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(试题2)2.3等差数列的前n项和


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等差数列前 N 项和同步检测题 B
(时间:90 分钟,满分:100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.数列 ?an ? 、?bn ? 都是等差数列,其中 a1 ? 25, b1 ? 75, a100 ? b100 ? 100,那么 ?an ? bn ? 前 100 项的和为( ) A.0 B.100 C.10000 D.102400 )

2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S30 ? 12S10 , S10 ? S30 ? 130 ,则 S20 =( A.40 B.50 C.60 D.70

3.在等差数列 {an } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24,则此数列的前 13 项之和等于 ( )

A.13 B.26 C.52 D.156 4. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 0, S 4 ? S8 。则当 S n 取得最大值时, n 的 值为( A.5 ) (B)6 (C)7 (D)8

5.在等差数列 {an } 中,若其前 n 项和 Sn ? 则 Sm? n 的值 A.大于 4 B.等于 4

n m ,前 m 项和 S m ? ( m ? n , m, n ? N * ) , m n

C.小于 4

D.大于 2 且小于 4

6.已知数列 {an } , “对任意的 n ? N ? , 点Pn (n, an ) 都在直线 y ? 3x ? 2 上”是“ {an } 为等 差数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2005 ? a2006 ? 0, a2005 ? a2006 ? 0, 则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n 为( ) A.4009 B.4010 C.4011 D.4012

8.设 Sn 、Tn 分别是两个等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 项之和,如果对于所有正整数 n ,都有

S n 3n ? 1 ,则 a5 : b5 的值为( ? Tn 2n ? 5
A.3:2 B.2:1

) C.28:23 D.以上都不对

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

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9. 等差数列 {an } 中, a1003 ? a1004 ? a1005 ? a1006 ? 18, 若 则该数列的前 2008 项的和为___; 10.在等差数列 ?a n ? 中,a10 ? 0, a11 ? 0, 且 a11 ? a10 ,则在 S n 中的最大的负数为 ______ 11.已知数列 {an } a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3, 则 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a30 | ? _______ 中 12.等差数列 ?a n ? 中,前 n 项的和为 S n ,且 S 6 ? S 7 , S 7 ? S8 ,则①数列 ?a n ? 中,前七项 是递增的, 从第八项开始递减; S9一定小于 6 ; a1 是各项中最大的; S 7 不一定是 S n ② ④ S ③ 的最大值。其中正确的是 . 12.答案为 ③ 三、解答题(每题 10 分,共 40 分) 13.设等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a 3 ?a13 及 S15 的值.

14. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? 2S n ? S n?1 ? 0 ?n ? 2? , a1 ? (1) 求证: ?

1 2

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

(2) 求通项 an 的表达式.

15.已知:等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185. (1)求 an ; (2)将{ an }中的第 2 项,第 5 项,?,第 3n ? 1 项按原来的顺序排成一个新数列,求 此数列的前 n 项和 Tn .

16. 假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末加 1000 元; (Ⅱ)每半年结束时加 300 元。请你选择。 .... ... (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (3) 对于你而言,你会选择其中的哪一种?

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B 卷答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. 答案为 C 提示:由 a1 ? 25, b1 ? 75, a100 ? b100 ? 100,得 ?an ? bn ?是以 a1 ? b1 ? 100 为首项以 0 为 公差的等差数列,故前 100 项的和为 10000。 2. 答案为 B 提示:S30 ? 12S10 ,S10 ? S30 ? 130 ,得 S10 ? 10, S 30 ? 120 ,由 S10 , S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 成 等差数列,即 2?S 20 ? S10 ? ? S10 ? S30 ? S 20 ,得 S 20 ? 50 3. 答案为 B 提 示 : 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24 得 2?3a4 ? ? 6a10 ? 24 , 即 a4 ? a10 ? 4 , 故

S13 ?

13?a1 ? a13 ? 13?a 4 ? a10 ? ? ? 26 2 2

4. 答案为 B

提 示 : ? S 4 ? S8 ,? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 0 , 有 2?a6 ? a7 ? ? 0 即 a6 ? a7 ? 0 ,

? a1 ? 0,? a6 ? 0, a7 ? 0 ,故前 6 项和为 S n 最大。
5. 答案为 A

提 示 : 由 Sn ?

n m n?n ? 1? n m?m ? 1? m d ? , ma 1 ? d? , Sm ? 得 , na1 ? 解得, m n 2 m 2 n 1 2 a1 ? ,d ? ,故 mn mn ?m ? n ??m ? n ? 1? d ? m ? n ? ?m ? n ??m ? n ? 1? S m ? n ? ?m ? n ?a1 ? 2 mn mn

?m ? n?2 ?
mn

?

m 2 ? n 2 ? 2m n ? 4 ( ?m ? n?2 ? 0 ? m2 ? n 2 ? 2mn ) mn

6. 答案为 A 提示:依题意得, an ? 3n ? 2 ? {an } 为等差数列 7. 答案为 B 提示:? a2005 ? a2006 ? 0, a2005 ? a2006 ? 0, ? a2005 ? 0, a2006 ? 0

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则 S 4010 ?

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? 4010 a1 ? a 4010 ? ? ? 2005 a 2005 ? a 2006 ? ? 0 , 2

S 4011 ?

? 4011a1 ? a 4011 ? ? 4011 2006 ? 0 ,故 n ? 4010 a 2

8. 答案为 C

9 ?a ? a9 ? S 3 ? 9 ? 1 28 a5 2a5 a1 ? a9 2 1 提示: ? ? ? ? 9 ? ? 9 b5 2b5 b1 ? b9 T9 2 ? 9 ? 5 23 ?b1 ? b9 ? 2
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9. 答案为 9036 提示:由 a1003 ? a1004 ? a1005 ? a1006 ? 18,得 2?a1004 ? a1005 ? ? 2?a1 ? a2008 ? ? 18, 所以 a1 ? a2008 ? 9 ,故 S 2008 ? 10.答案为 S19 提 示 : ? a10 ? 0, a11 ? 0, 且 a11 ? a10 , ? a11 ? ?a10 , a1 ? a20 ? a10 ? a11 ? 0 ,

? 2008 a1 ? a 2008 ? ? 9036 2

? S 20 ?

20?a1 ? a 20 ? ?0 2

又? a10 ? a10 ? 0, 同理可得 S19 ? 0 ,故在 S n 中的最大的负数为 S19

11.答案为

765

提示:? a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3,? an ? ?60 ? ?n ? 1?3 ? 3n ? 63

? a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a30 |? ?2?a1 ? a2 ? ? ? a20 ? ? ?a1 ? a2 ? ? ? a30 ? |
20 ? 19 ? ? 30 ? 29 ? ? ? ?2 ? ? 20 ? ?? 60? ? ? 3 ? ? ? 30 ? ?? 60? ? ? 3 ? ? 765 2 2 ? ? ? ?

12.答案为 ②③ 提示:由 S 6 ? S 7 , S 7 ? S8 得,前 7 项和 S 7 最大,因此此等差数列是以 a1 ? 0 为首项的递 减数列 三、解答题(每题 10 分,共 40 分)

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13.解: ? a1 ? a15 ? a4 ? a12 ? 2a8 , 又 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,? a8 ? ?2

? a3 ? a13 ? 2a8 ? ?4 ; S15 ?

15?a1 ? a15 ? ? 15a8 ? ?30 2

14.1)证: ? an ? 2S n ? S n?1 ? 0 ,? S n ? S n?1 ? 2S n ? S n?1 ? 0 即 S n ? S n?1 ? ?2S n ? S n?1 ,? 差的等差数列; 2)由 1)得

?1? 1 1 1 1 ? ? 2 ,得 ? ? 是以 ? ? 2 为首项,以 2 为公 S n S n ?1 S1 a1 ? Sn ?

1 1 ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n ? S n ? Sn 2n
1 1 ?1 1 ? ? ? 2n 2?n ? 1? 2n?n ? 1? 2n?1 ? n ?

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

?1 ? 2 ?n ? 1? ? 故通项 an 的表达式为 a n ? ? 1 ? ?n ? 2? ? 2n?1 ? n ? ?

? a4 ? 14 15.解:(1)由 ? ∴ ? S10 ? 185

?a1 ? 3d ? 1 4 , ? ? 1 a 0 ? ?1 0 1 ? 2 ? 1 ? ?9 d9 ?

? a1 ? 5 ? 1 8 5 ,d ? 3 ?

由 an ? 5 ? (n ? 1) ? 3,? an ? 3n ? 2 (2) 设新数列为{ bn },由已知, bn ? 3?3n ? 1? ? 2 ? 9n ? 1

? Tn ?

n?8 ? 9n ? 1? 1 ? 9n 2 ? 7 n 2 2

?

?

16.解: 设方案一第 n 年年末加薪 an ,因为每年末加薪 1000 元,则 an ? 1000 ; n 设方案二第 n 个半年加薪 bn ,因为每半年加薪 300 元,则 bn ? 300n ; (1)在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 55000元。 方案 2 共加薪 T20 ? b1 ? b2 ? ? ? b20 ? 20×300+ 20 ? (20 ? 1) ? 300 =63000 元; 2 (2)设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为:

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1000 n ?

n?n ? 1? ? 1000 ? 500 n 2 ? 500 n 2

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T2 n ? b1 ? b2 ? ? ? b2 n ? 2n ? 300 ?

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2n?2n ? 1? ? 300 ? 600 n 2 ? 300 n 2 2 2 令 T2n ? S n 即: 600n ? 300n ? 500n ? 500n ,解得: n ≥2,当 n =2 时等号成立。
∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当 然选择第一方案。

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