD⊥BC 时,AD 才与桌面所在的

平面垂直.

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2.直线与平面所成的角、二面角

直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平 面上的 射影 所成的 锐角 , 叫做这条直线和这个平面 定 所成的角.

二面角
从一条直线出发的 两个半平面所组 成的图形叫做二面角. 这条直线 叫做二面角的棱. 这两个半平面 叫做二面角的面.

义 当直线与平面垂直时,它
们所成的角是 直角 .当直 线与平面平行或在平面内 时,它们所成的角是 0°

如图,记作:二面角αlβ或PABQ或
. P-l-Q

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范围

0°≤θ≤90°

0°≤θ≤180°

如图, ∠PAO 就是 斜线AP与平面α所成 画法 的角. 如图,二面角αlβ 若有(ⅰ)O∈l (ⅱ)OA?α,OB?β (ⅲ)OA⊥l,OB⊥l

则∠AOB就叫做二面角αl-β的平面角
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想一想:二面角的平面角∠AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置有 关吗?

提示

无关.二面角的平面角的大小是唯一确定的,与棱上点

的位置选择无关.

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名师点睛 1.关于直线与平面垂直的判定定理的理解 (1)判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是关键性词 语,一定要抓牢. 命题 1:如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直 线垂直于这个平面. 命题 2:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条 直线垂直于这个平面.

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以上两个命题都是错误的,因为对于这两个命题,都没有体现 出两直线相交这一特性,无数条直线可以是一组平行线,并不 一定具备有两条相交直线与已知直线垂直,因此,也就不一定 得出这一直线垂直于这个平面这一结论. (2)要判定一条已知直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平 面内能否找出两条相交直线与已知直线垂直,至于这两条相交 直线是否与已知直线有公共点,这是无关紧要的. (3)结论:直线与平面垂直,则直线垂直于平面内的任意一条直 线.

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2.对二面角的平面角的理解 (1)二面角的平面角可以度量二面角的大小,二面角的平面角是 多少度,就说这个二面角是多少度,我们约定:二面角的取值 范围是[0,π],平面角是直角的二面角叫做直二面角. (2)构成二面角的平面角的三要素:“棱上”、“面内”、“垂 直”.二面角的平面角的大小是唯一确定的,与棱上点的位置 无关,解题时可以把平面角的顶点选在有利于解题的特殊位置 上.

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3.确定二面角的平面角的常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分 别作垂直于棱的射线.如图(1)中的∠POQ.

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(2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的 两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平 面角.如图(2),二面角 α-l-β 的平面角是∠AOB. (3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过 垂足作棱的垂线,把此垂足与平面内所选点连起来,即得二面 角的平面角.如图(3),二面角 α-l-β 的平面角是∠AOB.

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4.两个平面垂直的判定方法 (1)法一:定义法 证明两个相交平面所成的二面角是直二面角. (2)法二:两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直.两平面垂直的判定定理可以叙述成:线面垂直?面面 垂直. 此定理说明要证面面垂直,只需转化为线面垂直,充分体现了 等价转化的思想方法.

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题型一 直线与平面垂直的判定 【例 1】 如图所示,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平 面,M 是圆周上任意一点,AN⊥PM,点 N 为垂足. 求证:AN⊥平面 PBM.

[思路探索] 利用线面垂直的判定定理证明.

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证明:连结 AM. 因为 AB 是圆 O 的直径, 所以 AM⊥BM. 因为 PA⊥平面 ABM, 所以 PA⊥BM. 因为 PA∩AM=A, 所以 BM⊥平面 PAM.

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又 AN?平面 PAM, 所以 BM⊥AN. 又 AN⊥PM, 且 BM∩PM=M, 所以 AN⊥平面 PBM.

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规律方法

应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直是证

明直线与平面垂直的最主要方法.充分利用条件寻找平面中的 两条相交直线与已知直线垂直是问题得到解决的关键.在题目 中若没有现成的垂线,则作相应的辅助线来帮助解决.

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【变式 1】 如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° ,AB=a,AA1=2a,D 为棱 B1B 的中点. 求证:A1D⊥平面 ADC.

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证明 由题意可知,A1A⊥平面 ABC, 又 AC?平面 ABC,∴A1A⊥AC, 又∠BAC=90° ,∴AC⊥AB, 又 AB∩A1A=A, ∴AC⊥平面 A1ABB1, A1D?平面 A1ABB1,∴AC⊥A1D. ∵D 为 B1B 的中点,

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B1B=2a,AB=A1B1=a, 在△A1DA 中,A1D= 2a, AD= 2a,A1A=2a, ∴A1D2+AD2=A1A2, ∴∠A1DA=90° ,即 A1D⊥AD, 而 AC∩AD=A,故有 A1D⊥平面 ADC.

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题型二 直线与平面所成的角 【例 2】 如图所示,三棱锥 A-SBC 中,∠BSC=90° ,∠ASB= ∠ASC=60° ,SA=SB=SC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角.

[思路探索] 确定 AS 在平面 SBC 上的射影是关键,即找过 A 点 的平面 SBC 的垂线.

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因为∠ASB=∠ASC=60° ,SA=SB=SC,

所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形.因此 AB=AC. 如图所示,取 BC 的中点 D,连接 AD,SD,则 AD⊥BC. 2 设 SA=a,则在 Rt△SBC 中,BC= 2a,CD=SD= 2 a.在 Rt 2 △ADC 中,AD= AC -CD = 2 a.
2 2

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则 AD2+SD2=SA2,所以 AD⊥SD. 又 BC∩SD=D,所以 AD⊥平面 SBC. 因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角. 2 在 Rt△ASD 中,SD=AD= 2 a,所以∠ASD=45° , 即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45° .

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规律方法

寻找斜线在平面内的射影是解决斜线和平面所成角

的关键.要找射影就要寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线, 没有垂线的要在斜线上取一点作平面的垂线,垂足和斜足的连 线就是斜线在平面内的射影,但要注意斜线上点的选取以及垂 足的位置要与已知量有关,才能便于计算.

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【变式 2】 如图所示,Rt△BMC 中,斜线 BM=5,它在平面 ABC 上的射影 AB 长为 4,∠MBC=60° ,求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值.

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由题意知,A 是 M 在平面 ABC 内的射影,

∴MA⊥平面 ABC, ∴MC 在平面 CAB 内的射影为 AC. ∴∠MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 又∵在 Rt△MBC 中, BM=5,∠MBC=60° , ∴MC=BMsin∠MBC=5sin 60° 3 5 =5× 2 =2 3.

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在 Rt△MAB 中, MA= MB2-AB2= 52-42=3. 在 Rt△MAC 中, MA 3 2 sin∠MCA= = = 3. MC 5 5 3 2 2 即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为5 3.

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题型三

平面与平面垂直的判定

【例 3】 如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD ∥CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA. [思路探索] (1)取 EC 的中点 F,要证 DE=DA,只需证明 Rt△ EFD≌Rt△DBA; (2)M 为 EA 中点, 可取 CA 中点 N, 先证明 N 点在平面 BDM 内, 再证明平面 BDMN 经过平面 ECA 的一条垂线即可; (3)证明平面 DEA 经过平面 ECA 的一条垂线.
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证明

(1)如图所示,取 EC 的中点 F,连接 DF.∵EC⊥BC,DF

∥BC,∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF=2EC=BD,FD=BC=AB. ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故 ED=DA. 1 (2)取 CA 的中点 N,连接 MN、BN,则 MN 綉 EC. 2 ∴MN∥BD,∴N 点在平面 BDM 内. ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN.又 CA⊥BN,∴BN⊥平面 ECA. ∵BN 在平面 MBD 内,∴平面 MBD⊥平面 ECA.
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1 1 (3)∵BD 綉 EC,MN 綉 EC,∴MNBD 为平行四边形. 2 2 ∴DM∥BN.又 BN⊥平面 ECA,∴DM⊥平面 ECA. 又 DM?平面 DEA,∴平面 DEA⊥平面 ECA.

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规律方法 (1)证明面面垂直有两种基本方法:①定义法,根据 定义;②判定定理法,根据判定定理. (2)利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直, 判定的方法是:线线垂直?线面垂直?面面垂直.

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【变式 3】 如图所示,PA⊥平面 ABC,PA= 2,AB=1,BC = 3,AC=2, 求证:平面 PBC⊥平面 PAB.

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证明

∵PA⊥平面 ABC,

AB?平面 ABC, AC?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC. 又∵PA= 2,AB=1,AC=2,∴PB= 3,PC= 6, 在△PBC 中,BC= 3, ∴PB2+BC2=3+3=6=PC2, ∴PB⊥BC.而 PA∩PB=P, ∴BC⊥平面 PAB. 又∵BC?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
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题型四 二面角的求法 【例 4】 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD 1 ∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= 2 AD. (1)证明平面 AMD⊥平面 CDE; (2)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 审题指导 (1)设 P 为 AD 的中点,连接 EP、PC、PM,证明 CE ⊥面 AMD 即可; (2)设 Q 为 CD 的中点,连接 QE、QP,则∠EQP 为所求二面角 的平面角,然后再求解.
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[规范解答] (1)设 P 为 AD 的中点,连接 EP、PC, 因为 FE 綉 AP,所以 FA 綉 EP.同理,AB 綉 PC.又 FA⊥平面

ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD.而 PC、AD 都在平面 ABCD 内, 故 EP⊥PC,EP⊥AD.由 AB⊥AD 可得 PC⊥AD.设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a.(4 分)

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又因为 DC=DE, M 为 CE 的中点, 且 所以 DM⊥CE.连接 MP, 则 MP⊥CE.又 MP∩DM=M,故 CE⊥平面 AMD.而 CE?平面 CDE,所以平面 AMD⊥平面 CDE.(6 分) (2)设 Q 为 CD 的中点,连接 PQ、EQ.因为 CE=DE,所以 EQ ⊥CD.因为 PC=PD, 所以 PQ⊥CD, 故∠EQP 为二面角 A-CD-E 的平面角.(10 分) 6 2 由(1)可得 EP⊥PQ, EQ= a, PQ= a, 于是在 Rt△EPQ 中, 2 2 PQ 3 3 cos∠EQP= = 3 ,所以二面角 ACDE 的余弦值为 3 .(12 分) EQ

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【题后反思】 本题是用垂线法作二面角的平面角, 求二面角的 平面角关键是找出(或作出)平面角,再把平面角放到三角形中 求解.

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【变式 4】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求二面角 B-A1C1-B1 的正切值.

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取 A1C1 的中点 O,连接 B1O,BO.

由题意知 B1O⊥A1C1,又 BA1=BC1,O 为 A1C1 的中点, 所以 BO⊥A1C1,所以∠BOB1 即是二面角 BA1C1B1 的平面角. 因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1,OB1?平面 A1B1C1D1, 所以 BB1⊥OB1.

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设正方体的棱长为 a, 2 则 OB1= a,在 Rt△BB1O 中, 2 BB1 a tan∠BOB1= = = 2, OB1 2 2a 所以二面角 BA1C1B1 的正切值为 2.

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方法技巧 翻折问题的解题策略 处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图 形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化,如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,哪些没有发生变化,切不可混 淆不清,特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直在翻 折后是否发生了变化,是否还保持垂直?这是解决翻折问题中 垂直关系的关键.

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1 【示例】 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=2AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 折起至△A′BE 的位置,使 A′C =A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.

[思路分析] 转化为证明平面 A′BE 经过平面 BCDE 的一条垂 线.注意∠BAE=90° 在翻折后不变,四边形 BCDE 在翻折后没 有发生任何变化.

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证明

如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,

连接 A′M,A′N,MN,则 MN∥BC. 1 ∵AB=2AD,E 是 AD 的中点, ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D, ∴A′M⊥CD.

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在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M, ∴CD⊥平面 A′MN,∴CD⊥A′N. 1 ∵DE∥BC,且 DE= BC,∴BE 必与 CD 相交. 2 又 A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N?平面 A′BE, ∴平面 A′BE⊥平面 BCDE.

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方法点评 解决本题的关键是明确翻折前后的数量和位置关系 的变化情况,其中等腰三角形中“三线合一”性质有着非常重 要的应用.

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