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江苏省盐城市东台市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析


江苏省盐城市东台市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,使 sinx< x 成立,则¬p 是.

2. (5 分)某城市修建经济适用房,已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户,270 户、180 户,首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,先采用分层抽样的方 法决定个社区户数,则应从丙社区中抽取低收入家庭的户数是. 3. (5 分)抛物线 y=3x 的准线方程是. 4. (5 分)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S=.
2

5. (5 分)为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位: cm) .所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长不小于 110cm 的有株.

6. (5 分)已知 a∈R,则“a>2”是“a >2a”的条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、 既不充分又不必要)

2

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值是.

8. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点坐标分别为 F1,F2,以|F1F2|

为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2) ,则此双曲线的标准方程是. 9. (5 分)函数 f(x)=lnx+ 在区间上的最小值是.

10. (5 分)已知 a>0,b>0,a+4b=ab,则 a+b 的最小值是. 11. (5 分)已知数据 x1,x2,…,x10 的方差为 1,且(x1﹣2) +(x2﹣2) +(x3﹣2) +…+ 2 (x10﹣2) =170,则数据 x1.x2,x3,…,x10 的平均数是. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x +2mx﹣1,若对于任意 x∈,都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是.
2 2 2 2

13. (5 分)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 圆上存在点 P 满足 ?
2

+

=1(a>b>0)的两个焦点,若椭

=2c ,则此椭圆离心率的取值范围是.

14. (5 分) 已知关于 x 的方程 x +ax +2bx+c=0 的三个实数根分别为一个椭圆、 一个抛物线、 一个双曲线的离心率,则 的取值范围是.

3

2

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 2 15. (14 分)已知关于 x 的不等式 x ﹣4x+t<0 的解集为(1,m) . (1)求 t,m 的值; (2)若函数 f(x)=﹣x +ax+4 在区间(﹣∞,2]上递增,求关于 x 的不等式 loga(﹣mx ﹣4x+3﹣t)>0 的解集.
2 2 2 2

16. (14 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +12=0. (1)若 a,b 是一枚正方形的骰子(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)掷两 次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈,b∈,求方程有实根的概率. 17. (14 分)如图,一份印刷品的排版面积(虚线边框矩形)为 4000cm ,它的两边都留有 宽为 a(单位:cm)的空白,顶部和底部都留有宽为 b(单位:cm)的空白,已知 a,b 的 值分别为 4 和 10. (1)若设虚线边框矩形的长为 x(单位:cm) ,宽为 y(单位:cm) ,求纸的用量 S(x)关 于 x 的函数解析式; (2)要使纸的用量最少,x,y 的值应分别为多少?
2

18. (16 分)已知:命题 p:椭圆
2 2

+

=1 的焦点在 x 轴上,命题 q:不等式 x +2xy≤m

2

(2x +y )对于一切整数 x,y 恒成立. (1)若 p 为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,求实数 m 的取值范围. 19. (16 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线 y =16x 的焦点为其 中一个焦点,以双曲线 ﹣ =1 的焦点为顶点.
2

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 M 是线 段 CD 上的动点,求 ? 的最小值;

(3)若 E,F 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,则当直线 PE,PF 的斜 率都存在,并记为 kPE,kPF 时,kPE?kPF 是否为定值,若时求出这个定值,若不是,请说明 理由. 20. (16 分)设函数 g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, (m∈R) . (1)当 m=1 时,求函数 y=g(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数 y=g(x)的单调递增区间; (3)若函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点 a,b,且 a<b,记{x}表示 大于 x 的最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值.
2

江苏省盐城市东台市 2014-2015 学年高二上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)

1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,使 sinx< x 成立,则¬p 是?x∈R,使 sinx≥ x.

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题 否定是全称命题写出结果. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题 p:?x∈R,使 sinx< x 成立, 则¬p 是:?x∈R,使 sinx≥ x. 故答案为:?x∈R,使 sinx≥ x. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2. (5 分)某城市修建经济适用房,已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户,270 户、180 户,首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,先采用分层抽样的方 法决定个社区户数,则应从丙社区中抽取低收入家庭的户数是 20. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义即可得到结论. 解答: 解:∵甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户, ∴对应的户数比为:360:270:180=4:3:2, 则应从丙社区中抽取低收入家庭的户数为 ×90=20.

故答案为:20. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和应用,根据条件确定抽取比例是解决本题的关键, 比较基础.
2

3. (5 分)抛物线 y=3x 的准线方程是 y=﹣



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可. 解答: 解:抛物线 y=3x ,即 x = y 的准线方程是:y=﹣ 故答案为:y=﹣ .
2 2



点评: 本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查. 4. (5 分)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S=17.

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟程序语言的运行过程,即可得出输出的 S 值是多少. 解答: 解:模拟程序语言的运行过程,得; I=1,I<7,I=1+2=3,S=2×3+3=9, I<7,I=3+2=5,S=2×5+3=13, I<7,I=5+2=7,S=2×7+3=17, I≥7,Print S=17. 故答案为:17. 点评: 本题考查了程序语言的应用问题, 解题时应模拟程序语言的运行过程, 以便得出输 出的结果,是基础题目. 5. (5 分)为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位: cm) .所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长不小于 110cm 的有 30 株.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由图分析,易得底部周长小于 110cm 段的频率,进而求出周长不小于 110cm 段的 频率,根据频率与频数的关系可得频数. 解答: 解:由图可知:则底部周长不小于 110cm 段的频率为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7, 故周长不小于 110cm 段的频率为 1﹣0.7=0.3 则频数为 100×0.3=30. 故答案为:30 点评: 本题考查读图的能力,读图时要全面细致,同时,解题方法要灵活多样,切忌死记 硬背,要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题.

6. (5 分)已知 a∈R,则“a>2”是“a >2a”的充分不必要条件(填:充分不必要、必要不充 分、充要、既不充分又不必要) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 2 分析: 求解 a >2a,得出 a>2 或 a<0,根据充分必要的定义判断即可得出答案. 2 解答: 解:∵a >2a, ∴a>2 或 a<0, 2 根据充分必要的定义判断:“a>2”是“a >2a”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要. 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,属于容易题,难度不大,紧扣定义即可.

2

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值是﹣8.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将 z=x﹣3y 变形为 行直线,当 ,此式可看作是斜率为 ,纵截距为 的一系列平 向此平面

最大时,z 最小.作出原不等式组表示的平面区域,让直线

区域平移,可探求纵截距的最大值. 解答: 解:由 z=x﹣3y,得 当 最大时,z 最小. ,此式可看作是斜率为 ,纵截距为 的直线,

画出直线 y=x,x+2y=2,x=﹣2,从而可标出不等式组

表示的平面区域,如右图

所示. 由图知,当动直线 经过点 P 时,z 最小,此时由 ,得 P(﹣2,2) ,

从而 zmin=﹣2﹣3×2=﹣8,即 z=x﹣3y 的最小值是﹣8. 故答案为:﹣8.

点评: 本题考查了线性规划的应用,为 2015 届高考常考的题型,求解此类问题的一般步 骤是: (1)作出已知不等式组表示的平面区域; (2)运用化归思想及数形结合思想,将目标函数的最 值问题转化为平面中几何量的最值问 题处理.

8. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b> 0)的左、右焦点坐标分别为 F1,F2,以|F1F2|

为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2) ,则此双曲线的标准方程是 x ﹣

2

=1.

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,点(1,2)到原点的距离等于半焦距,可得 a +b =5.由点(1,2)在 双曲线的渐近线上,得到 =2,两式联解得出 a=1 且 b=2,即可得到所求双曲线的方程. 解答: 解:∵点(1,2)在以|F1F2|为直径的圆上, 2 2 ∴c= ,可得 a +b =5…① 又∵点(1,2)在双曲线的渐近线 y= x 上, ∴ =2…②,
2 2 2

①②联解,得 a=1 且 b=2,可得双曲线的方程 x ﹣

=1.

故答案为:x ﹣

2

=1.

点评: 本题给出双曲线满足的条件, 求双曲线的方程, 考查了双曲线的标准方程与简单几 何性质等知识,属于中档题.

9. (5 分)函数 f(x)=lnx+ 在区间上的最小值是 1.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.

专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,令导数大于 0,小于 0,即可求函数 f(x)的单调区间;得到函 数的最小值. 解答: 解:函数 f(x)=l nx+ ,则 f′(x)= x∈时,f′(x)≥0,则 f(x)在上单调递增; 当 x=1 时,f′(x)=0,f(x)区间,取得最小值,最小值为:f(1)=ln1+1=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查函数的导数的综合应用, 函数的单调区间的求法, 利用导数求解函数的最 小值的方法,考查转化思想. 10. (5 分)已知 a>0,b>0,a+4b=ab,则 a+b 的最小值是 9. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 + =1,可得 a+b=(a+b) ( + )=5+ + 得. 解答: 解:∵a>0,b>0,a+4b=ab, ∴ =1,即 + =1, ,由基本不等式求最值可

∴a+b=(a+b) ( + ) =5+ + ≥5+2 =9 即 a=6 且 b=3 时取等号,

当且仅当 =

故答案为:9 点评: 本题考查基本不等式求最值,适当变形是解决问题的关键,属基础题. 11. (5 分)已知数据 x1,x2,…,x10 的方差为 1,且(x1﹣2) +(x2﹣2) +(x3﹣2) +…+ 2 (x10﹣2) =170,则数据 x1.x2,x3,…,x10 的平均数是﹣2 或 6. 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 2 2 2 分析: 由数据 x1,x2,…,x10 的方差为 1,且(x1﹣2) +(x2﹣2) +(x3﹣2) +…+(x10 2 ﹣2) =170,把所给的式子进行整理,两式相减,得到关于数据的平均数的一元二次方程, 解方程即可. 解答: 解:∵数据 x1,x2,…,x10 的方差为 1, ∴(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +(x3﹣ ) +…+(x10﹣ ) =10, ∴(x1 +x2 +…+x10 )+10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

﹣2 (x1+x2+… +x10)=10,

∴(x1 +x2 +…+x10 )﹣10
2 2

2

2

2

=10,①
2 2

∵(x1﹣2) +(x2﹣2) +(x3﹣2) +…+(x10﹣2) =170, 2 2 2 ∴(x1 +x2 +…+x10 )﹣4(x1+x2+…+x10)+40=170, ∴(x1 +x2 +…+x10 )﹣40 +40=170,② 将②﹣①得, ∴ ﹣4 ﹣12=0,
2 2 2

解得 =﹣2,或 =6, 故答案为:2 或 6. 点评: 本题考查一组数据的平均数的求法,解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运 用,是中档题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x +2mx﹣1,若对于任意 x∈,都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是(﹣ ,0) .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由条件利用二次函数的性质可得
2

,解不等式可求得 m 的范围.

解答: 解:∵二次函数 f(x)=x +mx﹣1 的图象开口向上, 对于任意 x∈,都有 f(x)<0 成立, ∴ ,



,解得﹣

<m<0,

故答案为: (﹣

,0) .

点评: 本题主要考查不等式恒成立问题, 将不等式转化为函数, 利用数形结合是解决本题 的关键.

13. (5 分)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 圆上存在点 P 满足 ?
2

+

=1(a>b>0)的两个焦点,若椭

=2c ,则此椭圆离心率的取值范围是.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设 P (m, n) , 通过
2 2

?

=2c , 将P (m, n) 代入椭圆

2

+

=1, 计算可得 ≥ ,

利用 m ≤a ,计算可得 ≤

,进而可得结论.

解答: 解:设 P(m,n) , ∵
2

?
2 2

=(﹣c﹣m,﹣n)?(c﹣m,﹣n)=m ﹣c +n =2c ,
2 2 2

2

2

2

2

∴m +n =3c ,n =3c ﹣m ,① 将 P(m,n)代入椭圆 + =1 得:b m +a n =a b ,②
2 2 2 2 2 2

把①代入②得:m =
2 2 2 2 2

2

≥0,∴a b ≤3a c ,

2 2

2 2

∴b ≤3c ,a ﹣c ≤3c ,∴ ≥ ,
2 2 2 2 2

又∵m ≤a ,∴

≤a ,∴a ﹣3c ≥0,

∴ ≤

, ,

综上, ≤ ≤

故答案为: . 点评: 本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 14. (5 分)已知关于 x 的方程 x +ax +2bx+c=0 的三个实数根分别为一个椭圆、一个抛物线、 一个双曲线的离心率,则 的取值范围是(﹣1,﹣ ) .
3 2

考点: 圆锥曲线的几何性质. 专题: 计算题; 函数的性质及应用; 不等式的解法及应用; 圆锥曲线的定义、 性质与方程. 3 2 分析: 由圆锥曲线的性质知,不妨设方程 x +ax +2bx+c=0 的三个实数根为 x1=1,0<x2 3 2 2 <1,x3>1;从而化简 x +ax +2bx+c=(x﹣1) (x +(a+1)x+2b+a+1) ,从而可得 x2,x3 是 x +(a+1)x+2b+a+1=0 的两个根;从而可得
2

;又由 的几何意义是原点 O 与

点(a,b)连线的斜率,从而借助线性规划求解. 解答: 解:由题意, 3 2 不妨设方程 x +ax +2bx+c=0 的三个实数根为 x1=1,0<x2<1,x3>1; 3 2 2 则 x +ax +2bx+c=(x﹣1) (x +(a+1)x+2b+a+1) , 2 则 x2,x3 是 x +(a+1)x+2b+a+1=0 的两个根; 则 x2+x3=﹣(a+1) ,

x2x3=2b+a+1; 又∵0<x2<1,x3>1, ∴x2x3=2b+a+1>0, (x2﹣1) (x3﹣1)=2b+2a+3<0; 作 表示的平面区域如下,

的几何意义是点 O 与阴影内的点 A 连线的斜率, 而直线 n 的斜率 k=﹣1,直线 m 的斜率 k=﹣ ; 故结合图象可得, ﹣1< <﹣ ; 故答案为: (﹣1,﹣ ) .

点评: 本题考查了圆锥曲线的性质, 因式分解及线性规划的应用, 因式分解与线性规划比 较困难,属于中档题. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 2 15. (14 分)已知关于 x 的不等式 x ﹣4x+t<0 的解集为(1,m) . (1)求 t,m 的值; 2 2 (2)若函数 f(x)=﹣x +ax+4 在区间(﹣∞,2]上递增,求关于 x 的不等式 loga(﹣mx ﹣4x+3﹣t)>0 的解集. 考点: 指、对数不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)一元二次不等式的解法即可根据求 t,m 的值; (2)求出 a 的取值范围,结合对数不等式进行求解即可. 2 解答: 解: (1)∵不等式 x ﹣4x+t<0 的解集为(1,m) .

∴1,m 是方程 x ﹣4x+t=0 的两个根, 则 ,

2

解得 m=3,t=3. 2 (2)∵函数 f(x)=﹣x +ax+4 在区间(﹣∞,2]上递增, ∴ ,解得 a≥4.
2 2

∵loga(﹣mx ﹣4x+3﹣t)=loga(﹣3x ﹣4x)>0, 2 ∴﹣3x ﹣4x>1, 2 即 3x +4x+1<0, 解得﹣1<x< , ) .

即不等式的解集为(﹣1,

点评: 本题主要考查一元二次不等式以及对数不等式的求解, 要求熟练掌握相应不等式的 求解方法. 16. (14 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +12=0. (1)若 a,b 是一枚正方形的骰子(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)掷两 次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈,b∈,求方程有实根的概率. 考点: 几何概型. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)本题是一个古典概型,用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事 件,基本事件(a,b)的总数有 36 个满足条件的事件是二次方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +12=0 有两正根,根据实根分布得到关系式,得到概率. (2)本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},满足条 2 2 件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4, (a﹣2) +b ≥12},做出两者的面积,得到概率. 解答: 解: (1)记“方程有两个正根”为事件 A,基本事件(a,b)共有 36 个…(2 分)
2 2 2 2

方程有正根等价于



则事件 A 包含的基本事件为(4,3) 、 (5,2) 、 (5,3) 、 (6,1) 、 (6,2) 、 (6,3)共 6 个… (4 分) P(A)= = …(6 分)

故所求的概率为 …(7 分) (2)记“方程无实根 ”为事件 B,试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4}, 其面积为 S(Ω)=16 2 2 满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4, (a﹣2) +b ≥12}, 其面积为 S(B)=16﹣3π…(11 分)

P(B)=1﹣

…(13 分) …(14 分)

故所求的概率为 1﹣

点评: 本题考查古典概型和几何概型,几何概型和古典概型是高中必修中学习的,2015 届高考时常以选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答题目. 17. (14 分)如图,一份印刷品的排版面积(虚线边框矩形)为 4000cm ,它的两边都留有 宽为 a(单位:cm)的空白,顶部和底部都留有宽为 b(单位:cm)的空白,已知 a,b 的 值分别为 4 和 10. (1)若设虚线边框矩形的长为 x(单位:cm) ,宽为 y(单位:cm) ,求纸的用量 S(x)关 于 x 的函数解析式; (2)要使纸的用量最少,x,y 的值应分别为多少?
2

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用面积确定 x,y 之间的关系,可得纸的用量 S(x)关于 x 的函数解析式; (2)利用基本不等式,可求纸的用量最少时 x,y 的值. 解答: 解: (1)∵xy=4000,∴y= ∴S(x)=(x+8) ( …(2 分) ) (x>0)…(7 分) =5760…(11 分)

+20)=4160+20(x+ )≥4160+20×2

(2)S(x)=4160+20(x+ 当且仅当 x=

,即 x=40 时取等号,此时 y=100…(13 分)

答:要使纸的用量最少,x,y 的值分别为 40 厘米,100 厘米…(14 分)

点评: 本题考查了一元二次不等式的应用、 基本不等式的应用, 考查了推理能力和计算能 力,属于中档题.

18. (16 分)已知:命题 p:椭圆
2 2

+

=1 的焦点在 x 轴上,命题 q:不等式 x +2xy≤m

2

(2x +y )对于一切整数 x,y 恒成立. (1)若 p 为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)通过椭圆的焦点在 x 轴上为假命题,求出 m 的范围, (2)求出 q 为真命题时 m 的范围,由 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,得到 p,q 一真一假, 求出 m 的交集即可.

解答: 解: (1)∵依题意,要使方程

+

=1 是椭圆的方程,则

,解

得﹣1<m<2 且 m≠ ,

又命题 p:椭圆

+

=1 的焦点在 x 轴上时,

解得 <m<2,

所以,命题 p 为假命题时,﹣1<m< , (2)∵q:不等式 x +2xy≤m(2x +y )对于一切整数 x,y 恒成立 ∴m≥ ,
2 2 2

∵ ∴m≥1



=1,

∵p∧q 是假命题,p∨q 是真命题, ∴p,q 一真一假, ∴ 或 ,

∴ <m<1, 实数 m 的取值范围是( ,1) .

点评: 本题考查不等式恒成立问题,椭圆的简单性质,命题的真假的判断,是综合性比较 高的问题,考查转化思想以及计算能力. 19. (16 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线 y =16x 的焦点为其 中一个焦点,以双曲线 ﹣ =1 的焦点为顶点.
2

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 M 是线 段 CD 上的动点,求 ? 的最小值;

(3)若 E,F 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,则当直线 PE,PF 的斜 率都存在,并记为 kPE,kPF 时,kPE?kPF 是否为定值,若时求出这个定值,若不是,请说明 理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过抛物线、双曲线方程,利用各自的定义计算即可; (2)通过设 M(x0,y0) ,可知直线 CD 的方程,利用二次函数的性质即得 ? 的最小值;

(3)通过设点 E(m,n )可得 F(﹣m,﹣n) ,设 P(x,y) ,利用斜率的公式计算即可. 2 解答: 解: (1)抛物线 y =16x 的焦点(4,0) , 双曲线 ﹣ =1 的焦点(±5,0) ,

设椭圆的标准方程为
2

+

=1(a>b>0) ,

∴a=5,c=4,∴b =25﹣16=9, ∴椭圆的标准方程为: ;

(2)设 M(x0,y0) ,由题意知直线 CD 的方程为 即 y=﹣ x+3(0≤x≤5) , 则 y0=﹣ x0+3(0≤x0≤5) , ∴
2



=(x0+1,y0) ,

=(x0﹣1,y0) ,

?

=x0 +y0 ﹣1
2

2

2

=x0 +(﹣ x0+3) ﹣1 = (x0﹣ )+
2

(0≤x0≤5) ,

∴当 x0=

时,

?

取得最小值为

; .

(3)结论:kPE?kPF 是定值,且定值为﹣ 理由如下:

设点 E 的坐标为(m,n) ,则点 F 的坐标为(﹣m,﹣n) 、



又设点 P 的坐标为(x,y) ,则



由 kPE=

,kPF=

,得:kPE?kPF=

?

=



化简得:kPE?kPF=

=﹣



点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20. (16 分)设函数 g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, (m∈R) . (1)当 m=1 时,求函数 y=g(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数 y=g(x)的单调递增区间; (3)若函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点 a,b,且 a<b,记{x}表示大于 x 的最小整数,求{g(a)}﹣{g(b) }的值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 m=1 代入函数解析式,求得导函数,得到切线的斜率,则切线方程可求; (2)求出函数 y=g(x)的定义域,求得导函数,由 m 得范围得到 g′(x)所在不同区间内 的符号,从而求得函数的单调区间; (3)由(2)得到函数 y=g(x)在 x∈( ,+∞)上有两个极值点的 m 的范围,由 a,b 为 方程 2x ﹣2x+m=0 的两相异正根,及根与系数关系,得到 a,b 的范围,把 m 用 a(或 b) 表示,得到 g(a) (或 g(b) ) ,求导得到 g(b)的取值范围,进一步求得{g(a)}(或{g (b)}) ,则答案可求. 解答: 解: (1)函数 y=g(x)=x ﹣2x+1+mlnx, 则切线方程为 y=x﹣1, 故所求切线方程为 x﹣y﹣1=0; (2)函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞) , 令 g′(x)=0 并结合定义域得 2x ﹣2x+m>0.
2 2 2 2

,k=g′(1)=1,



①当△ ≤0,即 m

时,g′(x)≥0,则函数 g(x)的增区间为(0,+∞) ; 时,函数 g(x)的增区间为 ;

②当△ >0 且 m>0,即 0

③当△ >0 且 m≤0,即 m≤0 时,函数 g(x)的增区间为 (3)由(2)得 0 ,
2



,a,b 为方程 2x ﹣2x+m=0 的两相异正根, ,
2

2

又由 2b ﹣2b+m=0,得 m=﹣2b +2b, ∴g(b)=b ﹣2b+1+mlnb=b ﹣2b+1+(﹣2b +2b)lnb,b∈ , 当 b∈ 时,g′(b)>0,即函数 g(b)是 上的增函数.
2 2 2



故 g(b)的取值范围是 同理可求得 g(a)的取值范围是

,则{g(b)}=0. ,则{g(a)}=0 或{g(a)}=1.

∴{g(a)}﹣{g(b)}=0 或 1. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查了利用导数研究函数的 单调性, 考查了方程根个数的判断, 体现了数学转化思想方法, 考查了计算能力, 是压轴题.


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