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任意角的三角函数讲解


年级 内容标题 编稿老师

高一

学科

数学

任意角的三角函数 褚哲

一、学习目标
1. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2. 理解用单位圆中的有向线段来表示三角函数值的原理,并初步学会使用单位圆解决 关于三角函数性质的简单问题. 3. 借助单位圆

中的三角函数线推导出诱导公式,掌握同角三角函数关系式,能进行同 角三角函数之间的变换. 4. 能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值,以及进行简单三角函数式的化简与恒 等式证明.

二、重点、难点
重点:1. 任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,明确对应法则和定义域. 2. 正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值. 3. 同角三角函数的基本关系式的推导及其应用. 4. 诱导公式. 难点:1. 通过坐标求任意角的三角函数的值、判定三角函数值在各象限的符号. 2. 正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值. 3. 熟练运用三角函数基本关系式. 4. 诱导公式的推导以及对称变换思想的建立.

三、考点分析
课标要求:掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,用单位圆中的三角函数线表示正弦、 余弦和正切以及同角三角函数的基本关系式.理解三角函数的诱导公式. 在高考中,如果单独出题考查诱导公式,一般比较容易,很多情况下是和三角恒等变换 等内容综合在一起出题,属中档题.

一、任意角的三角函数 1.三角函数的定义:设 ? 是一个任意角,点 P( x,y) 是角 ? 的终边与单位圆的交点, 那么:y 叫做 ? 的正弦, 记作 sin ? , 即s 记作 cos? , 即c i n ? ? y ;x 叫做 ? 的余弦, o s ? ? x;
y y 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函
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数,我们将它们统称为三角函数. 推广:设点 P( x,y) 是角 ? 终边上的任意一点,它到坐标原点的距离 OP ? r ,于是

sin ? ? cos? ?

点P的纵坐标 点P到原点的距离 点P的横坐标 点P到原点的距离

? ?

y ; r x ; r

tan ? ?

点P的纵坐标 点P的横坐标

?

y ( x ? 0) . x

另外还有 sec? ?

r r x , csc? ? , cot? ? ,分别表示角的正割、余割、余切. x y y

根据这些三角函数的计算式容易看到, sec ? ?

1 1 1 . , csc ? ? , cot ? ? cos ? sin ? tan ?

2.三角函数值的符号与角所在的象限有关,它可根据三角函数的定义和各象限内的点 的坐标符号推出. 3.正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,这三种线段都 是与单位圆有关的有向线段, 这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值, 因此称 它们为三角函数线. 下图是各象限内三角函数线的情况:

???? ???? ? ??? ? MP、 OM、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线.
二、同角三角函数的基本关系
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ;

tan ? ?

sin ? π (当 ? ? kπ ? , k ? Z 时). cos ? 2

三、诱导公式

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1. 诱导公式: 2kπ ? ? (k ? Z) , ?? , π+? , ? ? ? , 记为:“奇变偶不变,符号看象限”,其中“奇、偶”是指 是指把任意角 ? 看作锐角时,原函数值的符号. 2. 使用诱导公式的一般步骤:

π π ? ? , ? ? 的三角函数值可简 2 2

kπ ? ? (k ? Z) 中 k 的奇偶性;“符号” 2

这一过程充分体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想.

知识点一:同角三角函数的关系 例 1:已知 cos?=

12 ,求角?的另外五个三角函数的值. 13

思路分析:根据所给角的余弦值,可以判断这个角的终边所在的象限,从而确定其他三角函 数值的符号. 解答过程:由 cos?=

12 得?是第一或第四象限角. 13 5 5 12 13 13 若?为第一象限角,则 sin?= ,tan?= ,cot?= ,csc?= ,sec?= ; 13 12 5 5 12 5 5 12 13 13 若?为第四象限角,则 sin?=- ,tan?=,cot?=,csc?=- ,sec?= . 13 12 5 5 12

解题后的思考:正割、余割、余切函数在课标中不作要求,只需了解某个角的正割、余割、 余切值分别与这个角的正弦、余弦、正切值互为倒数即可.

例 2:已知 sin ? ? cos ? ?

1?? ? ? ? ? ? ? ? ,求 tan ? . 5? 2 ?

思路分析:本题考查三角函数式之间的转化能力,应熟练掌握三角函数的基本关系式. 解答过程:∵ sin ? ? cos ? ?

1 ,sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 5

2 ? 1 1 ?? 1 ? 12 2 2 2 ∴ sin ? cos ? ? [(sin ? ? cos ? ) ? (sin ? ? cos ? )] ? ?? ? ? 1? ? ? , 2 2? 25 ?? 5 ? ? ?

由韦达定理可知, sin ? , cos ? 是方程 x ?
2

1 12 x? ? 0 的两个根, 5 25

而该方程的两根为 ? ,

3 4 ? .∵ ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0,cos ? ? 0 . 5 5 2

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4 3 sin ? 4 , cos ? ? ? ,进而有 tan ? ? ?? . 5 5 cos ? 3 解题后的思考:利用完全平方式建立的 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 三者之间的
于是 sin ? ?

? ,? sin ? ? cos? ? ? 1? 2 sin? cos ? ,三者知其 关系: ? sin ? ? cos? ? ? 1? 2 sin? cos
2 2

一,即可求其余两个.

例 3:已知?为锐角,sin?=

7 1 sin?且 tan?= tan?,求?的值. 8 4

思路分析:已知条件是一个关于?,?的二元方程组,利用同角三角函数关系消去?,得到? 所满足的条件,从而求得?的值. 解答过程:由已知得

7 4 sin ? cos? 4 sin ? sin ? = ,则 sin?= ? ,而?是锐角, 8 cos? cos? cos ? 2 8 2 cos?. 于 是 ( sin?)2+( cos?)2=1 , 64(1-cos2?)+4cos2?=49 , 7 7 7

则 有 cos?= cos2?=

1 , 4
所以,锐角?=

? . 3

解题后的思考:同角三角函数的基本关系式中正弦与余弦的平方和为 1,几个三角函数的倒 数关系都是经常考查的内容.

1 1 1 ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ,求锐角 ? , ? 的值. 4 2 2 思路分析:经过配方,整理出若干个平方和等于零的式子,从而求出 ? 与 ? 的值.
例 4:设 sin ? ? sin ? ?
2 2

解答过程:式子两边同乘以 2,再移项,得:

1? ? 2 1? ? 2 2 2 ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? ? sin ? ? ? 0 , 4 4 ? ? ? ?
1? ? 1? 2 ? 即 ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? 0 . 2? ? 2? ?
2 2

1 ? sin ? ? 2, ? ? 1 ? ? ∴ ? sin ? ? , ∵ ? , ? 为锐角,∴ ? ? ? ? . 2 6 ? ? ?sin ? ? sin ? . ?
解题后的思考:由一个等式要确定两个变量的值一般是不可能的,若能确定,必定有隐含的 条件可以利用,这就需要同学们仔细地去挖掘,该例是利用了非负数的和为零,则这些数都 为零的性质进行求解的.

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知识点二:诱导公式

1050 例 5:求 sin ?1200 cos1290 ? cos ?1020 sin ?
? ? ?

?

?

?

? ?
?

?

? ?tan 945

?

的值.

思路分析:求三角函数值时一般先将负角化为正角,再将其化为 0? ~ 360? 的角,最后化为 锐角求值. 解答过程:原式 ? ? sin 3 ? 360 ? 120 cos 3 ?360 ? 210
? ?

?

?

?

?

? ? cos?2 ? 360? ? 300 ?
? ?

sin?2 ? 360 ? ? 330 ?? ? tan?2 ? 360 ? ? 225 ??
= ? sin 180 ? 60 cos 180 ? 30 ? cos 360 ? 60 sin 360 ? 30 ? tan 180 ? 45
? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? sin 60? ? cos30? ? cos 60? ? sin 30? ? tan 45?
? 3 3 1 1 ? ? ? ? 1 =2. 2 2 2 2
? ? ?

解题后的思考:注意观察角,将角化成 k ? 360 ? ? ,180 ? ? ,360 ? ? 等形式后,再利用诱 导公式求解.
?π ? ? 2π ? 例 6:已知 cos ? ? ? ? ? m( m ≤1) ,求 sin ? ? ? ? 的值. 6 3 ? ? ? ? ? 2π ? ?π ? π 思路分析:观察已知式与所求式,可看出 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,因此,可用诱导公式建 ? 3 ? ?6 ? 2

立两个角的联系.
?π ? π ? 2π ? ?π ? π ?π ? ? 2π ? ?? 解答过程:由 ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? m . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,得 sin ? 2 6 6 ? 3 ? ? ? ? 3 ? ?6 ? 2 ? ? ? ?

解题后的思考:善于观察角与角之间的关系,比如互余,互补等,利用这些关系可以简化运 算.

13? ? ? 15? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 8? ? 7 7 ? a?3 ? ? ? ? ? 例 7:设 tan ? ? ? . ? ? a ,求证: 22? ? a ? 1 7 ? ? 20? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ?
思路分析:从角的关系入手,将所求各角用 ? ? 三角函数关系式求解.

8? 的形式表示出来,然后利用诱导公式和 7

? 8? ? ? ?? 8? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 3cos ?? ? ? ? ? 3? ? 7 ?? 7 ? ? ? ?? ? 解答过程:左边 ? ? 8? ? ? ? 8? ? ? ? ? sin ? 4? ? ? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? ? 7 ?? 7 ?? ? ? ? ? ?

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8? ? 8? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 7 ? 7 ? ? ? ? 8? ? 8? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? 7 ? ? ? 8? ? ? tan ? ? ? ??3 a?3 7 ? ? = = =右边. 8? ? a ?1 ? tan ? ? ? ? ?1 7 ? ?
故等式成立. 解题后的思考: 该例中角的变换是难点, 三角函数中的许多问题是通过挖掘角与角之间的内 在联系得以解决的.

例 8:设 f ( x) =m sin(?x+?1)+n cos(?x+?2),其中 m, n, ?1, ?2 都是非零实数,若

f (2010) ? 1,求 f (2011) 的值.
思路分析:由题中函数的解析式,先表示出两个函数值,利用诱导公式建立两个代数式的联 系. 解答过程: f (2010) =m sin(2010?+?1)+n cos(2010?+?2)=m sin?1+n cos?2=1, 则 f (2011) = m sin(2011?+?1)+n cos(2011?+?2)= ? m sin?1 ? n cos?2= ?1 . 解题后的思考:本题以函数为背景,意在给出 m, n, ?1, ?2 四个量的关系,要注意诱 导公式在此题中的作用.

学好任意角的三角函数这一节的关键是掌握定义, 三角函数符号、 三角函数值以及同角 的基本关系都是在定义的基础上推导出来的.刚开始学时,同学们如果忘了三角函数符号、 三角函数值以及同角的基本关系,建议大家由定义进行推导,这样比只看书记忆效果更好. 同时,要正确理解“奇变偶不变,符号看象限”的含义,牢记诱导公式,善于观察角与角之间 的关系,能准确把握函数名与角的变换.

(答题时间:60 分钟) 一、选择题 1. 已知点 P(3,y)在角?的终边上,且满足 y<0,cos?= A. -

3 4

B.

4 3

C.

3 4

3 ,则 tan?的值等于( 5 4 D. 3
).

).

2. 若角?的终边落在直线 y=2x 上,则 sin?的值等于(
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A. ?

1 5

B. ?

5 5

C. ?

2 5 5

D. ?

1 2
).

3. 函数 y ? A. {-2,4}

sin x | cos x | tan x | cot x | 的值域是( ? ? ? | sin x | cos x | tan x | cot x
B. {-2,0,4}

C. {-2,0,2,4} D. {-4,-2,0,4} ).

4. 已知?在第一象限,且

1 ? tan ? =3+2 2 ,则 cos?的值是( 1 ? tan ?
C.

A.

6 2

B.

6 3
2

3 2

D.

3 3
).

5. 已知 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? 1 ? sin ? ? 0 ,则?的取值范围是(
2

A. 第三象限角 C. 2k?+????2k?+

B. 第四象限角

3? (k?Z) 2

D. 2k?+

3? ???2k?+2?(k?Z) 2

二、填空题 6. tan

? 2? 3? 4? +tan +tan +tan =______. 5 5 5 5
1 cos ? 1 ? tan ?
2

7. 已知?是第四象限角,则

+

2 cot ? 1 ?1 sin 2 ?
___.

=___

___.

8. 已知 sin?+cos?=

3 ,则 tan?+cot?=___ 3

*9. 若?是第二象限角,试确定

sin(cos?) 的值与 0 的大小关系为 cos(sin?)
.

.

10. 化简:

lgtan1? ? lgtan2? ? … ? lgtan89? = sin 21? ? sin 2 2? ? … ? sin 2 89?

三、解答题 11. 已知 sin ? ? m ? m ? 0, m ? ?1? ,试用 m 表示 ? 的其他三角函数值. **12. 若 a,b>0,

sin 8 ? cos8 ? 1 sin 4 ? cos 4 ? 1 ? ? ? ? ,求证: . 3 3 a b ( a ? b)3 a b a?b
4? ? ? ? ? cos ? n? ? ? 的值 ? n ? Z ? . 3 ? ? ?

13. 求 sin ? 2n? ?

? ?

2? 3

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14. 已知 cos 75? ? ? ?

?

?

1 ,其中 ? 为第三象限角,试求 3

cos ?105? ? ? ? ? sin ?? ? 105? ? 的值.
**15. 是否存在 ? ? ? ?

? ? ?? ?? ? , ? , ? ? ? 0, ? ? 使等式 sin ? 3? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? , ?2 ? ? 2 2?

3 cos ? ?? ? ? ? 2 cos ?? ? ? ? 同时成立?若存在,求出 ? 、 ? 的值;若不存在,请说明
理由.

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一、选择题 1. D. 由已知得

3 9? y
2

=

3 4 ,并由 y<0 解得 y=-4,所以 tan?=- . 5 3
2x 5|x|
=?

2 2 2. C. r= x ? y = 5 |x|,所以 sin?=

2 5 . 5

? ? ,k?Z,则 y=4;若 2k?+ <?<2k?+?,k?Z,则 y=-2; 2 2 3? 3? 若 2k?+?<?<2k?+ ,k?Z,则 y=0;若 2k?+ <?<2k?+2?,k?Z,则 y=-2. 2 2 2 1 ? tan ? 4. B. 由已知 =3+2 2 ,即(4+2 2 )tan?=2+2 2 ,解得 tan?= , 2 1 ? tan ?
3. B. 若 2k?<?<2k?+ 则 sec2?=1+tan2?=

6 3 .又已知?为第一象限角,所以 cos?= . 3 2

5. C. 由已知得 sin?|sin?|+cos?|cos?|=-1,于是等式成立的条件是 sin??0 且 cos??0, 所以,?的取值范围是 2k?+????2k?+ 二、填空题

3? (k?Z). 2

4? ? ? 3? 2? =tan(?- )=-tan ,tan =-tan ,所以原式=0. 5 5 5 5 5 1 2 cot ? 7. ?1 . 原式= + =1-2=-1. cos ? | sec? | | cot ? |
6. 0. tan 8. ?3 . 由已知 sin2?+cos2?+2sin?cos?= 于是 tan?+cot?=

1 1 ,则 sin?cos?=- , 3 3

1 =-3. sin ? cos ?

9.

sin(cos?) <0. 由?是第二象限角得-1<cos?<0,0<sin?<1,即弧度数为 cos?的角 cos(sin?) sin(cos?) <0. cos(sin?)

是第四象限角,弧度数为 sin?的角是第一象限角,所以 10. 0.

∵tan1° tan89° =tan2° tan88° =…=tan44° tan46° =tan45° =1. ∴tan1° tan2°…tan88°tan89°=1,即 lgtan1°tan2°…tan88°tan89°=0. ∴

lgtan1? ? lgtan2? ? … ? lgtan89? 0 = =0. 2 2 2 2 2 sin 1? ? sin 2? ? … ? sin 89? sin 1? ? sin 2? ? … ? sin 2 89?

三、解答题

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11. 解: 由于 m ? 0, m ? ?1 ,∴所求三角函数均有意义. ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? m
2 2

(当 ? 在第一、三象限时取正号, ? 在第二、四象限时取负号).

tan ? ?

sin ? m 1 ? m2 ?? . cos ? 1 ? m2

(当 ? 在第一、四象限时取正号, ? 在第二、三象限时取负号).

? sin 4 ? cos4 ? 1 1 1 2 2 1 1 ? ? ? 4 12. 证明: ? a ? 0, b a ? b ,于是( + )cos ? ? cos ? ? ? a b a a a?b 2 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 1
即(a+b)2cos4?-2b(a+b)cos2?+b2=0,解得 cos2?=

b a ,则 sin2?= , a?b a?b

所以,

sin 8 ? cos8 ? a4 b4 1 ? ? ? ? . 3 3 3 4 3 4 a b a (a ? b) b (a ? b) (a ? b)3
2π ? 4π ? π ?? π ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? π ? ? ? ? cos ? π ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ?? 3 ?? ? ?

13. 解: (1)当 n 为奇数时,原式= sin

π π 3 1 3 ? sin cos ? ? ? . 3 3 2 2 4
(2)当 n 为偶数时,原式 ? sin

2π 4π π? π? ? ? cos ? sin ? π ? ? cos ? π ? ? 3 3 3? 3? ? ?

π? π? 3 ? 1? 3 ? sin ? ? cos ? ? ??? ? ? ? . 3? 3? 2 ? 2? 4
14. 解: cos 105? ? ? ? cos ?180 ? ? 75 ? ? ? ? ? ?cos 75 ? ? ? ? ?

?

?

?

?

??

?

?

1 , 3

? ? ? ? sin ?? ? 105? ? ? ? sin ?105? ? ? ? ? ? sin ? ?180 ? ? 75 ? ? ? ? ? ? sin ? 75 ? ? ?

. ∵ cos 75? ? ? ?

?

?

1 ? 0 ,又 ? 为第三象限角,可知角 75? ? ? 为第四象限角, 3
2 2 ?

2 2 ?1? ∴ sin ? 75 ? ? ? ? ? 1 ? cos ? 75 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 3 ?3?
?

∴ cos 105 ? ? ? sin ? ? 105
?

?

?

?

?

2 2 2 ? ? ?? ?1 3 3


2 ?1 . 3

15. 解:由条件得 sin ? ?

2 sin ? ,

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3 cos ? ? 2 cos ? ,
2 2



联立①、②式可得 sin ? ? 3cos ? ? 2 ,∴ sin 2 ? ? 又∵ ? ? ? ?

1 . 2

π π ? π π? , ? ,∴ ? ? 或 ? ? ? . 4 4 ? 2 2?

将? ?

3 π π 代入②得 cos ? ? ,又 ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ? ,代入①可知符合. 2 6 4

将? ? ?

3 π ? 代入②得 cos ? ? ,又 ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ? ,代入①可知不符合. 2 4 6

综上可知,存在 ? ?

π π , ? ? 满足条件. 6 4

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